Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

OPERACIONES Y COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

1. Operaciones con funciones
Teniendo en cuenta que una función está definida cuando se indica su dominio y su
regla de correspondencia, veremos lo concerniente a operaciones con funciones
partiendo de dos funciones reales de variable real 𝑓, 𝑔 ∶ ℝ → ℝ, donde el 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔 ≠ ∅.
1.1. Igualdad de funciones
Diremos que las funciones 𝑓 y 𝑔 son iguales sí y sólo sí
 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔
 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔
1.2. Suma de funciones
Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones con 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔 respectivamente, entonces la suma de 𝑓 y 𝑔
denotado por 𝑓 + 𝑔 se define:
 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔
 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔
1.3. Diferencia de funciones
Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones con 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔 respectivamente, entonces a la diferencia de
𝑓 y 𝑔 denotado por 𝑓 − 𝑔 se define:
 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔
 (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔
1.4. Multiplicación de funciones
Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones con 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔 respectivamente, entonces la multiplicación
de 𝑓 y 𝑔 denotado por 𝑓. 𝑔 se define:
 𝐷𝑓.𝑔 = 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔
 (𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔

1.5. Cociente de funciones

Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones con 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔 respectivamente, entonces el cociente de 𝑓
y 𝑔 denotado por 𝑓/𝑔 se define:
 𝐷𝑓/𝑔 = 𝐷𝑓 ⋂𝐷𝑔 − {𝑥 ∈ 𝐷𝑔 /𝑔(𝑥) = 0}
 (𝑓/𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓/𝑔

Ejemplo: Hallar 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔 𝑦 𝑓/𝑔, si 𝑓 = {(−1,2); (0,0); (2,4); (3, −1); (4,3)}

y 𝑔 = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)}.
Vemos:
 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {−1, 0, 2, 3, 4}
 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {2, 3, 4, 6}
 𝐷𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {2, 3, 4}
(𝑓 + 𝑔)(2) = 𝑓(2) + 𝑔(2) = (4) + (0) = 4
(𝑓 + 𝑔)(3) = 𝑓(3) + 𝑔(3) = (−1) + (4) = 3
(𝑓 + 𝑔)(4) = 𝑓(4) + 𝑔(4) = (3) + (7) = 10
∴ 𝑓 + 𝑔 = {(2,4); (3,3); (4; 10)}

 𝐷𝑜𝑚(𝑓 − 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {2, 3, 4}

(𝑓 − 𝑔)(2) = 𝑓(2) − 𝑔(2) = (4) − (0) = 4
(𝑓 − 𝑔)(3) = 𝑓(3) − 𝑔(3) = (−1) − (4) = −5
(𝑓 − 𝑔)(4) = 𝑓(4) − 𝑔(4) = (3) − (7) = −4
∴ 𝑓 − 𝑔 = {(2,4); (3, −5); (4; −4)}

Eder Escobar Gómez

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

 𝐷𝑜𝑚(𝑓. 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = {2, 3, 4}

(𝑓. 𝑔)(2) = 𝑓(2). 𝑔(2) = (4). (0) = 0
(𝑓. 𝑔)(3) = 𝑓(3). 𝑔(3) = (−1). (4) = −4
(𝑓. 𝑔)(4) = 𝑓(4). 𝑔(4) = (3). (7) = 21
∴ 𝑓. 𝑔 = {(2,0); (3, −4); (4; 21)}

 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 − {𝑥 ∈ 𝐷𝑔 /𝑔(𝑥) = 0} = {2, 3, 4} − {2} = {3, 4}

(𝑓/𝑔)(3) = 𝑓(3)/𝑔(3) = (−1)/(4) = −1/4
(𝑓/𝑔)(4) = 𝑓(4)/𝑔(4) = (3)/(7) = 3/7
∴ 𝑓/𝑔 = {(3, −1/4); (4; 3/7)}

𝑥+2 (𝑥−1)
Ejemplo: Hallar el dominio de la función 𝑓 (𝑥 ) = √4𝑥 − 𝑥 2 + (𝑥−3) −
√𝑥 2 −4
Veamos:
 Si 4𝑥 − 𝑥 2 ≥ 0, 𝑥 2 − 4𝑥 ≤ 0 . Luego, 𝐷𝑓1 = [ 0, 4].
 Si 𝑥 − 3 ≠ 0, 𝑥 ≠ 3. Luego, 𝐷𝑓2 = ℝ − {3}.
 Si 𝑥 2 − 4 > 0, (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) > 0 . Luego, 𝐷𝑓3 =< −∞, −2 >∪< 2, +∞ >.
Por lo tanto, 𝐷𝑓 = (𝐷𝑓1 ⋂ 𝐷𝑓2 )⋂ 𝐷𝑓3 = < 2, 3 > ∪ < 3, 4 ].

