INGENIERÍA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERÍAS

ASIGNATURA:
Hidráulica

Modelación de acueductos
Caso aplicación 1. Red simple.

2023
Guía de actividades.
Caso aplicación 1. Red simple

Planteamiento del problema:

Modelar la red mostrada en la figura, considerando que todos los nodos se

encuentran a la misma altura en la cota 0 m.s.n.m. El agua es elevada al
tanque presentado por medio de una bomba con la curva característica
presentada en la figura y el tanque se encuentra en una cota de 0 m.s.n.m
en su base inferior y tiene un 0 m.s.n.m. Analizar los caudales y presiones en
la red. Las tuberías tienen todas una rugosidad de 0.1 mm.

Utilice los siguientes caudales:

Grupo Q2 (L/s) Q3(L/s) Q4(L/s) Q5(L/s) Q6(L/s) Q7(L/s) Q8(L/s)
1 60 51 68 103 76 55 64
2 61 50 69 102 77 54 65
3 62 49 70 101 78 53 66
4 63 48 71 100 79 52 67
5 64 47 72 99 80 51 69
6 65 46 73 98 81 50 69
7 66 45 74 97 82 49 70
8 67 44 75 96 83 48 71
9 68 43 76 95 84 47 72
10 69 42 77 94 85 46 73
11 70 41 78 93 86 45 74

Parte A:

Modelar la red mostrada en la figura en Excel utilizando los siguientes

métodos:

Grupo Método Método Método Método Método EPANET

Hardy- Cornish Lineal Newton- gradiente
Cross Rapson conjugado
1 X X X
2 X X X
3 X X X
4 X X X
5 X X X
6 X X X
7 X X X
8 X X X
9 X X X
10 X X X
11 x x X

Procedimiento de la práctica:
 Realizar los métodos en Excel y comparar los caudales obtenidos con EPANET.
Descripción de los métodos

Redes cerradas
En esta las tuberías se separan en los diferentes nodos y se vuelven a unir formando circuitos.
En la Figura se ilustran una red con los nodos y los circuitos. En este tipo de redes se debe
cumpir que La suma de los caudales en los nodos debe ser cero y la suma de las pérdidas
en un circuito cerrado (considerando sus signos) debe ser cero. Para ello existen diferentes
métodos de análisis, entre los que se mencionan el método de Hardy-Cross con corrección
de caudales, método de Hardy-Cross cn corrección de cabeza o método de Cornish, el
método de Newton-Rapson, el método de la teoría lineal y el método del gradiente
conjugado.

Figura 1. Ilustración red cerrada

Método de Hardy-Cross con corrección

de caudales en los circuitos.
Para que se cumple la conservación en un nodo, se debe cumplir que los caudales que
entran a un nodo sean igual a los que salen. Por lo que considerando la ecuación de
continuidad en un nodo se debe cumplir
 𝑘

∑ 𝑄𝑖𝑗 + 𝑄𝑖 = 0
𝑗=1
Donde 𝑄𝑖𝑗 son los caudales de las tuberías que llegan al nodo i, k el número de tuberías que
llegan al nodo i y 𝑄𝑖 los consumos del nodo i. Este balace se debe cumplir para cada uno
de los nodos.
Si se analiza cada uno de los circuitos se encuentra que la velocidad en cada una de las
tuberías se puede escribir en función del caudal como
4𝑄𝑖𝑗
𝑉𝑖𝑗 = 2
𝜋(𝑑𝑖𝑗 )
Y de esta forma la pérdida de energía para las tuberías utilizando la expresión de Darcy
Weisbach sería
8𝑓𝑖𝑗 𝐿𝑖𝑗 2
ℎ𝑖𝑗 = 5 (𝑄𝑖𝑗 )
2
𝜋 𝑔(𝑑𝑖𝑗 )
Que agrupando los términos diferentes al caudal se escribiría como
2
ℎ𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 )
Donde el coeficiente 𝑎𝑖𝑗 valdría
8𝑓𝑖𝑗 𝐿𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑗 = 5
𝜋 2𝑔(𝑑𝑖𝑗 )
Si se emplea la ecuación de Hansen y Williams para las pérdidas de energía en la tubería
se tendría que
𝐿𝑖𝑗 1.851
ℎ𝑖𝑗 = 1.651 (𝑄𝑖𝑗 )
(0.279𝐶𝐻𝑊 𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 2.88)
Donde agupando términos se tendría
1.851
ℎ𝑖𝑗 = 𝑎𝐻𝑊 𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 )
Y el coeficiente valdría
𝐿𝑖𝑗
𝑎𝐻𝑊 𝑖𝑗 = 1.651
(0.279𝐶𝐻𝑊 𝑖𝑗 𝑑𝑖𝑗 2.88)

Esto nos permite ver que en general, la pérdida en las tuberías tendría la forma
𝑁
ℎ𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 )
Y el valor del expondente y del coeficiende dependerían de la experesión utilizada.

