Derivadas Parciales

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑓
𝑓 ′ (𝑥) = Lim =
ℎ→0 ℎ 𝑑𝑥
DERIVADAS PARCIALES
Definición: Si 𝑓: 𝐼𝑅2 → 𝐼𝑅 es una función de dos variables, sus derivadas
parciales 𝑓𝑥, 𝑓𝑦, están definidas por:
𝑓(𝑥+ℎ,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
𝑓𝑥 = lim si este límite existe
ℎ→0 ℎ
𝑓(𝑥,𝑦+ℎ)−𝑓(𝑥,𝑦)
𝑓𝑦 = lim si este límite existe
ℎ→0 ℎ
Notaciones: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), podemos escribir

𝜕𝑓 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑧
𝑓𝑥 = 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = = = = 𝑓1 = 𝐷𝑥 𝑓 = 𝐷1 𝑓 = 𝑧𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑓 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑧
𝑓𝑦 = 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = = = = 𝑓2 = 𝐷𝑦 𝑓 = 𝐷2 𝑓 = 𝑧𝑦
𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦
Ejemplo: Por definición de derivada parcial. Calcule las siguientes derivadas
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 3𝑥 2 + 𝑦; 𝑓𝑥 , 𝑓𝑦
Sol. Aplicamos la definición para cada derivada parcial, 𝑓𝑥

𝑓(𝑥 + ℎ, 𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑥 = lim
ℎ→0 ℎ
3(𝑥 + ℎ)2 + 𝑦 − 3𝑥 2 − 𝑦
𝑓𝑥 = lim
ℎ→0 ℎ
3𝑥 2 + 6𝑥ℎ + 3ℎ2 − 3𝑥 2
𝑓𝑥 = lim
ℎ→0 ℎ
ℎ(6𝑥 + 3ℎ)
𝑓𝑥 = lim = lim (6𝑥 + 3ℎ) = 6𝑥
ℎ→0 ℎ ℎ→0
Ahora aplicamos la definición para 𝑓𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦 + ℎ) − 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑦 = lim
ℎ→0 ℎ
3𝑥 2 + (𝑦 + ℎ) − 3𝑥 2 − 𝑦
𝑓𝑦 = lim
ℎ→0 ℎ
ℎ
𝑓𝑦 = lim = lim 1 = 1
ℎ→0 ℎ ℎ→0
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 𝑦 + 3𝑥 2
3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 2
4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦 − 2𝑥
5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 − 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 2 𝑦
6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 + 2𝑥 − 3𝑦 − 𝑥𝑦 2
Interpretación geométrica
La derivada parcial se interpreta como la pendiente de la recta tangente sobre
la curva de intersección del plano en dirección eje X o eje Y y la superficie que
es la gráfica de f.
http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-
Web/dparcialX.html
𝜕𝑓 𝜕𝑓
Interpretaciones geométricas de 𝜕𝑥
(izquierda) y de 𝜕𝑦
(derecha)
Nota: 1) Para hallar 𝑓𝑥 considere y como constante y derive 𝑓(𝑥, 𝑦) con

respecto a x
2) Para hallar 𝑓𝑦 considere x como constante y derive 𝑓(𝑥, 𝑦) con respecto a y
Ejemplos: Encuentre las primeras derivadas parciales de las siguientes

funciones:
1. 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑥 2 𝑦
Solución:
𝜕𝑓 𝜕𝑓
= 2𝑥 + 2𝑥𝑦; = 2𝑦 + 𝑥 2
𝜕𝑥 𝜕𝑦
3
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 √𝑦 = 𝑥 1/3 𝑦 1/2
𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1
Sol: = 3 𝑥 −2/3 𝑦 1/2 ; = 2 𝑥 1/3 𝑦 −1/2
𝜕𝑥 𝜕𝑦
2 −𝑦 2
3) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒 −𝑥 4) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 5 + 3𝑥 3 𝑦 2 + 3𝑥𝑦 4
5) 𝑧 = 𝑥𝑒 3𝑦 6) 𝑧 = 𝑦𝑙𝑛𝑥
𝑥−𝑦
7) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦 8) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑦
9) 𝑤 = 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑥𝑦 2
10) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 +𝑦2
𝑥
11)𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 12) 𝑧 = ln(𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 )
𝑦
Ejercicio I. Calcula las funciones derivadas parciales de las siguientes

