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    Tarea N5

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    1. Se calculan las derivadas parciales de primer orden de funciones de varias variables. 2. Se demuestra que una función posee derivadas parciales en un punto pero no es continua en ese punto. 3. Se calculan derivadas parciales de funciones definidas mediante integrales.

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    1. Se calculan las derivadas parciales de primer orden de funciones de varias variables. 2. Se demuestra que una función posee derivadas parciales en un punto pero no es continua en ese punto. 3. Se calculan derivadas parciales de funciones definidas mediante integrales.

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    TAREA N5

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    1. Se calculan las derivadas parciales de primer orden de funciones de varias variables. 2. Se demuestra que una función posee derivadas parciales en un punto pero no es continua en ese punto. 3. Se calculan derivadas parciales de funciones definidas mediante integrales.

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    1. Se calculan las derivadas parciales de primer orden de funciones de varias variables. 2. Se demuestra que una función posee derivadas parciales en un punto pero no es continua en ese punto. 3. Se calculan derivadas parciales de funciones definidas mediante integrales.

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    UNIVERSIDAD NACIONAL

    HERMILIO VALDIZÁN

    ESCUELA PROFESIONAL DE
    ARQUITECTURA

    TAREA N°05

    : DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCIÓN


    DE VARIAS VARIABLES.DERIVADA
    PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.
    DERIVACIÓN IMPLÍCITA

    : MATEMATICA III

    : CHAVEZ NIETO, Yordan Teodoro

    : Mg. SUMAYA JAIMES REÁTEGUI


    TAREA N°05

    1. Hallar las derivadas parciales de la siguiente función


    𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑦 + 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥

    𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑥
    𝑙𝑛𝑓(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛𝑥
    Derivamos:
    𝑓 ′ (𝑥)
    = 𝑙𝑛𝑥 + 1
    𝑓(𝑥)
    𝑓′(𝑥) = 𝑓(𝑥)(𝑙𝑛𝑥 + 1)
    𝑎𝑓
    => 𝑎𝑥 = 𝑥 𝑥 (ln(𝑥) + 1) + 𝑦𝑥 𝑦−1 . 𝑦 𝑥 + 𝑥 𝑦 . 𝑙𝑛𝑦. 𝑦 𝑥

    𝑎𝑓
    = 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 ln(𝑥) + 𝑦 𝑥+1 . 𝑥 𝑦−1 + 𝑥 𝑦 . 𝑦 𝑥 . 𝑙𝑛𝑦
    𝑎𝑥
    𝑎𝑓
    = 𝑦 𝑦 𝑙𝑛𝑦 + 𝑦 𝑦 + 𝑥 𝑦 . 𝑦 𝑥 . 𝑙𝑛𝑦 + 𝑥 𝑦+1 . 𝑦 𝑥−1
    𝑎𝑦
    𝑎𝑓
    =0
    𝑎𝑧

    2. Hallar las derivadas parciales de la siguiente función


    𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑥 2 + 𝑦 2 )

    𝑎𝑓 −1 −2𝑥
    = (2𝑥) =
    𝑎𝑥 √1 − (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 √1 − (𝑥 2 + 𝑦 2 )2
    𝑎𝑓 −1 −2𝑥
    = (2𝑦) =
    𝑎𝑦 √1 − (𝑥 2 + 𝑦 2 )2 √1 − (𝑥 2 + 𝑦 2 )2
    𝑎𝑓
    =0
    𝑎𝑧

    3. Hallar las derivadas parciales de la siguiente función


    𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑡𝑎𝑛(3𝑥 + ln (𝑦 2 ))

    𝑎𝑓 1 3
    = 2 2
    .3 =
    𝑎𝑥 1 + (3𝑥 + 𝑙𝑛(𝑦 )) 1 + (3𝑥 + 𝑙𝑛(𝑦 2 ))2
    𝑎𝑓 1 2 2
    = . =
    𝑎𝑥 1 + (3𝑥 + 𝑙𝑛(𝑦 )) 𝑦 𝑦(1 + (3𝑥 + 𝑙𝑛(𝑦 2 ))2
    2 2
    4. Hallar las derivadas parciales de la siguiente función
    𝑥2𝑦
    𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐(ln (𝑥 2 +𝑦))