Si se realiza un recorrido por un circuito cerrado en la red de tuberías, es decir iniciando y regresando al
mismo nodo se cumpliría que
∑ ℎ𝑖𝑗 = 0
Es importante anotar que al realizar estos balances son imporantes las direcciones que tiene el flujo y se
suele asignar signo a los caudales (o a las velocidades). Por esta razón es importante conservar el mismo
sentido al realizar el balance de energía con el fin de ser coherente con las direcciones de la velocidad.

Las ecuaciones de balance antes escritas (de conservación de masa en el nodo y de conservación de
energía en el circulito) constituyen un sistema de ecuaciones no lineales, cuya solución se puede realizar
por un gran número de métodos. El llamado método de Cross o método de Hardy-Cross es una técnica
iterativa que permite ir aproximandose sucesivamente a la solución. La técnica se basa en partir de una
solución incial del sistema y aproximarse sucesivamente realizando correcciones en los caudales hasta
que se llegue a una solución con un error aceptable o muy pequeño.
En el caso del método de Hardy-Cross con corrección de caudales se asumen unos valores de caudal
iniciales que cumplan la condición de conservación de masa en los nodos. Hay que anotar que la
convergencia del método depende de la condición inicial que se selecciones. Puesto que los valores
asumidos inicialmente cumplen con la condición de conservación de masa en todos los nodos(pues de
esta forma debieron ser seleccionados), se debe verificar en caso de que cumpla con la conservación de
energía en los circuitos. En caso de que no se cumpla con la conservación de energía en los circuitos se
deben cambiar los caudales, para realizar este cambio se podría encuentrar un valor Q que se aplique a
los caudales del circuito que ayude a que se cumpla la conservación de energía en el mismo. De esta forma
el método de Hardy-Cross con corrección de caudales se basa en encontrar un valor de corrección a los
caudales de un circuito un valor Q que sería la corrección en el circuito por los errores cometidos al
tratarse de una estimación de los caudales. Para ilustrar la forma de encontrar este valor de corrección
Q se partirá del ejemplo concreto de circuito presentado en la figura XXXX y posteriormente se realizará
una inducción de la fórmula general que tendría dicha corrección. Si se aplica la conservación de energía
en el circuito de ejemplo se tendría

Figura 2. Circuito

Si se aplica la conservación de energía en el circuito de ejemplo se tendría.

ℎ72 + ℎ57 − ℎ53 − ℎ32 = 0
Remplazando la expresión que se tiene para las pérdidas de energía en cada tubería y considerando que
el caudal en la tubería es el caudal asumido 𝑄𝑖𝑗 mas el valor de la corrección en el caudal ∆𝑄, de esta
forma se tendría
𝑎72 (𝑄72 + 𝛥𝑄)𝑁 + 𝑎57 (𝑄57 + 𝛥𝑄)𝑁 − 𝑎53(𝑄53 + 𝛥𝑄)𝑁 − 𝑎32(𝑄32 + 𝛥𝑄)𝑁 = 0
Aplicando aproximación binomial para cada uno de estos términos y despejando se obtiene
𝑎72 𝑄72𝑁 + 𝑎57𝑄57𝑁 − 𝑎53𝑄53𝑁 − 𝑎32𝑄32𝑁
𝛥𝑄 = −
𝑁(𝑎72𝑄72𝑁−1 + 𝑎57 𝑄57𝑁−1 + 𝑎53 𝑄53𝑁−1 + 𝑎32 𝑄32 𝑁−1)

Se puede inducir que en general el factor de corrección tendría la siguiente forma