Ejemplo: Calcular 𝑓 + 𝑔, 𝑓 − 𝑔, 𝑓. 𝑔 𝑦 𝑓/𝑔 si:

2𝑥 + 1; 𝑥 ≥ 1 3𝑥 + 1; 𝑥 ≤ 8
𝑓(𝑥) = { 2 y 𝑔(𝑥) = { 3
𝑥 − 2; 𝑥 < 0 3𝑥 ; 𝑥 > 10
Veamos:
𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓1 ± 𝑔1 ) = 𝐷𝑜𝑚( 𝑓1 . 𝑔1 ) = { ∈ [1, +∞⟩ ∩ ⟨−∞, 8]} = [1, 8]
𝑥
𝐷𝑜𝑚(𝑓1 /𝑔1 ) = [1,8] − {𝑥/3𝑥 + 1 = 0} = [1, 8] – {– 1/3} = [1, 8]

𝐷𝑜𝑚(𝑓2 ± 𝑔1 ) = 𝐷𝑜𝑚( 𝑓2 . 𝑔1 ) = {𝑥/𝑥 ∈ ⟨−∞, 0⟩ ∩ ⟨−∞, 8]} = – , 0

𝐷𝑜𝑚(𝑓2 /𝑔1 ) = ⟨−∞, 0⟩ − {𝑥/3𝑥 + 1 = 0} = – , 0 – {– 1/3}

𝐷𝑜𝑚(𝑓1 ± 𝑔2 ) = 𝐷𝑜𝑚( 𝑓1 . 𝑔2 ) = {𝑥/𝑥 ∈ [1, +∞⟩ ∩ ⟨10, +∞⟩} = 10, + 

𝐷𝑜𝑚(𝑓1 /𝑔2 ) = ⟨10, +∞⟩ − {𝑥/3𝑥 3 = 0} = 10, + 

𝐷𝑜𝑚(𝑓2 ± 𝑔2 ) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓2 . 𝑔2 ) = {𝑥/𝑥 ∈ ⟨−∞, 0⟩ ∩ ⟨10, +∞⟩} = 

Luego:
5𝑥 + 2; 𝑥 ∈ [1,8]
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = {𝑥 2 + 3𝑥 − 1; 𝑥 ∈ ⟨−∞, 0⟩
3𝑥 3 + 2𝑥 + 1; 𝑥 ∈ ⟨10, +∞⟩
−𝑥; 𝑥 ∈ [1,8]
2
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = {𝑥 − 3𝑥 − 3; 𝑥 ∈ ⟨−∞, 0⟩
−3𝑥 3 + 2𝑥 + 1; 𝑥 ∈ ⟨10, +∞⟩
6𝑥 2 + 5𝑥 + 1; 𝑥 ∈ [1,8]
(𝑓 . 𝑔)(𝑥) = {3𝑥 3 + 𝑥 2 − 6𝑥 − 2; 𝑥 ∈ ⟨−∞, 0⟩
6𝑥 4 + 3𝑥 3 ; 𝑥 ∈ ⟨10, +∞⟩

Eder Escobar Gómez

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

2𝑥+1
; 𝑥 ∈ [1,8]
3𝑥+1
𝑓 𝑥 2 −2 1
( ) (𝑥) = ; 𝑥 ∈ ⟨−∞, 0⟩ − {− 3}
𝑔 3𝑥+1
2𝑥+1
{ 3𝑥 3 ; 𝑥 ∈ ⟨10, +∞⟩
2. Composición de funciones
Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔, tales que: 𝑓: 𝐴 → 𝐵; 𝑔: 𝐵 → 𝐶 y que 𝑅𝑓 ⋂𝐷𝑔 ≠ ∅, entonces
la función compuesta 𝑔 ∘ 𝑓 es aquella función definida por:
 𝐷𝑔∘𝑓 = {𝑥/𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∧ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔 }
 (g ∘ 𝑓 )(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
Para que exista la composición de funciones 𝑔 ∘ 𝑓 es necesario que 𝑅𝑓 ⋂𝐷𝑔 ≠ ∅.

De esta representación se puede observar:

 𝑫𝒈∘𝒇 ⊆ 𝑫𝒇 ⊆ 𝑨
 𝑹𝒈∘𝒇 ⊆ 𝑹𝒈 ⊆ 𝑪

Ejemplo: Dadas las funciones: 𝑓 = {(0,1); (1,2); (2,3); (4,3); (5,2); (6,1)} y 𝑔=
{(6,7); (5,4); (4,3); (2,4); (1,4); (0,7)}. Hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔.
Veamos:
Para 𝑔 ∘ 𝑓:

Por lo tanto:
𝑔 ∘ 𝑓 = {(0,4); (1,4); (5,4); (6,4)}
Eder Escobar Gómez
Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

Para 𝑓 ∘ 𝑔:

