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    Examen Algebra

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    El documento contiene instrucciones para la realización de un examen, incluyendo no intercambiar objetos, no usar dispositivos electrónicos, y no salir del aula durante el examen. Contiene 7 problemas que abarcan álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, cálculo vectorial e integral. Se pide mostrar procedimientos con claridad y marcar resultados.

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    El documento contiene instrucciones para la realización de un examen, incluyendo no intercambiar objetos, no usar dispositivos electrónicos, y no salir del aula durante el examen. Contiene 7 problemas que abarcan álgebra lineal, ecuaciones diferenciales, cálculo vectorial e integral. Se pide mostrar procedimientos con claridad y marcar resultados.

    Descripción original:

    examen de algebra vectorial

    Título original

    examen algebra

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    *Indicaciones:

    Dejar maletas bajo el pizarrón después de extraer lo necesario *No está permitido el intercambio de objetos, así como conversaciones o preguntas al grupo (el examen será retirado y no habrá beneficio de la duda)
    *No está permitido el uso de formulario, celulares o dispositivos con internet o música *Sí está permitido usar calculadora científica *No se permiten salidas del aula sin concluir el examen.
    Resuelve los siguientes ejercicios.
    Ordenar las hojas anexas con los ejercicios resueltos *Escribir nombre completo en cada una de las hojas anexas *Redactar procedimientos con claridad: legibilidad, orden de ideas, conclusiones. Expresiones
    confusas no serán consideradas *Resaltar (con círculo o marcatextos) los resultados al concluir los procedimientos *Resultados no justificados con procedimientos no serán tomados en cuenta *Ejercicio con doble
    respuesta será anulado. Tacha lo que no debe ser revisado.

    −1 2 3 −1 1 −2 2 5
    1. [15 puntos] Sean 𝐴𝐴 = � 2 2 4 � , 𝐵𝐵 = � 3 2 � y 𝐶𝐶 = � 1 3 2�
    0 1 1 2 3 5 2 1
    Con estas matrices realiza las operaciones que se indican a continuación:
    a. 𝐴𝐴 + 𝐶𝐶
    b. 𝐴𝐴𝐴𝐴
    c. det (𝐶𝐶)

    2. [10 puntos] Aplica detalladamente EL MÉTODO DE GAUSS-JORDAN para resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
    2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 2
    4𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 1/3
    3. [15 puntos] Para cada gráfica, subraya (en la lista a su derecha) la función que la representa.

    𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 〈𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡), 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡), 𝑡𝑡 〉

    𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 〈𝑡𝑡, 2𝑡𝑡, 3𝑡𝑡〉

    𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 〈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡), 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡)〉

    𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 〈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡), 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡), 𝑡𝑡〉

    𝑟𝑟(𝑡𝑡) = 〈2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡), 2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑡𝑡), 2𝑡𝑡〉

    𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 2 − 1) + (𝑦𝑦 2 − 3) + 4

    𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4

    𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 + 4

    𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 + 1)2 + (𝑦𝑦 + 3)2 + 4

    𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 − 1)2 + (𝑦𝑦 − 3)2 + 4


    𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 〈𝑦𝑦, 𝑥𝑥〉

    𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 〈𝑦𝑦, −𝑥𝑥〉

    𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 〈−𝑦𝑦, 𝑥𝑥〉

    𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 〈𝑦𝑦, −𝑥𝑥, 𝑧𝑧〉

    𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 〈𝑥𝑥, −𝑦𝑦, 𝑧𝑧〉


    4. [15 puntos] Considera la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (𝑥𝑥 − 1)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 + (−𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 − 2)2.

    a. Las primeras derivadas parciales de 𝑓𝑓 son 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = _________________________ y 𝑓𝑓𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = _________________________

    b. Halla el(los) punto(s) crítico(s) de 𝑓𝑓 [ parejas (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) tales que ∇𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (0,0) ), es decir, 𝑓𝑓𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 y 𝑓𝑓𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 ]

    c. Las segundas derivadas parciales de 𝑓𝑓 son:


    𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = _______________, 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = _______________, 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = _______________ y 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = _______________

    d. Concluye, en términos de la prueba de la segunda derivada, si 𝑓𝑓 tiene valores máximos, mínimos o silla en la(s) pareja(s) del inciso
    (b).

    5. [15 puntos] Calcula la integral doble ∬𝐷𝐷 2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 donde 𝐷𝐷 es el triángulo mostrado en la siguiente figura:

    6. [15 puntos] Considera la esfera sólida 𝐸𝐸 descrita por 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 ≤ 4. Usa coordenadas esféricas para calcular la siguiente integral

    triple:

    � �𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 𝑑𝑑𝑑𝑑
    𝐸𝐸

    7. [15 puntos] Considera el campo vectorial 𝐹𝐹(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 〈4𝑥𝑥𝑥𝑥 2 , 6𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 〉 y C la curva que es orilla del rectángulo 𝑅𝑅 = [0,1] × [0,2]

    Usa el teorema de Green para calcular la integral de línea ∫𝐶𝐶 𝐹𝐹 ∙ 𝑑𝑑𝒓𝒓 , es decir, ∫𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 + 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄

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