funciones y su valor en el origen de coordenadas y en el punto (1, 2)
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑦
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦
2 2
3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −(𝑥 +𝑦 )/3
4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2
5. 𝑓(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 𝑦)cos(𝑥𝑦)
6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √64 − 𝑥 2
2 2
7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒 −(2𝑥 +𝑦 )
8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦 2
9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋(𝑥 + 𝑦))
10. 𝑓(𝑥, 𝑦) = log(1 + 2𝑥 2 + 3𝑦 2 )
Ejercicio II: Evalué las derivadas parciales indicadas
1. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 ; 𝑓𝑦 (2, −7)
2. 𝑓(𝑥, 𝑦) = −(𝑦 + 2)2 − 𝑥𝑙𝑛(𝑦 2 + 1) + 7; 𝑓𝑦 (2,0)
𝑥
3. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑒 3𝑥 + ; 𝑓𝑦 (0,1) 𝑦
𝑥 2
4. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 2𝑥𝑦 ; 𝑓𝑥 (−1,2)
5. 𝑧 = 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦 ; 𝑧𝑥 (2,1); 𝑧𝑦 (2,1)
𝑒 2𝑦+3𝑥
6. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧
; 𝑓𝑥 (2,1, −1); 𝑓𝑧 (2,1,3)
7. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦 + 𝑧); 𝑓𝑥 (−1,1, 𝑒); 𝑓𝑦 (1, −1, 𝑒)
Ejercicio III: Hallar todas las primeras derivadas parciales

4 √𝑥
1. 𝑧 = 3𝑦2 +1
1
2. 𝑧 =
𝑥 3 −𝑦 2
3. 𝑧 = ( −𝑥 4 + 7𝑦 2 + 3𝑦)6
2 2
4. 𝑧 = 𝑒 𝑥 arctan 𝑦
3
5. 𝑧 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑦
𝑥
6. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 𝑠𝑒𝑛 𝑦
3𝑥−𝑦
7. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+2𝑦
8. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(4𝑥 2 + 5𝑦 2 )
√𝑥 𝑦
9. 𝑓(𝑥, 𝑦) = + √𝑥
𝑦
10. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2√𝑥𝑦 − 𝑦𝑒 𝑦/𝑧
11. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑙𝑛 𝑥𝑧
12. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 3 𝑧 + 3𝑥 2 𝑦 5 𝑧 6
13. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑒 𝑥𝑦𝑧
1−𝑥𝑦𝑧
14. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑧
𝑥+1
15. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 2𝑥 2 𝑧
𝑥𝑦 2
Problema 1: La temperatura en un punto de una placa de acero viene dada en