Por lo tanto:
𝑓 ∘ 𝑔 = {(1,3); (2,3); (5,3)}

1 1
Ejemplo: Si 𝑓: [3, +∞) → ℝ tal que 𝑓 (𝑥) = 𝑥−2 y 𝑔: [ , +∞)  ℝ tal que
2
𝑔(𝑥) =
2𝑥+1
; hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y su dominio.
𝑥
Veamos:
 Hallando el dominio:
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥/𝑥 ∈ Dom (𝑓) ∧ 𝑓(𝑥) ∈ Dom (𝑔)}
1 1
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥/𝑥 ∈ [3, +∞⟩ ∧ ∈ [ , +∞⟩}
𝑥−2 2
1 1
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥/𝑥 ≥ 3 ∧ ≥ }
𝑥−2 2
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥/𝑥 ≥ 3 ∧ 0 < 𝑥 − 2 ≤ 2}

𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥/𝑥 ≥ 3 ∧ 2 < 𝑥 ≤ 4}

𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = [3,4]

 Ahora:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
2𝑓 (𝑥)+1
 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = Evaluando g(x)
𝑓 (𝑥 )
2
+1
𝑥−2
 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 1 Reemplazando 𝑓(𝑥)
𝑥−2
2+𝑥−2
𝑥−2
 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 1 Operando
𝑥−2
 (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 Simplificando

∴ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥, 𝑥 ∈ [3,4]

3. Funciones inyectivas, suryectiva y biyectivas

3.1. Función inyectiva
La función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es inyectiva (univalente) si a cada elemento del rango le
corresponde un único elemento en el dominio, es decir:

Eder Escobar Gómez

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

𝑆𝑖 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 ∶ 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 )
Lo que equivale a:
𝑆𝑖 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 ∶ 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) ⇒ 𝑥1 = 𝑥2

Si la función 𝑓(𝑥) tiene varias reglas de correspondencia como:

𝑓1 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓1
𝑓2 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓2
𝑓(𝑥) =
⋮
{ 𝑓𝑛 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐷𝑓𝑛
diremos que es inyectiva sí y sólo sí cada función 𝑓1 , 𝑓2 , ⋯ , 𝑓𝑛 deben ser inyectivas y
además 𝑅𝑓𝑖 ⋂𝑅𝑓𝑗 = ∅, ∀𝑖 ≠ 𝑗.

En forma gráfica se puede determinar si una función es inyectiva o no, para esto se
traza una recta paralela al 𝑒𝑗𝑒 𝑋, si dicha recta corta a la gráfica en dos puntos o
más, entonces la función 𝑓 no es inyectiva y si la corta en un sólo punto, entonces
la función 𝑓 es inyectiva.

Ejemplo: Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} y 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y las funciones 𝑓1 , 𝑓2 𝑦 𝑓3 .

según definición podemos afirmar que las funciones 𝑓2 𝑦 𝑓3 son inyectivas.

3.2. Función suryectiva

La función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es suryectiva (o sobre) sí y sólo sí, ∀𝑦 ∈ 𝐵, existe 𝑥 ∈ 𝐴 tal que
𝑦 = 𝑓(𝑥), esto quiere decir que todo elemento 𝐵 es imagen por lo menos de un
elemento de 𝐴, es decir que:
La función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es suryectiva si 𝑅𝑓 = 𝐵.

Eder Escobar Gómez

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

Ejemplo: Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} y 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y las funciones 𝑓1 , 𝑓2 𝑦 𝑓3 .

según definición podemos afirmar que la función 𝑓2 son suryectiva.

3.3. Función biyectiva

La función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 se llama función biyectiva, si la función 𝑓 es inyectiva y
suryectiva simultáneamente.

Ejemplo: Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3} y 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y las funciones 𝑓1 , 𝑓2 𝑦 𝑓3 .

según definición podemos afirmar que las funciones 𝑓2 es biyectivas.

3+4𝑥
Ejemplo: Si 𝑓: 𝐴 → [−9, −1⟩ una función definida por 𝑓(𝑥) = ; determine 𝐴,
3−𝑥
probar que 𝑓 es inyectiva y ¿𝑓 es suryectiva?
Veamos:
 Recuerde que el conjunto de llegada es el rango; es decir, los valores de 𝑦 =
𝑓(𝑥). Esto es:
3+4𝑥 3+4𝑥 3+4𝑥
−9 ≤ < −1  −9 ≤ ⋀ < −1
3−𝑥 3−𝑥 3−𝑥
3+4𝑥 3+4𝑥
 ≥ −9 ∧ < −1, operando tenemos:
3−𝑥 3−𝑥
𝑥 ∈ < −∞, 3 >∪ [ 6, +∞ > ∩ 𝑥 ∈ < −∞, −2 >∪< 3, +∞ >
Por lo tanto:
𝐴 = ⟨−∞, −2⟩ ∪ [6, +∞⟩
 Probando que 𝑓 es inyectiva:
𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )

4𝑥1 +3 4𝑥2+3
= ⟹ 𝑥1 = 𝑥2
3−𝑥1 3−𝑥2

Eder Escobar Gómez

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

 ¿𝑓 es suryectiva?
3𝑦−3
Operando tenemos: 𝑥=
𝑦+4
3𝑦−3 3𝑦−3
Según 𝐴 tenemos: < −2 ⋁ ≥6
𝑦+4 𝑦+4
Operando: 𝑦 ∈< −4, −1 > ∪ 𝑦 ∈ [−9, −4 >
Por lo cual: 𝑅𝑓 : 𝑦 ∈ [−9, −1 > − {−4} ≠ ∈ [−9, −1 >

∴ 𝑓 no es suryectiva.

4. Funciones crecientes, decrecientes y monótonas

4.1. Función creciente
La función 𝑓 se llama creciente si ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 se tiene:
𝑆𝑖 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )

4.2. Función decreciente

La función 𝑓 se llama decreciente si ∀𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓 se tiene:
𝑆𝑖 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 )

4.3. Función monótona

La función 𝑓 se llama monótona si la función 𝑓 es creciente o decreciente.
Observación: Si una función 𝑓 es creciente, entonces 𝑓 es inyectiva(univalente)

Eder Escobar Gómez

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

5. Función inversa
Consideremos la función 𝑓 = {(𝑥, 𝑓(𝑥))/𝑥 ∈ 𝐷𝑓 } con 𝐷𝑓 𝑦 𝑅𝑓 entonces diremos que
existe la función inversa 𝑓, sí y sólo sí, 𝑓 es inyectiva.
A la función inversa de 𝑓 la denotaremos por 𝑓 ∗ ó 𝑓 −1 , la cual se define:
𝑓 −1 = {(𝑓(𝑥), 𝑥)/𝑥 ∈ 𝐷𝑓 }
donde: 𝐷𝑓−1 = 𝑅𝑓 𝑦 𝑅𝑓−1 = 𝐷𝑓

Observación: El gráfico de la función 𝑓 −1 es simétrica a la función 𝑓 con respecto a la

función identidad 𝐼(𝑥) = 𝑥, por lo cual su gráfico se obtiene por reflexión con respecto
a la recta 𝐼(𝑥) = 𝑥.

5.1. Propiedad fundamental de las funciones inversas

Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una función inyectiva y 𝑓 −1 = 𝐵 → 𝐴 es la función inversa de 𝑓
entonces:
𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓
𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓−1
5.2. Cálculo de la función inversa
Sea 𝑓: 𝐴 → 𝐵 una función inyectiva, entonces a la función inversa 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴 se
puede hallar resolviendo la ecuación 𝑓(𝑓 −1 (𝑥)) = 𝑥 ∨ 𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥
6. Función inversa de una composición
Si dos funciones 𝑓 y 𝑔 son inyectivas y la función composición 𝑓 ∘ 𝑔 existe entonces es
inyectiva por lo tanto tiene inversa (𝑓 ∘ 𝑔)−1 , donde para este caso se tiene la propiedad
(𝑓 ∘ 𝑔)−1 = 𝑔−1 ∘ 𝑓 −1 .

(𝑥−2)2
Ejemplo: Si la función 𝑓: < −∞, 2 ] → [ −∞, −3 ] definida por 𝑓(𝑥) = −3 − , ¿Hallar
4
su función inversa si existe?
Veamos:
 Para que 𝑓 −1 exista 𝑓 debe ser inyectiva, entonces:
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)

Eder Escobar Gómez

Universidad Nacional de Piura Facultad de Ciencias

(𝑎 − 2)2 (𝑏 − 2)2
−3 − = −3 −
4 4
(𝑎 − 2)2 = (𝑏 − 2)2
|𝑎 − 2|2 = |𝑏 − 2|2
|𝑎 − 2| = |𝑏 − 2|
Pero 𝑎 − 2 ≤ 0 y 𝑏 − 2 ≤ 0 → −(𝑎 − 2) = −(𝑏 − 2) → 𝑎 = 𝑏 (Si es inyectiva)
∴ 𝑓 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎.
 Operando para encontrar su inversa tenemos.
(𝑥−2)2
𝑦 = −3 − → (𝑥 − 2)2 = −4(𝑦 + 3) → |𝑥 − 2|2 = −4(𝑦 + 3)
4
→ |𝑥 − 2| = √−4(𝑦 + 3) → −(𝑥 − 2) = √−4(𝑦 + 3) → 𝑥 = 2 − 2√−𝑦 − 3
∴ 𝑓 −1 (𝑥) = 2 − 2√−𝑥 − 3

Eder Escobar Gómez