∑𝑘1(𝑎𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗 𝑁−1 |𝑄𝑖𝑗 |)
𝛥𝑄 = −
𝑁 ∑𝑘1|𝑎𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗 𝑁−1 |
De esta forma el método de Hardy-Cross con corrección de caudales se podría resumir
realizando las siguientes tareas:
1) Numerar nodos y circuitos,
2) se supone una distribución de caudales (para iniciar el proceso),
3) se calcula el factor 𝑓𝑖𝑗 para cada tubería o 𝐶𝐻𝑊 𝑖𝑗 ,
4) se calcula para cada tubería 𝑎𝑖𝑗 o 𝑎𝐻𝑊 𝑖𝑗
5) se calcula para cada circuito la corrección de caudal correspondiente ∆𝑄
6) en caso de que este valor de corrección sea mayor a la tolerancia admisible se
realiza la corrección de los caudales 𝑄𝑖𝑗 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = 𝑄𝑖𝑗 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + ∆𝑄. En las tuberías que se
tienen dos circuitos se debe realizar la corrección considerando el ∆𝑄 de cada
circuito.
7) epetir el proceso teniendo en cuenta los caudales obtenidos en los otros circuitos
Se repite el proceso hasta que el balance de energía en el circuito llegue a valores
razonablemente cercanos a cero.
Pueden darse pequeñas variaciones en el procedimiento al utilizar o no los valores
corregidos del caudal en tuberías entre circuitos con tuberías comunes. Esta modificación
puede modificar la convergencia del método.
Si en alguna de las tuberías del circuito existe una bombas se debe restar la cabeza
generada antes de hacer el cálculo de la corrección de caudales. En el caso de que
existan válvulas o se consideren accesorios que generen pérdidas locales, se puede
modificar la longitud de la tubería y utilizar el concepto de longitud equivalente y utilizar
este método. Otra forma de considerar el efecto de las pérdidas locales es considerar que
los coeficientes cambian y se escriben de la siguiente forma

8𝑓𝑖𝑗 𝐿𝑖𝑗 8 ∑ 𝑘𝑙
𝑎𝑖𝑗 = 5 + 4
𝜋 2 𝑔(𝑑𝑖𝑗 ) 𝜋 2 𝑔(𝑑𝑖𝑗 )
Una vez converja el método, se puede encontrar la cabeza de presión en los nodos
utilzando las fórmulas de pérdidas en las tuberías partiendo de algún punto en el que se
tenga la cabeza de presión conocida.

Método de Hardy-Cross con corrección

de alturas en los nudos (método de
cornish).

En este método se parte de asumir las cargas o cabezas de energía en los nodos y a partir
de dichas cargas se estiman los caudales que entran o salen al nodo y las pérdidas en los
tramos de tubería. En este método la corrección se va realizando sobre las cabezas de
energía y con ello las pérdidas en los tramos hasta lograr que la corrección necesaria para
el balance de energía en los circuitos sea muy pequeña.
𝑁
Considerando que para cada tubería la pérdida tiene la forma ℎ𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 )
El caudal debe cumplir que
1 1⁄
𝑁
1⁄
𝑁
1⁄
𝑁
𝑄𝑖𝑗 = 1⁄ (ℎ𝑖𝑗 ) = 𝐶𝑖𝑗 (ℎ𝑖𝑗 ) = 𝐶𝑖𝑗 (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )
𝑎𝑖𝑗 𝑁

Observe que en esta ecuación el caudal por la tubería que une los nodos i y j, 𝑄𝑖𝑗 esta relacionado con las
cabezas de energía en los nodos.

Si se realiza el mismo procedimiento en todas las tuberías que llegan al nodo se debe cumplir la
conservación de masa, así
𝑘

∑ 𝑄𝑖𝑗 + 𝑄𝑖 = 0
𝑗=1
Y en términos de las pérdidas de energía en las tuberías que llegan al nodo sería
𝑘 1⁄
ℎ𝑖𝑗 𝑁
∑( ) + 𝑄𝑖 = 0
𝑎𝑖𝑗
𝑗=1
Si se parte de unos valores de carga aproximada y se supone que se puede corregir la carga en el circuito
mediante un valor ∆𝐻𝑖 para cada nodo, se tendría que
𝑘 1⁄
ℎ𝑖𝑗 + ∆𝐻𝑖 𝑁
∑( ) + 𝑄𝑖 = 0
𝑎𝑖𝑗
𝑗=1
Y se cumple que
1⁄
𝑁
𝑘
ℎ𝑖𝑗 + ∆𝐻𝑖
∑ + 𝑄𝑖 = 0
ℎ𝑖𝑗
𝑗=1 𝑁
( 𝑄𝑖𝑗 )
Y despejando valor ∆𝐻𝑖 se tiene

𝑄𝑖 + ∑𝑘𝑗=1 𝑄𝑖𝑗
∆𝐻𝑖 = −𝑁
𝑄𝑖𝑗
∑𝑘𝑗=1
( ℎ𝑖𝑗 )
Este proceso iterativo deberá realizarse cuando se satisfaga la ecuación de continuidad en cada nodo.
De esta forma el método de Cornish se podría resumir realizando las siguientes tareas:
1) numerar nodos y circuitos,
2) se encuentran para cada tubería 𝑎𝑖𝑗 o 𝑎𝐻𝑊 𝑖𝑗, para encontrar los valores del factor
𝑓𝑖𝑗 para cada tubería se debe conocer el material de la tubería y unos valores del
número de Reynods razonables (que pueden ser asumidos inicialmente para la
primera iteración y que en en iteraciones posteriores se calcula a partir de los
caudales que se van obteniendo). Si se utiliza la ecuación de Hanzen- Williams no es
necesario sino conocer el material de la tubería con el que se puede estimar 𝐶𝐻𝑊 𝑖𝑗 .
3) se asumen los valores de las alturas o cargas de energía en los nodos,
4) se calcula el caudal en cada tubería con la siguiente expresión
1 1⁄
𝑄𝑖𝑗 = 1 (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 ) 𝑁
𝑎𝑖𝑗 ⁄𝑁
 es importante considerar el signo, siendo positivo si sale del nodo y negativo si el
caudal llega al nodo.
5) se calcula la corrección de cabeza en el nodo con la siguiente expresión