grados centígrados y depende de las coordenadas de cada punto:
𝑇(𝑥, 𝑦) = 500 − 0,6𝑥 2 − 1,5𝑦 2
Vamos a calcular la razón de cambio de la temperatura o variación instantánea
con respecto a la distancia medida en centímetros al movernos sobre la placa
en las direcciones de los ejes X e Y desde el punto (2, 1).
𝜕𝑇 𝜕𝑇
Es decir = −1,2𝑥, entonces 𝜕𝑥 (2,1) = −2,4. Este resultado pone de
𝜕𝑥
manifiesto que un aumento repentino de la variable x desde el punto de
coordenadas (2, 1) representará un descenso de la temperatura. Físicamente
se puede afirmar que la variación instantánea de la temperatura con respecto a
x en (2, 1) es -2.4 grados/cm. De igual manera se tiene en la dirección Y
𝜕𝑇 𝜕𝑇
Es decir = −3,0 𝑦, entonces 𝜕𝑦 (2,1) = −3. Este resultado pone de
𝜕𝑦
manifiesto que un aumento repentino de la variable y desde el punto de
coordenadas (2, 1) representará un descenso de la temperatura. Físicamente
se puede afirmar que la variación instantánea de la temperatura con respecto a
𝑦 en (2, 1) es −3 grados/cm.
Problema 2: La Temperatura en un punto (𝑥, 𝑦) en una placa metálica plana
60
está dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = 1+𝑥 2 +𝑦2 , donde T se mide en “C° “, x e y en metros.
Encuentre la razón de cambio de temperatura con respecto a la distancia del
punto (2,1) en a) la dirección x b) la dirección y
Solución:
𝜕𝑇 −120𝑥 𝜕𝑇(2,1) 240 20
= 2 2 2
, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 =− =−
𝜕𝑥 (1 + 𝑥 + 𝑦 ) 𝜕𝑥 36 3
𝜕𝑇 −120𝑦 𝜕𝑇(2,1) 120 10

= , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 = − = −
𝜕𝑦 (1 + 𝑥 2 + 𝑦 2 )2 𝜕𝑦 36 3
Problemas:
1. La ley de los gases para una masa prefijada m de un gas ideal a
temperatura absoluta T, presión P y volumen V es 𝑃𝑉 = 𝑚𝑅𝑇, donde R
es la constante de los gases. Verifique que:
𝜕𝑃 𝜕𝑉 𝜕𝑇
= −1
𝜕𝑉 𝜕𝑇 𝜕𝑃
2. El área A de un paralelogramo es
𝐴 = 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃
Hallar todas las primeras derivadas parciales
3. Dado que 𝑧 = 4𝑥 3 𝑦 4
𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (1, −1) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜
𝑎) 𝑥 = 1 𝑏) 𝑦 = −1
18𝑥𝑦
4. Dado que 𝑓(𝑥, 𝑦) = , halle para (-1, 4, -24)
𝑥+𝑦
a) Ecuaciones paramétricas de la recta tangente en el plano 𝑥 = −1
b) Ecuaciones paramétricas de la recta tangente en el plano 𝑦 = 4
5. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva de intersección de
la superficie 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 9 con el plano 𝑦 = 2 en el punto (1,2,2).
6. La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa es T grados y
2
𝑇(𝑥, 𝑦) = 54 − 3 𝑥 2 − 4𝑦 2 . Si la distancia se mide en pies, encontrar la
rapidez de cambio de la temperatura con respecto a la distancia
recorrida a lo largo de la placa en las direcciones de los ejes x, y
respectivamente en el punto (3, 1).
7. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de
la superficie 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 con el plano 𝑦 = 1 en el punto (2, 1, 5)
8. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de
la superficie 36𝑥 2 − 9𝑦 2 + 4𝑧 2 + 36 = 0 con el plano 𝑥 = 1 en el punto
(1, √12, −3)
𝜕𝑓 𝜕𝑓
9. Encontrar 𝜕𝑥 ; 𝜕𝑦 para
𝑦 𝑦
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥 ln 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑎 𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑥 ln 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 + ∫𝑎 ln 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡
𝑥 𝑦
𝑓(𝑥, 𝑦) = − ∫𝑎 ln 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡 + ∫𝑎 ln 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑡
𝜕𝑓
= −ln(𝑠𝑒𝑛𝑥) + 0
𝜕𝑥
𝑥 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧
10. Dada la función 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑦 + ln 𝑥 . Verificar que 𝑦 𝜕𝑦 + 𝑥 𝜕𝑥 = 0
11. Determine el costo marginal con respecto a 𝑥 𝑒 𝑦, si la función costo es
𝑄(𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 2𝑦 2 − 𝑥𝑦 + 20 (Costo marginal = derivada del costo total)
El costo marginal es la razón de cambio del costo total con respecto a la
producción
12. Considera el volumen V de un cono; ¿Éste depende de la altura h del
cono y su radio r de acuerdo con la fórmula? ¿La derivada parcial de V
respecto a r es?; y describe la velocidad de cambio con que el volumen
de un cono cambia si su radio varía y su altura se mantiene constante.
¿La derivada parcial respecto a h es?, y describe la velocidad de cambio
con que el volumen de un cono cambia si su altura varía y su radio se
mantiene constante
13. En la función de costo de producción dos artículos x e y es:
𝐶 = 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 + 8, determinar el costo marginal con
respecto a x, y el costo marginal con respecto a y.
14. Una empresa fabrica dos tipos de estufas de combustión de madera: el
modelo auto-estable y el modelo para inserción de una chimenea. La
función de costo para producir x estufas auto-estables y de y de
inserción de una chimenea es:
𝐶 = 32√𝑥𝑦 + 175𝑥 + 205𝑦 + 1050
𝜕𝐶 𝜕𝐶
Calcular los costos marginales 𝜕𝑥 , 𝜕𝑦 cuando 𝑥 = 80, 𝑦 = 20 .
15. El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y b, entre los que
se forma un ángulo está dada por 𝐴 = 𝑎𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝜃.
a) Hallar la tasa o el ritmo de cambio de A con respecto de a si 𝑎 = 10;