    𝑎𝑓 1 𝑥 2 + 𝑦 2𝑥𝑦(𝑥 2 + 𝑦) − 2𝑥(𝑥 2 𝑦)
    = ( )
    𝑎𝑥 𝑥2𝑦 (𝑥 2 + 𝑦)2
    𝑥2𝑦 𝑥2𝑦
    |𝑙𝑛 ( 2 )| √𝑙𝑛2 ( 2 )−1
    𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦

    g(x,y)
    𝑎𝑓 2𝑦
    =
    𝑎𝑥
    𝑥2𝑦 𝑥2𝑦
    |𝑙𝑛 ( 2 )| √𝑙𝑛2 ( 2 ) − 1. (𝑥 2 + 𝑦)𝑥
    𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦

    𝑎𝑓 𝑥 2 + 𝑦 (𝑥 2 + 𝑦)𝑥 2 − (𝑥 2 𝑦)
    = 𝑔(𝑥, 𝑦). 2 ( )
    𝑎𝑦 𝑥 𝑦 (𝑥 2 + 𝑦)2

    𝑎𝑓 𝑥2
    =
    𝑎𝑥
    𝑥2𝑦 𝑥2𝑦
    |𝑙𝑛 ( 2 )| √𝑙𝑛2 ( 2 ) − 1. (𝑥 2 + 𝑦)𝑦
    𝑥 +𝑦 𝑥 +𝑦

    5. Probar que la función tiene derivadas parciales en (0,0), pero no es continua en (0,0)
    𝑥𝑦
    2 +𝑦 2 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
    𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥
    0 𝑠𝑖 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

    𝑎𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓((0 + ℎ), 0) − 𝑓(0,0)


    = lim
    𝑎𝑥 ℎ→0 ℎ
    ℎ. 0
    ℎ 2+0−0
    lim
    ℎ→0 ℎ
    0
    lim =0 → 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
    ℎ→0 ℎ
    𝑎𝑓(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓(0, (ℎ + 0)) − 𝑓(0,0)
    = lim
    𝑎𝑦 ℎ→0 ℎ
    0. ℎ
    −0
    lim 0 + ℎ2
    ℎ→0 ℎ
    0
    lim =0 → 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
    ℎ→0 ℎ
    Demostración de continuidad
    𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
    lim 𝑓(𝑥. 𝑦)
    (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃

    𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃
    lim = 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃
    𝑟→0 𝑟2
    Vemos que el límite puede tomar diferentes valores, pero como debe ser único

    lim 𝑓(𝑥. 𝑦) ∄, por lo tanto no es continuo


    (𝑥,𝑦)→(0,0)

    6. Calcular las derivadas parciales de las siguientes funciones considerando que g: R R


    es continua
    De manera general plantearemos
    𝑡2 𝑡2
    𝑑𝐺(𝑡)
    = 𝑔(𝑡) => ∫ 𝑑𝐺(𝑡) = ∫ 𝑔𝑡𝑑𝑡
    𝑑𝑡 𝑡1 𝑡1

    Debido a que g(t) continuo plantearemos el primer teorema fundamental del cálculo

    𝑥𝑦
    - 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
    𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑥𝑦) − 𝐺(𝑥)
    𝑎𝑓
    = 𝑔(𝑥𝑦)𝑦 − 𝑔(𝑥)
    𝑎𝑥
    𝑎𝑓
    = 𝑥. 𝑔(𝑥𝑦)
    𝑎𝑦

    𝑦−𝑥
    - 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥+𝑦 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
    𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑦 − 𝑥) − 𝐺(𝑥 + 𝑦)
    𝑎𝑓
    = −𝑔(𝑦 − 𝑥) − 𝑔(𝑥 + 𝑦)
    𝑎𝑥
    𝑎𝑓
    = 𝑔(𝑦 − 𝑥) − 𝑔(𝑥 + 𝑦)
    𝑎𝑦