𝑄𝑖 + ∑𝑘𝑗=1 𝑄𝑖𝑗
∆𝐻𝑖 = −𝑁
𝑄
∑𝑘𝑗=1 𝑖𝑗
( ℎ𝑖𝑗 )
6) realizar las corrección de la cabeza del nodo. A los tramos de tuberías que
pertenecen a varios nudos se les suma las correcciones correspondientes por dichos
tramos considerando su signo.
7) se debe repetir el proceso hasta que el balance en el nodo sea razonablemente
cercano a cero.

Método de Newton-Raphson.
Un método numérico ampliamente utilizado para la solución de ecuaciones no lineales es
el método de Newton, el se basa en una serie de aproximaciones sucesivas a la solución
de una ecuación aproximando la ecuación mediante una recta tangente. Una
generalización para sistemas de ecuaciones es el método de Newton. Este método puede
ser empleado para solucionar el sistema de ecuaciones no lineales que resulta al plantear
los caudales para cada tubería como función de las cargas de energía en los nodos.
El caudal en cada tubería debe cumplir la siguiente ecuación, la cual se escribe de esta
forma con el fin de conservar el signo en los caudales (negativo si llega al nodo y positivo si
sale)
(𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )
𝑄𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗
1−1⁄𝑁
(|𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 |)

Si se realiza la conservación de masa en los nodos, se tendría que

𝑘
(𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )
∑ 𝐶𝑖𝑗 + 𝑄𝑖 = 0
1−1⁄𝑁
𝑗=1,𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖 (|𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 |)
Este constituye un sistema no lineal con k ecuaciones, una ecuación de balance en cada
nodo y k incógnicas, las alturas de energía en los nodos. Para explicación del método este
sistema se representa como k funciones no lineales de las k alturas en los nodos, de la
siguiente forma
𝑓1 (𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , . . , 𝐻𝑘 ) = 0
𝑓2 (𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , . . , 𝐻𝑘 ) = 0
⋮
𝑓𝑘 (𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , . . , 𝐻𝑘 ) = 0
Donde
𝑘
(𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )
𝑓𝑖 (𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑘 ) = ∑ 𝐶𝑖𝑗 + 𝑄𝑖 = 0
1−1⁄𝑁
𝑗=1,𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖 (|𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 |)

O en términos del coeficiende de Darcy

 𝑘 2
√2𝑔𝜋(𝑑𝑖𝑗 ) 1⁄
2
𝑓𝑖 (𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑘 ) = ∑ (|𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 |) (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 ) + 𝑄𝑖 = 0
𝑗=1,𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑖𝑗 𝐿𝑖𝑗
𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖 4√
𝑑𝑖𝑗

Realizando expansión en series de Taylor de estas expresiones se tendría

𝜕𝑓1 𝜕𝑓1 𝜕𝑓1

𝑓1 (𝐻1 + ∆𝐻1 , 𝐻2 + ∆𝐻2 . . , 𝐻𝑘 + ∆𝐻𝑘 ) = 𝑓1 + ∆𝐻1 + ∆𝐻2 + ⋯ + ∆𝐻 + Θ(Δ𝐻2 )
𝜕𝐻1 𝜕𝐻2 𝜕𝐻𝑘 𝑘
𝜕𝑓2 𝜕𝑓2 𝜕𝑓2
𝑓2 (𝐻1 + ∆𝐻1 , 𝐻2 + ∆𝐻2 . . , 𝐻𝑘 + ∆𝐻𝑘 ) = 𝑓2 + ∆𝐻1 + ∆𝐻2 + ⋯ + ∆𝐻 + Θ(Δ𝐻2 )
𝜕𝐻1 𝜕𝐻2 𝜕𝐻𝑘 𝑘
⋮
𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑓𝑘 𝜕𝑓𝑘
𝑓𝑘 (𝐻1 + ∆𝐻1 , 𝐻2 + ∆𝐻2 . . , 𝐻𝑘 + ∆𝐻𝑘 ) = 𝑓𝑘 + ∆𝐻1 + ∆𝐻2 + ⋯ + ∆𝐻 + Θ(Δ𝐻2 )
𝜕𝐻1 𝜕𝐻2 𝜕𝐻𝑘 𝑘
Así
[𝒇𝒕+𝟏 ] = [𝒇𝒕] + [𝑱][𝚫𝑯] + [Θ(Δ𝐻2 )]
Como se puede ver, esta expresión podría ser utilizada para expresar una aproximación de
la solución de la ecuación de conservación en el nodo [𝒇𝒕+𝟏 ], a partir de una aproximación
anterior [𝒇𝒕] , considerando la matriz jacobiana del sistema [𝑱] y encotrando un valor de
corrección para la siguiente iteración
El jacobiano de la anterior matriz tendría los siguientes valores
𝑘
𝜕𝑓𝑖 𝜕 1⁄
𝑁
𝐽𝑖𝑗 = = ( ∑ 𝐶𝑖𝑗 (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 ) + 𝑄𝑖 )
𝜕𝐻𝑗 𝜕𝐻𝑗
𝑗 ∈ 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖

De esta forma
1 1
−1
𝐽𝑖𝑗 = − 𝐶𝑖𝑗 (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )𝑁 𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
{ 𝑁
𝐽𝑖𝑗 = 0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 𝑗 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
Si se asume una solución inicial al problema se puede plantear la siguiente relación de
recurrencia
[𝑱][𝚫𝑯] = −[𝒇𝒕]
[𝒇𝒕+𝟏 ] = [𝒇𝒕] + [𝚫𝑯]
De esta forma el método de Newton-Rapson se podría resumir realizando las siguientes
tareas:
1) numerar nodos y circuitos,
2) se encuentran para cada tubería los valores del factor 𝐶𝑖𝑗 .
3) se asumen los valores de las alturas o cargas de energía en los nodos,
4) se calcula los valores de 𝑓𝑖 con la siguiente expresión
𝑘
(𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )
𝑓𝑖 = ∑ 𝐶𝑖𝑗 + 𝑄𝑖
1−1⁄𝑁
𝑗=1,𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖 (|𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 |)
5) se calcula el Jacobiano con la siguiente expresión
1 1
−1
𝐽𝑖𝑗 = − 𝐶𝑖𝑗 (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )𝑁 𝑠𝑖 𝑗 ∈ 𝑎 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
{ 𝑁
𝐽𝑖𝑗 = 0 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑢𝑏𝑒𝑟í𝑎 𝑗 𝑛𝑜 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑢𝑒 𝑎𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
 6) se resuelve el sistema
[𝑱][𝚫𝑯] = −[𝒇𝒕]
7) se resuelve corrigen los valores de 𝐻𝑖 así
[𝑯𝒕+𝟏 ] = [𝑯𝒕] + [𝚫𝑯]

8) se repite el procedimento hasta que los ‖[∆𝑯]‖ < 𝑇𝑜𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

Método de la Teoría Lineal.

El método de la Teoría Lineal fue desarrollado por D.J.Wood y C.O.Acharles en 1970-1972.
Se basa en la linealización de las ecuaciones de energía en cada una de las tuberías de la
red.
Al igual que los métodos anteriores para cada nodo se cumple que los caudales en los
tramos de tubería deben cumplir que
1⁄
𝑁
𝑄𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗 (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )
la ecuación de continuidad en los nodos
𝑘
1⁄
𝑁
∑ 𝐶𝑖𝑗 (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 ) + 𝑄𝑖 = 0
𝑗 ∈ 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑖
La ecuación de conservación de energía en un circuito cerrado debe cumplir que
∑ ℎ𝑖𝑗 = 0
Donde
𝑁
ℎ𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 )
Así
𝑁
∑ 𝑎𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 ) = 0
Para solucionar el problema el método de la teoría lineal propone la siguiente linealización,
para ello la ecuación de conservacion en el nodo la escribe como
𝑁−1
∑ 𝑎𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 ) 𝑄𝑖𝑗 = 0
Plantea un valor inicial de los caudales 𝑄0 𝑖𝑗 el cual utilizará para linealizar la anterior
expresión, así
𝑁−1
∑ 𝑎𝑖𝑗 (𝑄0 𝑖𝑗 ) 𝑄𝑖𝑗 = 0
Y aparece un nuevo coeficiente
∑ 𝐶′𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗 = 0
Donde
𝑁−1
𝐶′𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑄0 𝑖𝑗 )
De esta forma el sistema constituido por las ecuaciones de conservación de masa en el
nodo y conservación de masa en los circuitos se convierte en un sistema de ecuaciones
lineales. De esta forma es posible resolver el sistema utilizando métodos de solución de
ecuaciones lineales, para el sistema planteado por la ecuación de continuidad en los
nodos y conservación de la energía en los circuitos. Las incógnitas en cada iteración serian
los caudales en las tuberías. Para acelerar la convergencia se encontró que era más
adecuado utilizar una aproximación entre el valor 𝑄0 𝑖𝑗 y el valor 𝑄𝑖𝑗 así
𝑄0𝑡 𝑖𝑗 + 𝑄𝑖𝑗
𝑄0𝑡+1 𝑖𝑗 =
2

