TECNICAS DE CONTEO

Es una operación matemática que permite establecer el número de posibles resultados en un

experimento o ensayo.
1.PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si en un experimento se pueden realizar Una operación de n1 formas se puede realizar otra
operación de n2 formas y así sucesivamente, entonces el numero total de resultados de
experimento estará dado por:
N: Numero de posibilidades totales
N=n1 × n2 … nk

EJEMPLO 1.
Un estudiante que quiere ingresar a la UPTC tiene la posibilidad de escoger entre 70
programas, de 5 cedes y 3 modalidades. ¿De cuantas maneras posibles se puede matricular
un estudiante?
N=70 × 5× 3=1050
EJEMPLO 2.
Cuantas placas para automóvil puede haber en Colombia, si se toma 26 letras del
abecedario y los números de entre tus directos del 0 al 9, y si:
a. Es posible repetir letras y números
26 26 26 10 10 10
N=17.576.000

b. No es posible repetir letras ni números

26 25 24 10 9 8
N= 11.232.000

c. Cuántas placas diseñadas en el enciso B empiezan por la letra P y empieza por el 0

1 25 24 1 9 8
N= 43.200

d. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso B por la letra M seguida de la N

1 1 24 10 9 8
N= 17.280

e. El primer dígito no puede ser 0

 26 26 26 9 10 10
N= 15.818.400

2.PERMUTACION
Si se tienen N elementos y se quieren organizar de a R elementos, donde el orden si
importa entonces el numero de posibilidades de obtener estos arreglos estará dado
por:
n!
N=nPr=
( n−r ) !

Del grupo de probabilidad, confirmado por 20 estudiantes Se requiere conformar un

comité de 5 personas para el cargo de presidente, fiscal, tesorero, secretario y vocal
de control
20 !
20 Ρ 5= =1.860.480
(20−5)!

¿Con los dígitos de 0 al 5, cuantos números de 3 cifras se pueden formar?

N=6 P 3=120
3.COMBINACION
Se tienen N elementos diferentes y se desean organizar de a R elementos, entonces
el número de combinaciones posibles estará dado por:
n n!
N=nCr ¿ r =
(n−r )! × r !

De un grupo de 20 personas, se requiere un comité de 5, ¿De cuántas maneras se

puede conformar?
N=20C 5=15.504

De cuantas maneras se pueden obtener manos de 5 cartas en un juego de Póker

N=52 C 5=2.598 .960

Cuantas manos del mismo palo se pueden obtener 5 cartas

N=4 × 13C 5=5148
 PERMUTACION CON REPETICION
N = Numero de posibilidades
Si se tiene “N” elementos de donde n1 elementos es de un tipo y n2 elementos son de otro
tipo y así sucesivamente. Entonces el numero de permutaciones posibles estará dada por:
n!
N=
n1 ×n 2 × n3 … nk

Permutación con repeticiones

Ejemplo 1
Se requieren instalar 9 bombillos en una lampara donde 3 son rojos, 4 son azules y 2
amarillos; Entonces, el numero de formas posibles serán:
9!
N= =1260
3 × 4 ×2
Ejemplo 2
Cuantas permutaciones distintas se pueden formar con las letras de la palabra
PROBABILIDAD, Cuantas de estas permutaciones comienzan con la letra I

PROBABILIDAD
P=1
R=1
O=1
B=2 12!
N= =29.937 .600
2 ×2 ×2 ×2
A=2
I=2
11!
L=1 N= =4.989.600
2 ×2 ×2
D=2
División de N objetos en R subconjuntos
El número de formas de partir un conjunto de N objetos en R celdas con N1 Elementos en la
primera celda, N2 Elementos en la segunda celda y así sucesivamente se calcula:
n!
N=
n1 ×n 2 × n3 … nR

