Capítulo 3

Combinatoria

La combinatoria es una rama de las matemáticas que estudia la enumeración, es decir, determi-
nar los elementos de un conjunto descrito por alguna propiedad. Además, estudia las ordenaciones
o agrupaciones de un determinado número de elementos.

3.1. Técnicas de conteo en teoría de conjuntos

En esta sección, vamos a analizar algunas de las propiedades de los cardinales de conjuntos
nitos.

Proposición 3.1.1. Sean A y B dos conjuntos nitos. Se verica:

1. Si A ∩ B = ∅, entonces |A ∪ B| = |A| + |B|.
2. |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
3. Si B ⊆ A, entonces |B| ≤ |A|, y |A \ B| = |A| − |B|.
4. |A × B| = |A| · |B|.
5. Principio del Palomar: Si |A| > |B|, entonces no existe ninguna función inyectiva de A
en B .
Observación 3.1.2 . Los puntos 2 y 4 se pueden generalizar a más de dos conjuntos, por ejemplo,
si A, B y C son tres conjuntos nitos, entonces

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| , y

|A × B × C| = |A| |B| |C| .

Ejemplo 3.1.3.
Sea A el conjunto de alumnos matriculados en alguna asignatura de primero y B el número
de alumnos matriculados en alguna asignatura de segundo. Se sabe que hay 250 alumnos ma-
triculados en alguna asignatura de primero, 220 alumnos matriculados en alguna asignatura
de segundo y exactamente 50 alumnos que tienen alguna asignatura de primero y alguna de
segundo. Por lo tanto, el número de alumnos de primero y segundo será

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 250 + 220 − 50 = 420.

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CAPÍTULO 3. COMBINATORIA 26

Sea P el conjunto de palabras de cuatro letras. Si llamamos A al alfabeto español, entonces

se tiene que
P = A × A × A × A,
con lo que
#P = 27·27·27·27 = 531441.
Si en el ejemplo anterior, a la segunda letra le pedimos que sea vocal entonces, el conjunto
R de las palabras de cuatro letras cuya segunda letra es vocal será

R = A × V × A × A,
donde V es el conjunto de las vocales. Por lo tanto,

#P = 273 ·5 = 98415.

En cualquier conjunto de 368 personas hay dos cuyo cumpleaños son el mismo día. En
efecto, como el conjunto de personas P tiene cardinal mayor que el de días del año D,
#P = 368 > 365 = #D, entonces, por el Principio del Palomar, cualquier función de P en
D es no inyectiva, es decir, hay dos personas que cumplen años el mismo día.

3.2. Variaciones
3.2.1. Variaciones sin repetición
Denición 3.2.1. Se llama variaciones ordinarias m elementos tomados de n
(sin repetición) de
en n (m ≥ n), y se denota por Vm,n , a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.

En estas circunstancias, se tiene que

m!
Vm,n = = m(m − 1)(m − 2)···(m − n + 1).
(m − n)!
Ejemplo 3.2.2.
Determinar de cuántas maneras se pueden elegir presidente y vicepresidente de una asociación
de 300 miembros.

V300,2 = 300·299···(300 − 2 + 1) = 300·299 = 89700.

De cuántas maneras se puede elegir un equipo de cuatro relevistas para correr en la carrera
de 4 × 100 entre los 10 seleccionados (entendiendo que hay que indicar el orden en el que se
corre):
V10,4 = 10·9···(10 − 4 + 1) = 10·9·8·7 = 5040.
Si el corredor más rápido del ejemplo anterior tiene que correr necesariamente en primer
lugar, entonces el problema es calcular los equipos de tres relevistas entre los nueve que
quedan:
V9,3 = 9·8···(9 − 3 + 1) = 9·8·7 = 504.
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3.2.2. Variaciones con repetición

Denición 3.2.3. Se llama variaciones ordinarias con repetición de m elementos tomados de n
en n, y se denota por V Rm,n , a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:

No entran todos los elementos si m > n, pero si pueden entrar todos los elementos si m ≤ n.

Sí importa el orden.

Si se repiten los elementos.