Planteado el sistema de ecuaciones linealizado, se pueden encontrar de forma sucesiva los

caudales y el proceso se puede repetir de manera iterativa hasta lograr obtener valores
para los caudales suficientemente parecidos a la iteración anterior.
‖[𝑸𝒕+𝟏 ] − [𝑸𝒕]‖ < 𝑡𝑜𝑙

De esta forma el método de Newton-Rapson se podría resumir realizando las siguientes

tareas:
1) numerar nodos y circuitos y se suponen los caudales con sus respetivas
direcciones.
2) se encuentran para cada tubería los valores del factor 𝑎𝑖𝑗 .
3) se encuentran los 𝐶′𝑖𝑗
4) se construye la matriz con las ecuaciones de conservación de masa y las de
energía linealizadas
5) se soluciona el sistema y se encuentran los caudales
6) se corrigen los caudales promediando los obtenidos los caudales anteriores
𝑄0𝑡 𝑖𝑗 + 𝑄𝑖𝑗
𝑄0𝑡+1 𝑖𝑗 =
2
7) se calculan los nuevos 𝐶′𝑖𝑗
8) se repite el proceso hasta que ‖[𝑸𝒕+𝟏] − [𝑸𝒕]‖ < 𝑡𝑜𝑙

Método del Gradiente Hidráulico.

El método del gradiente hidráulico fue desarrollado por Ezio Todini y Edna O’ Connell en
19983-1984. Este método busca disminuir el tamaño de las matrices a solucionar y de esta
forma disminuir el tiempo de cálculo requerido para la solucion de las redes. El método
plantea una manipulación de las matrices que permite un cálculo mas eficiente basado en
el algoritmo del gradiente conjugado pre condicionado con la factorización incompleta
de Cholesky, especialmente útil para el tratamiento de matrices dispersas.
Como los métodos anteriores se basa en la conservación de masa en el nodo y en la
conservación de energía en los circuitos. De acuerdo a la conservación de masa en los
nodos se cumple que
𝑘

∑ 𝑄𝑖𝑗 + 𝑄𝑖 = 0
𝑗=1
La pérdida en los tramos de tuberías serían
ℎ𝑖𝑗 = (𝐻𝑖 − 𝐻𝑗 )
Y esta se puede escribir como
𝑁
ℎ𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 (𝑄𝑖𝑗 ) + 𝑙𝑖𝑗 𝑄𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
donde
N depende de la ecuación de pérdida utilizada
𝑎𝑖𝑗 coeficiente que dependen de la fricción en las tuberías,
𝑙𝑖𝑗 coeficiente que depende de las pérdidad locales o por accesorios en la tubería y
𝑏𝑖𝑗 coeficiente que depende de la existencia de bombas.

El método define las siguientes matrices

La matriz de conectividad [𝑴𝑪] esta matriz asocia los tubos y los nodos. Si se tienen k nodos
y m tuberías, esta matriz temdría un tamaño de 𝑚 × 𝑘 . La matriz se constuye de la sigiente
forma
𝑀𝐶𝑖𝑗 = −1 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑗
{ 𝑀𝐶𝑖𝑗 = 1 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑗
𝑀𝐶𝑖𝑗 = 0 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
Se define la matriz [𝑪𝑴] como la transpuesta de [𝑴𝑪].
Para este método se identifican también los nodos que mantienen altura de energía
constante, en este caso se definen u nodos con dicha condición. Y la matriz [𝑴𝑼] de
tamaño 𝑚 × 𝑝 relaciona los tubos y los nodos con carga de energía constante en la red.
Esta matriz se construye de la siguiente forma
𝑀𝑈𝑖𝑗 = −1 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑖 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑗
{ 𝑀𝑈𝑖𝑗 = 1 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑖 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝑗
𝑀𝑈𝑖𝑗 = 0 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠

Para representar la ecuación de pérdidas se define una matriz [𝑴𝑫] que tiene un tamaño
de 𝑚 × 𝑚 y es diagonal y tendría los siguientes valores
𝑏𝑖𝑖
𝑀𝐷𝑖𝑖 = 𝑎𝑖𝑖 𝑄𝑖 𝑁−1 + 𝑙𝑖𝑖 + 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑖 = 𝑖
{ 𝑄𝑖
𝑠𝑖 𝑖 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗
𝑀𝐷𝑖𝑗 = 0