Ejemplo
Una sala de cine tiene 10 películas para proyectar el fin de semana, si el viernes puede
proyectar 2 películas, el sábado 5 y el domingo 3 películas. ¿De cuantas maneras puede el
cine organizar su cartelera?
10 !
N= =2520
2 ! ×5 ! ×3 !
EJERCICIO EN CLASE
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen, Cuántas posibilidades
tendrá si:
A. Posibilidades totales de presentar el examen
10 C 8=45
B. Las 3 primeras preguntas son obligatorias
7 C 5=21
C. Tiene que contestar 4 de las 5 primeras preguntas
5 C 4 × 5 C4 =25

De cuantas maneras 4 mujeres y 3 hombres pueden ubicarse si:

A. Se ubican en una fila
N=7 P 7=21
B. Si tanto mujeres como hombres se sientan juntos
N=2× 4 ! × 3!=288
C. Las mujeres se sientan juntas
N=4 × 4 ! × 3!=576
Si no se permiten repeticiones, Cuantos números de 3 cifras se pueden formar, con los
siguientes 6 dígitos: 2,3,5,6,7 y 9
N=6 P 3=120

A. ¿Cuántos de estos números son menores de 400?

2 ×5 × 4=40
B. ¿Cuántos de estos números son pares?
5 × 4 ×2=40
C. ¿Cuántos de estos números son impares?
 5 × 4 × 4=80

En una urna se tienen 10 bolitas, 5 rojas, 3 blancas y 2 azules

A. si se toman 3 con reemplazo, Cuantas posibilidades se tienen, de moto que todas

sean del mismo color

(RRR) = 5 ×5 ×5=125
(BBB) = 3 ×3 ×3=27 N=15+ 27+8=160
(AAA) = 2 ×2 ×2=8

B. Cuantas posibilidades si se toman 3 bolitas sin reemplazo De modo que todas

sean del mismo color

(RRR) = 5 × 4 ×3=60
(BBB) = 3 ×2 ×1=6 N=60+ 6=66
(AAA) = Indeterminado por cantidad inexacta

C. Cuantas posibilidades, si se toman 3 bolitas sin reemplazo, dos rojas y una azul

(RRA) = 5 × 4 ×2=40
(RAR) =5 ×2 × 4=40 N=40+ 40+40=120
(ARR) = 2 ×5 × 4=40

D. Cuantas posibilidades, si se toman 3 bolitas sin reemplazo y que sean 2 rojas.

(RRA) = 5 × 4 ×2=40
(RAR) =5 ×2 × 4=40 N=40+ 40+40=120
(ARR) = 2 ×5 × 4=40
(RRB) = 5 × 4 ×3=60
(RBR) =5 ×3 × 4=60 N=60+ 60+60=180
(BRR) = 3 ×5 × 4=60 N=300
Operaciones Entre Conjuntos
El algebra de conjuntos permite realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro
conjunto.
Unión o Reunión de Conjuntos (U)

Permite a partir de dos o más conjuntos formar otro que contiene todos los elementos del
conjunto A y el conjunto B que se quieren unir, denominado conjunto Unión (U). La unión
de los conjuntos A y B, será otro conjunto formado por todos los elementos de A con todos
los elementos de B sin repetir algún elemento. Para representar la unión en los diagramas
de Venn, se sombrean las partes que se operan o une.

Ejemplo: Dados los conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8}, la unión de los conjuntos

sería: A U B = {1,2,3,4,5,6,7,8}.

Intersección de conjuntos (n)

Es la operación que permite formar un conjunto solo con los elementos comunes dados
conjuntos A y B, la intersección de los conjuntos A y B, estará formada por los elementos
de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes de A y B serán
excluidos.

Ejemplo: Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {4,5,6,7,8} La intersección de estos

conjuntos será A ∩ B = {4,5}
Diferencias de Conjuntos (A - B)

Es el conjunto que se forma con los elementos que están en A y no están en B. Esto no es
conmutativo es decir cambia cuando cambiamos el orden de los conjuntos El conjunto
resultante es diferente de todos los elementos que pertenecen al primer conjunto y excluye
todos aquellos contenidos en el segundo. A - B serán todos los elementos de A que no
pertenezcan a B.