𝜋
𝑏 = 20; 𝜃 =
6
b) Calcular la tasa o el ritmo de cambio de A con respecto de
𝜋
si 𝑎 = 10; 𝑏 = 20; 𝜃 = 6
1
16. El área de un triángulo está dada por 𝐴 = 2 𝑏𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝜃. Si 𝑏 = 10 𝑐𝑚
𝑐 == 20 𝑐𝑚 y 𝜃 = 60°
a) Hallar el área
b) Hallar la rapidez de variación del área con respecto al lado b si c y 𝜃
permanecen constantes
c) Hallar la rapidez de variación del área con respecto al ángulo 𝜃 si b y c
d) Empleando el resultado en (c), calcular aproximadamente el área si el
ángulo se aumenta en un grado
e) Hallar la rapidez de variación de c con respecto a b si el área y el ángulo
17. La ley del coseno para un triángulo cualquiera está dado por:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝜃
Si 𝑏 = 10 𝑐𝑚; 𝑐 = 15 𝑐𝑚 𝑦 𝜃 = 60°
a) Hallar la rapidez de variación de a con respecto a b si c y 𝜃 permanecen
constantes
b) Empleando el resultado de (a), calcular aproximadamente el cambio de
a si b se disminuye 1 cm
c) Hallar la rapidez de a con respecto a 𝜃 si b y c permanecen constantes
d) Hallar la rapidez de variación de c con respecto a 𝜃 si a y b permanecen

constantes

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𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑑𝑓

Notaciones: Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), podemos escribir

Sol. Aplicamos la definición para cada derivada parcial, 𝑓𝑥

Ahora aplicamos la definición para 𝑓𝑦

Nota: 1) Para hallar 𝑓𝑥 considere y como constante y derive 𝑓(𝑥, 𝑦) con

Ejemplos: Encuentre las primeras derivadas parciales de las siguientes

Ejercicio I. Calcula las funciones derivadas parciales de las siguientes

Ejercicio III: Hallar todas las primeras derivadas parciales

Problema 1: La temperatura en un punto de una placa de acero viene dada en

𝜕𝑇 −120𝑦 𝜕𝑇(2,1) 120 10

𝐶 = 32√𝑥𝑦 + 175𝑥 + 205𝑦 + 1050

a) Hallar la tasa o el ritmo de cambio de A con respecto de a si 𝑎 = 10;

d) Hallar la rapidez de variación de c con respecto a 𝜃 si a y b permanecen

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