Se tendría los siguientes vectores

[𝑸𝑻] vector de tamaño m y que contiene los caudales en cada tubería
[𝑯] vector de tamaño k y que contiene las alturas de energía en los nodos fijas.
[𝑯𝑼] vector de tamaño p y que contiene las alturas de energía en los nodos fijas.
[𝒒] vector de tamaño k y que contiene las demandas en cada nodo.
Una matriz [𝑵] que contiene los exponentes de acuerdo a la ecuación de fricción que se
va a emplear. Esta matriz contendría los valores de N en la diagonal de acuerdo a la
ecuación de pérdidas que se pretenda utilizar.
Y una matriz [𝑴𝑯] que tiene un tamaño de 𝑚 × 𝑚 y es diagonal y tendría los siguientes
valores en su diagonal
𝑀𝐻𝑖𝑖 = 𝑎𝑖𝑖 𝑄𝑖 𝑁−1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑖 = 𝑖
{
𝑀𝐷𝑗𝑖 = 0 𝑠𝑖 𝑖 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑗

Con estas definiciones la ecuación de conservación de masa se puede escribir como

[𝑴𝑪]𝑇 [𝑸𝑻] = [𝒒]

La ley de conservacion de energía cumpliría que

[𝑴𝑫][𝑸𝑻] + [𝑴𝑪][𝑯] = −[𝑴𝑼][𝑯𝑼]
Acoplando estos sistemas en una sola matriz se tendría
[𝑀𝐷] [𝑀𝐶] [𝑄𝑇] −[𝑴𝑼][𝑯𝑼]
[ ][ ]=[ ]
[𝑀𝐶]𝑇 [𝟎] [𝐻] [𝒒]
Dado que esta última relación es no lineal no puede ser resuelta de forma directa utilizando
los métodos para solucion de sistemas de ecuaciones lineales, para ello se puede utilizar
algun proceso iterativo, en este caso el método del gradiente plantea realizar una
expansión en series de Taylor y realizar aproximaciones sucesivas utilizando la serie truncada
con los primeros términos unicamente.
[𝑀𝐷] [𝑀𝐶] [𝑄𝑇] −[𝑴𝑼][𝑯𝑼] [𝟎]
[ ][ ]−[ ]=[ ]
[𝑀𝐶]𝑇 [𝟎] [𝐻] [𝒒] [𝟎]

Si se remplazan unos valores aproximados de los caudales y las alturas es de esperarse que
se obtenga un error en la anterior igualdad, así
[𝑀𝐷]𝑡 [𝑀𝐶] [𝑄𝑇]𝑡 −[𝑴𝑼][𝑯𝑼] [𝑬 ]
[ ][ ]−[ ]=[ 𝟏 ]
[𝑀𝐶]𝑇 𝑡 [𝟎] [𝐻]𝑡 [𝒒] [𝑬𝟐 ]

Estas funciones de error pedens ser analizadas utilizando la expansión en series de Taylor
con lo que se tendría
𝜕(𝑀𝐷𝑖𝑖 𝑡 𝑄𝑖𝑡 ) 𝜕 (𝑀𝐶𝑖𝑗 𝐻𝑗𝑡 )
𝑡
𝐸𝑖1 = 𝑀𝐷𝑖𝑖𝑡 𝑄𝑖𝑡 + ∆𝑄𝑖 + Θ(Δ𝑄 2 ) + 𝑀𝐶𝑖𝑗 𝐻𝑗𝑡 + ∆𝐻𝑖 + Θ(Δ𝐻2 ) + 𝑀𝑈𝑖𝑗 𝐻𝑗
𝜕𝑄𝑖 𝑡 𝜕𝐻𝑗
𝜕(𝐶𝑀𝑖𝑖 𝑡 )
𝐸𝑖2 = 𝐶𝑀𝑖𝑖𝑡 + ∆𝑄𝑖 + Θ(Δ𝑄 2 ) − 𝑞𝑖
𝜕𝑄𝑖
De donde se obtiene que
𝜕(𝑀𝐷𝑖𝑖 𝑡 𝑄𝑖𝑡 )
= 𝑁𝑎𝑖𝑖 𝑄𝑖 𝑁−1 = 𝑀𝐻𝑖𝑖
𝜕𝑄𝑖
𝜕 (𝑀𝐶𝑖𝑗 𝐻𝑗𝑡 )
𝑡
= 𝑀𝐶𝑖𝑗
𝜕𝐻𝑗 𝑡