Ejemplo: Dados 2 conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9}

La diferencia de conjuntos será A - B = {1,2,3} B - A = {6,7,8,9}"

Diferencia Simétrica de Conjuntos (Δ)

Es la operación que permite formar un conjunto en donde el conjunto resultante contendrá

todos los elementos que son exclusivos de ambos conjuntos, es decir que tendrá todos los
elementos sin contar aquellos comunes a ambos conjuntos A y B. Por todos los elementos
no comunes a los conjuntos A y B.

Ejemplo: Dados los Conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {4,5,6,7,8,9} La diferencia simétrica

de A Δ B = {1,2,3,6,7,8,9}
Complemento de un Conjunto (A’)

Es la operación que al aplicarla sobre un conjunto A con respecto a un conjunto universal

U, nos da como resultado otro conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal que no están en el conjunto A. Es decir, el conjunto Complemento de A es el
conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal, pero sin considerar a los
elementos que pertenecen al conjunto A.

Ejemplo: Dado el conjunto universal U: {1,2,3,4,5,6,7} y el conjunto A:{2,4,6}, el

conjunto A’ está formado por los siguientes elementos {1,3,5,7}.

Evaluación 2DO 50%

 Parcial 1  17.5%  Talleres  10%

 Parcial 2  17,7%  Consulta  5%

Cálculos De Probabilidad (Principios de Probabilidad)

Teorema de Bayes

o Binomial o Exponencial
o Hipergeométrica o Weibull
o Poisson o Uniforme
o Normal o Geométrica

Bases de datos y buscar un cado de aplicación para uno de los temas.

Realizar una presentación bien estructurada, donde se muestren los resultados de la

investigacion
PROBABILIDAD

Análisis de la ocurrencia de eventos fortuitos:

Cuando se hable de conjuntos tenemos un universo que se llama (Espacio Muestral)

“S”. Y tiene resultados que nos interesa se llaman eventos.

Eventos: Un evento o suceso es un resultado de interés particular durante la

ejecución de un experimento

Axiomas de Probabilidad:

1. Si E es un evento cualquiera del espacio muestral S, Entonces: la probabilidad

de E siempre va a estar entre 0 y 1 0 ≤ P ( E ) ≤ 1 ∴ P ( E ) ≥ 0
2. La probabilidad total del espacio muestral S será igual a 1, es decir la sumatoria
de todas las posibilidades del evento tienen que sumar 1 P(S) = 1
3. Si un evento no ah de ocurrir, la probabilidad de un conjunto vacío es P ( ∅ )=0
4. Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, P ( A ∩B )=0

Entonces se cumple que P ( A ∪ B )=P ( A ) + P(B)

5. Si A y B son eventos cuales quiera, donde: P ( A ∩B ) ≠ 0

Entonces se cumple que P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B )−P ( A ∩ B )

P ( A ∪ B ∪C )=P ( A ) + P ( B )+ P ( C )−P ( A ∩ B )−P ( A ∩C )−P (C ∩B )−P ( A ∩B ∩C )

6. Si A y B son eventos independientes, entonces: P ( A ∩B )=P ( A ) ∙ P(B)

En general vamos a tener que la Probabilidad de cualquier evento A va a ser igual a:

 N ° Posibilidades a favor
P ( A )=
N ° Posibilidades Totales

En un proceso de selección se presentan 3 Ingenieros Industriales, 4 Contadores y

un Administrador. Si se toma una hoja de vida al azar, ¿Cuál es la probabilidad? De:

A. Seleccionar un Ingeniero Industrial

3
Sea I: Selecciona un I.I P ( I ) = ∙ (100 % )=37.5 %
8

B. Seleccionar un Ingeniero Industrial o un Contador

3 4 7
C P ( I ∪ C )=P ( I ) + P ( C )= + = ∙(100 % )=87.5 %
8 8 8

C. Seleccionar a un Contador o un Administrador

4 1 5
P ( C ∪ A ) =P ( C ) + P ( A )= + = ∙ ( 100 % )=62 , 5 %
8 8 8

En una mano de Póker de 6 cartas, ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 damas, 2

reyes y 2 Ases?