En estas circunstancias, se tiene que

V Rm,n = mn .

Ejemplo 3.2.4.
Determinar cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5.

V R5,3 = 53 = 125.

¾Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?

Tenemos que separar el número en dos bloques ya que, el dígito que queda más a la izquierda
1
no puede ser un 0, con lo que el primer bloque, de un solo número, tiene V R5,1 = 5 = 5
posibilidades.

El segundo bloque, de dos números, lo puede ocupar cualquier dígito, con lo que tenemos
V R6,2 = 62 = 36 posibilidades.

Así, tenemos en total V R5,1 ·V R6,2 = 5·36 = 180 números de tres cifras formados por los
dígitos 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

3.3. Permutaciones
Un caso particular de las variaciones resulta cuando m = n.

3.3.1. Permutaciones sin repetición

Denición 3.3.1. Llamaremos permutaciones de n elementos, y lo denotaremos por Pn , a las
distintas las formas de ordenar los n elementos de un conjunto. En este caso, se tiene que

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden

No se repiten los elementos.

En estas circunstancias, Pn = n!.

CAPÍTULO 3. COMBINATORIA 28

Observación 3.3.2. Por denición, se considera que 0! = 1.

Observación 3.3.3. Imaginad que los elementos se han de ordenar "en círculo", (por ejemplo, los
comensales en una mesa) de modo que el primer elemento que "se sitúe" en la muestra determina
el principio y el nal de muestra. En ese caso, hablamos de permutaciones circulares, y se calculan
según la expresión
P Cn = P(n−1) = (n − 1)!

Ejemplo 3.3.4.
Determinar de cuántas maneras se pueden sentar 6 personas en una mesa rectangular de 6
sillas.
P6 = 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720.

En el ejemplo anterior, calcularlo sabiendo que la mesa es circular.

P C6 = (6 − 1)! = 5! = 5·4·3·2·1 = 120.

3.3.2. Permutaciones con repetición

Denición 3.3.5. Denimos el número permutaciones con repetición de n elementos, donde hay
s elementos que se repiten n1 > 1, n2 > 1, ..., ns > 1 veces, respectivamente, como el número
P Rnn1 ,n2 ,...,ns de distintas ordenaciones de esa lista con elementos repetidos. Se calcula mediante la
expresión
n!
P Rnn1 ,n2 ,...,ns = .
n1 !n2 !···ns !
Ejemplo 3.3.6.
Estudiar cuántos números distintos se pueden construir reordenando las cifras del número
121.
Nótese que, en el número 121, el 1 aparece repetido dos veces, con lo que

3! 3·2
P R32 = = = 3.
2! 2

Determinar las palabras de 9 letras que se pueden construir como resultado de ordenar las
letras de la palabra cocodrilo.

Como en la palabra cocodrilo tenemos 3 o repetidas y 2 c, entonces el resultado será

9!
P R93,2 = = 30240.
3!2!

3.4. Combinaciones
El último concepto de combinatoria que vamos a denir es el de combinaciones, en el cual no
importará el orden a la hora de elegir nuestra muestra.
CAPÍTULO 3. COMBINATORIA 29

3.4.1. Combinaciones sin repetición

Denición 3.4.1. Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), y lo
denotaremos por Cm,n , a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos
de forma que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

En estas circunstancias,  
m m!
Cm,n = = .
n n!(m − n)!
Ejemplo 3.4.2.
Determinar el número de posibles equipos de baloncesto (5 miembros) que se pueden formar
con 10 personas.
10! 10·9·8·7·6
C10,5 = = = 9·7·4 = 252.
5!(10 − 5)! 5·4·3·2
Sobre el ejemplo anterior, determinar en cuantos de ellos juega Pedro (solo un jugador se
llama Pedro).

En este caso, debemos calcular el número total de equipos y restar el número de equipos en
los que no juega Pedro, es decir,

10! 9! 9·8·7·6
C10,5 − C9,5 = − = 252 − = 252 − 3·7·6 = 252 − 126 = 126.
5!(10 − 5)! 5!(9 − 5)! 4·3·2
3.4.2. Combinaciones con repetición
Denición 3.4.3. Se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n
(m ≥ n), y lo denotaremos por CRm,n , a los distintos grupos formados por n elementos de manera
que:

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

Si se repiten los elementos.