𝜕(𝐶𝑀𝑖𝑖 𝑡 𝐻𝑗𝑡 )
= 𝐶𝑀𝑖𝑖 𝑡
𝜕𝑄𝑖
Así el sistema se puede escribir como
[𝑀𝐷]𝑡 [𝑀𝐶] [𝑄𝑇]𝑡 −[𝑴𝑼][𝑯𝑼] [𝑁][𝑀𝐻]𝑡 [𝑀𝐶] [∆𝑄]𝑡 [𝑬 ]
[ ][ ]−[ ]+[ ][ ]=[ 𝟏 ]
[𝑀𝐶]𝑇 𝑡 [𝟎] [𝐻]𝑡 [𝒒] [𝐶𝑀]𝑡 [𝟎] [∆𝐻]𝑡 [𝑬𝟐 ]
Se puede plantear una relacion de recurrencia

[𝑬 ] [𝑁][𝑀𝐻]𝑡 [𝑀𝐶] [∆𝑄]𝑡 [𝑬 ]

[ 𝟏 𝑡] + [ ][ ] = [ 𝟏 𝑡+1 ]
[𝑬𝟐 ]𝑡 [𝐶𝑀]𝑡 [𝟎] [∆𝐻]𝑡 [𝑬𝟐 ]𝑡+1

O escrito de otra forma

[𝑁][𝑀𝐻]𝑡 [𝑀𝐶] [∆𝑄]𝑡 [∆𝑬𝟏 ]
[ ][ ]=[ ]
[𝐶𝑀]𝑡 [𝟎] [∆𝐻]𝑡 [∆𝑬𝟐 ]
Este sistema se podría resover de tal forma que se obtengan las correcciones necesarias en
los caudales y las alturas de energía
[∆𝑄]𝑡 [𝑁][𝑀𝐻]𝑡 [𝑀𝐶] −1 [∆𝑬𝟏 ]
[ ]=[ ] [ ]
[∆𝐻]𝑡 [𝐶𝑀]𝑡 [𝟎] [∆𝑬𝟐 ]
Realizando algebra matricial es posible encontrar de forma explícita el valor de dicha
inversa y se obtiene que
[𝐻]𝑡+1 = −{[𝑀𝐶]([𝑁][𝑀𝐻])−1[𝐶𝑀]}−1{[𝑀𝐶]([𝑁][𝑀𝐻])−1([𝑀𝐷][𝑄𝑖 ] + [𝑀𝑈][𝐻𝑈]) − ([𝑀𝐶][𝑄𝑖 ] − [𝑞])}

La cual se puede reescribir como

[𝐴] = {[𝑀𝐶]([𝑁][𝑀𝐻])−1 [𝐶𝑀]}
[𝑏] = {[𝑀𝐶]([𝑁][𝑀𝐻])−1 ([𝑀𝐷][𝑄𝑖 ] + [𝑀𝑈][𝐻𝑈]) − ([𝑀𝐶][𝑄𝑖 ] − [𝑞])}
[𝐴][𝐻]𝑡+1 = [𝑏]

Y los caudales
[𝑄]𝑡+1 = {[𝐼] − ([𝑁][𝑀𝐻]) − [𝑀𝐶][𝑄𝑖 ] − {([𝑁][𝑀𝐻])−1 ([𝐶𝑀][𝐻]𝑡+1 + [𝑀𝑈][𝐻𝑈])}}

De esta forma el método del gradiente hidráulico se podría resumir realizando las siguientes
tareas:
1) Se suponen unos caudales iniciales,
2) se resuelve el sistema [𝐴][𝐻]𝑡+1 = [𝑏] utilizando un método de ecuaciones lineales.
3) se encuentra [𝑄]𝑡+1 con los valores de [𝐻]𝑡+1 obtendios anteriormente
4) se repite el proceso hasta que ‖[𝐻]𝑡+1 − [𝐻]𝑡 ‖ < 𝑡𝑜𝑙

Resultados:
Una vez realice la simulación y las iteraciones en excel, reporte los valores de presión y altura
de los diferentes nodos y repórtelo en la siguiente tabla.

Tabla 1. Altura y presión en los nodos para los tres métodos

Método
Nodo Demanda (L/s) Altura (m) Presión (m)
1
2
3
4
5
6
7
8
Método
Nodo Demanda (L/s) Altura (m) Presión (m)
1
2
3
4
5
6
7
 8
Método Epanet
Nodo Demanda (L/s) Altura (m) Presión (m)
1
2
3
4
5
6
7
8

Para cada una de las tuberías reporte los valores de la simulación presentándolos en la siguiente
tabla

Tabla 2. Flujo en las tuberías

Tubería Caudal Caudal Caudal % Error % Error
(L/s) (L/s) (L/s) (Método 1 y (Método 2 y
Método 1 Método 2 EPANET Epanet) Epanet)
1-2
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-1
7-2
6-3
Tanque-1
Bomba

Conclusiones:
Liste las principales conclusiones del taller:
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