4 C 2∙ 4 C 2 ∙ 4 C 2 −5
2Q, 2K, 2A P ( A )= =1,061 ×1 0
52 C 6

Un sistema contiene dos componentes A y B, Si se conecta de manera que este

funciona si cualquiera de los componentes funciona. Se sabe que la probabilidad de
que funcione A es 0.9, la de B es 0,8 y la probabilidad de que ambos funcionen es
de 0,72. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema funcione?

P ( A )=0 ,9 P ( B )=0 , 8 P ( A ∩ B )=0 , 72

P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B ) −P ( A ∩ B )

¿ 0 , 9+0 , 8−0 , 72∙ 100 %

P ( F ) =98 %

Un sistema contiene 5 componentes que se encuentran conectados entre sí, donde

las probabilidades indican la seguridad que el componente funcione correctamente.
Si se supone que el funcionamiento de una componente en particular es
independiente de las demás,
¿Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?

P(B)=0,90 P(D)=0,93

P(C)= 0,95 P(E)=0,97

P ( F ) =P ( A )+ P ( B ∪C ) −P (C ∪ E )

¿ P ( A ) ∙¿

¿ P ( A ) ∙¿

¿ 0 , 98 ∙ [ 0 , 9+ 0 , 95−0 , 9 ∙ 0 , 95 ] [ 0 , 93+ 0 ,97−0 , 93 ∙ 0 , 97 ]

¿ 0 , 98 ∙ [ 0,995 ][ 0,9979 ]

¿ 0,9731 ≈ 97 , 31 %

PROBABILIDAD CONJUNTA, MARGINAL Y CONDICIONAL

Sean A y B cuales quiera 2 eventos, que se encuentran en un espacio muestral S. La

probabilidad condicional de A al ocurrir el evento B, es el cociente de la
probabilidad conjunta de A y B con respecto a la probabilidad marginal de B, de
esta manera se tiene:

P( A ∩ B)
P ( A / B )=
P(B)

P( A ∩ B)
P ( B / A )=
P(B)
 P( A ∩ B)=P ( A / B ) ∙ P( B)

Si A y B son Independientes:

P( A ∩ B)=P ( A ) ∙ P(B)

P ( B / A )=P(B)

A los habitantes de una gran ciudad se les hizo una encuesta con el propósito de determinar
el numero de lectores de dos revistas, A y B. Los resultados de la encuesta fueron los
siguientes:

20 % De los habitantes leen A P(A)= 0,2

16% Leen B P(B)= 1,6
1% Leen ambas revistas. P(A∩B)= 0,01

Si se selecciona al azar un lector de A, ¿Cuál es la probabilidad de que también lea B?

P(B/A)

P( A ∩ B)
P ( B / A )=
P(B)

0 , 01
¿ =0 , 05=5 %
0,2

Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras. Y una segunda bolsa contiene 3 blancas y 5
negras. Se saca 1 bola de la primera bolsa y se coloca sin verla en la segunda bolsa. ¿Cuál
es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?

B1 (4B,3N)

B2 (3B,5N)
 P ( N 2 )=P ( B1 ) ∙ P
( )
N2
B1
+ P ( N1) P
( )
N2 4 5 3 2
= ∙ + ∙ =60 , 32%
N1 7 9 7 3

Una planta recibe reguladores de voltaje de 2 diferentes proveedores, B1 y B2. El 75% de

los reguladores se compran a B1 y el resto a B2. El porcentaje de reguladores defectuosos
que se reciben de B1 es de 8% y de B2 es del 10%. Si se toma un regulador al azar, ¿Cuál
es la probabilidad de que funcione de acuerdo con las especificaciones?