En estas circunstancias,
 
m+n−1 (m + n − 1)!
CRm,n = = .
n n!(m − 1)!
Ejemplo 3.4.4.
Determinar cuántos posibles resultados pueden acontecer al lanzar 3 dados indistinguibles
simultáneamente:
8!
CR6,3 = = 56.
3!5!
Si se extrae simultáneamente cinco cartas de cinco barajas españolas (40 cartas) el número
de posibilidades es
44!
CR40,5 = = 1086008.
5!39!
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Ejercicios
1. Con el alfabeto español de 27 letras determinar:

a) El número de palabras de 5 letras.

b) El número de palabras de 5 letras sin letras repetidas.

c) Del conjunto de palabras del apartado a), determinar cuántas de ellas contienen a la
letra b.
d) Del conjunto de palabras del apartado b), determinar cuántas de ellas contienen a la
letra b.
e) Del conjunto de palabras del apartado a), determinar cuántas de ellas empiezan por a
y acaban en z.
f) Del conjunto de palabras del apartado b), determinar cuántas de ellas empiezan por a
y acaban en z.

2. ¾Cuántos números de tres cifras diferentes se puede formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5?

3. A un concurso literario se han presentado 10 candidatos con sus novelas. El cuadro de honor
lo forman el ganador, el nalista y un accésit. ¾Cuántos cuadros de honor se pueden formar?

4. Determina en cuántos números de teléfono de 7 cifras, que pueden empezar por cero, alguna
de las cifras está repetida.

5. Dado el conjunto de los 54 alumnos de una clase, donde 30 son chicos y 24 son chicas,
determinar:

a) El número de equipos de 4 alumnos que se pueden formar.

b) El número de equipos de 4 alumnos que contenga al menos una chica.

c) El número de equipos formados por dos chicas y dos chicos.

6. Cuántas palabras de 10 letras se pueden construir reordenando las letras de la palabra

dodecaedro.

7. Tenemos 10 cartas de las cuales 3 son ases de oro, 4 son caballos de bastos y las 3 cartas
restantes son diferentes entre sí y a las anteriores. Si ponemos las 10 cartas en la, determinar
el número de distintas las que se pueden formar.

8. ¾Cuántas letras de 5 signos con 3 rayas y 2 puntos podría tener el alfabeto Morse?

9. Se lanza una moneda ocho veces seguidas y se anotan sucesivamente los resultados obtenidos
en cada uno de los lanzamientos. Los ocho lanzamientos constituyen una experiencia. ¾En
cuántas experiencias se pueden obtener cinco caras y tres cruces?

10. Determina de cuántas formas distintas pueden sentarse cuatro personas alrededor de una
mesa.

11. Consideremos 6 bombos con 5 bolas cada uno numeradas del 1 al 5 de manera que las bolas
de bombos distintos con el mismo número no se distinguen entre sí. Por un proceso mecánico
cada bombo deposita en una cesta una bola, simultáneamente con el resto de bombos.
CAPÍTULO 3. COMBINATORIA 31

a) Determinar el número de resultados posibles.

b) Determinar cuántos de estos resultados contienen al menos una bola numerada con el
5.

12. Si se lanzan simultáneamente 4 monedas al aire. Determina:

a) Los resultados posibles.

b) Cuántos casos hay en los que salgan dos caras y dos cruces.

13. Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen. Determinar de cuántas
maneras podría elegirlas. ¾Y si las cuatro primeras son obligatorias?

14. Calcular cuántos productos diferentes de dos factores se pueden formar con los dígitos 2, 3 y
5 en los siguientes casos:

a) Sin repetición de factores.

b) Pudiendo repetirse los factores.

15. En un torneo regional de ajedrez participan 18 jugadores y se clasican tres de ellos para
pasar a la nal. ¾Cuántas posibles clasicaciones hay?