    𝑥
    - 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥𝑦(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑔(𝑡)𝑑𝑡
    𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝐺(𝑥) − (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝐺(𝑥𝑦)
    𝑎𝑓
    = 2𝑥𝐺(𝑥) + (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑔(𝑥) − 2𝑥𝐺(𝑥𝑦) − (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑔(𝑥𝑦). 𝑦
    𝑎𝑥
    𝑎𝑓
    = 2𝑥(𝐺(𝑥) − 𝐺(𝑥𝑦)) + (𝑥 2 + 𝑦 2 )(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥𝑦). 𝑦)
    𝑎𝑥
    𝑎𝑓
    = 2𝑦𝐺(𝑥) − 2𝑦𝐺(𝑥𝑦) − (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑔(𝑥𝑦). 𝑥
    𝑎𝑦
    𝑎𝑓
    = 2𝑦(𝐺(𝑥) − 𝐺(𝑥𝑦)) − (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑔(𝑥𝑦). 𝑥
    𝑎𝑦
    𝑥 𝑥
    - 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫∫𝑥 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 ∫1 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐺(𝑥) − 𝐺(1)
    1
    𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐺(𝑦) − 𝐺(𝐺(𝑥) − 𝐺(1))
    𝑎𝑓
    = −𝑔(𝐺(𝑥) − 𝐺(1)). 𝑔(𝑥)
    𝑎𝑥
    𝑎𝑓
    = 𝑔(𝑦)
    𝑎𝑦

    7. Responde las siguientes preguntas


    - Un lado de un rectángulo de x=20m aumenta con la velocidad de 5 m/s, otro lado
    y=30m disminuye con la velocidad de 4 m/s. ¿con que velocidad variará el perímetro
    y área del rectángulo?

    𝑑𝑥 𝑑𝑦
    𝑥0 = 20 𝑦0 = 30 =5 = −4
    𝑑𝑡 𝑑𝑡
    𝑃(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 + 2𝑦
    𝑑𝑝 𝑎𝑝 𝑑𝑥 𝑎𝑝 𝑑𝑦
    = . + .
    𝑑𝑡 𝑎𝑥 𝑑𝑡 𝑎𝑥 𝑑𝑡
    𝑑𝑝
    = 2(5) + 2(−4) = 10 − 8 = 2𝑚/𝑠
    𝑑𝑡
    𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
    𝑑𝐴 𝑎𝐴 𝑑𝑥 𝑎𝐴 𝑑𝑦
    = . + .
    𝑑𝑡 𝑎𝑥 𝑑𝑡 𝑎𝑦 𝑑𝑡
    𝑑𝑥 𝑑𝑦
    𝑑𝑡
    =5 𝑑𝑡
    = −4
    𝑑𝑥 = 5𝑑𝑡 𝑑𝑦 = −4𝑑𝑡
    𝑥 = 20 + 5𝑡 𝑦 = 30 − 4𝑡
    𝑑𝐴
    = 5𝑦 − 4𝑥 = 5(30 − 4𝑡) − 4(20 + 5𝑡)
    𝑑𝑡
    𝑑𝐴
    = 150 − 20𝑡 − 80 − 20𝑡
    𝑑𝑡
    𝑑𝐴
    = 70 − 40𝑡 𝑚2 /𝑠
    𝑑𝑡

    - La altura de un cilindro recto disminuye a razón de 10 cm/min y el radio crece a


    razón de 4 cm/min. Determinar la razón de cambio del volumen en el instante en
    que la altura es de 50 cm y el radio de 16 cm
    Tenemos:
    𝑑ℎ 𝑑𝑟
    = −10𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛 = 4 𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛
    𝑑𝑡 𝑑𝑡
    ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
    2
    𝑉(𝑟, ℎ) = ℎ. 𝜋. 𝑟
    𝑑𝑣
    = 2ℎ𝜋𝑟. 4 + 𝜋𝑟 2 (−10)
    𝑑𝑡
    Datos: h=50 r=16
    𝑑𝑣
    = 2.50.16.4. 𝜋 + 162 . (−10). 𝜋
    𝑑𝑡
    𝑑𝑣
    = (6400 − (2560))𝜋 = 3840𝜋
    𝑑𝑡

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