Para parejas casadas que viven en cierto suburbio, la probabilidad de que el esposo vote en
un referéndum es de 0,21. La probabilidad de que vote la esposa es de 0,28 y la
probabilidad de que ambos voten es de e,15. Cuál es la probabilidad de:

A. Al menos uno de los miembros de la pareja casada vote

P ( A ∪ B )=P ( A ) + P ( B ) −P ( A ∩ B )

¿ 0 , 21+0 , 28−0 ,15

¿ 0 , 34=34 %

B. Una esposa vote dado que su esposo vote

P( A ∩ B) 0 , 15
P ( B / A )= = =0 , 71=71 %
P(B) 0 , 21

C. Un esposo vote dado que su esposa no vota

 P( A ∩ B´ ) 0 , 06
P ( A / B´ )= = =0,0833=8 , 3 %
P( B ´ ) 0 , 72

La contaminación de los ríos en estados unidos ha sido un problema por muchos años:

Considere

A) El río está contaminado

B) Al probar una muestra de agua se detecta contaminación
C) Se permite pescar

Suponga

P(A)=0,3 P(B/A)=0,75

P(B/A´)=0,20 P(C/AnB)=0,20

P(C/A´nB)=0,90 P(C/B´nC)

Hallar

a) P(AnBnC)
b) P(B´nC)

c) P(C)=0,63
d) P(A/B´nC)=0,11 P(B/A) P(C/AnB)

P(A) B C

Formulas

P ( AnB)
P(A/B)=
P(B)

P(A)=P(AnB)+P(AnB´)

P(B´/A)=1-P(B/A)

Probabilidad en Cadena

A) P(AnBnC)=P(C/AnB).P(B/A).P(A)
 =0,20x0,75x0,3

=0,045

B) P(B´nC)=P(B´nCnA)+P(B´nCnA´)

=P(AnB´nC)+(A´nB´nC)

=P(C/AnB´).P(B´/A).P(A)+P(C/A´nB´).P(B´/A´).P(A)

=0,8x0,25x0,3+0,9x0,8x0,7

=0,564

C) P(C)=P(AnBnC)+P(A´nBnC)+P(AnB´nC)+P(A´nB´nC)

=0,045+P(C/A´nB).P(B/A´).P(A´)+ P(AnB´nC)+P(A´nB´nC)

=0,045+0,15x0,20x

=0,63

P(A´) = P(A´nB)+P(A´nB´)

D) P(A´nB)= P(B´nCnA´)+P(B´nC´nA´)

=P(A´nB´nC)+(A´nB´nC´)
 PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

S
A1

B A
k

A2

Ai

PROBABILIDAD TOTAL

P(B)=P(B/A1)+ P(B/A2)+ P(B/Ai)+ P(B/Ak)

P(B)=P(B/A1).P(A1)+ P(B/A2).P(A2)+ P(B/Ai).P(Ai)+….. P(B/Ak).P(Ak)

( AiB ). P( Ai)
k
P(B)=∑ P
i=1
 TEOREMA DE BAYES

P(Ai/B)=
( Ai )
B
P . P( Ai)

∑ P ( Ai ) . P( Ai)
k
B
i=1

EJEMPLO

Los pedidos de unos reguladores de voltaje se realizan a 3 proveedores diferentes en

unas proporciones de 40%,35% y 25% respectivamente. Cada uno de estos
proveedores tiene un porcentaje de producto defectuoso del 4%,5% y 6%
respectivamente. Cual es la probabilidad de que:

A) Que se tome un regulador al azar y salga defectuoso

B) Si un regulador es defectuoso cual es la probabilidad de que allá sido
suministrado por el proveedor 2

P(P1)=0,4 P1

P(P2)=0,35
P(P3)=0,25 P2

P3