UPC – Departamento de Ciencias - Matemática Básica (MA420) Modelo educativo UPC

Plano cartesiano - distancia y punto

medio-pendiente de una recta-rectas
paralelas y perpendiculares

CONTENIDOS

INTRODUCCIÓN

1.1. Distancia y punto medio.

• Definiciones y notaciones
• Ejemplos

1.2. Ecuación de la recta

• Pendiente de un segmento
• Definición de pendiente
• Ecuación de la recta punto pendiente
• Rectas verticales y horizontales
• Rectas paralelas y perpendiculares

1.3. Practiquemos en clase

• Ejercicios
• Competencia: Razonamiento cuantitativo

1.4. Practiquemos más en casa

• Ejercicios
• Competencia: Razonamiento cuantitativo

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INTRODUCCIÓN

En esta sección veremos la distancia entre dos puntos del plano cartesiano, punto medio de un segmento,
pendiente de un segmento y finalmente las diferentes formas de escribir la ecuación de la recta.

1.1 DISTANCIA Y PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS

Si se conocen las coordenadas de dos puntos del plano, se puede hallar la

distancia que los separa. Para ello se deduce una sencilla fórmula que es
consecuencia directa del teorema de Pitágoras. Consideremos que los
puntos P(x1 ;y1 ) y Q(x2 ;y2 ) son conocidos y se quiere hallar la distancia
R
entre P y Q . En la Figura 1 los puntos P y Q se han representado en el
plano y se muestra el segmento PQ cuya longitud se desea hallar. El
segmento 𝑃𝑄 es la hipotenusa del triángulo rectángulo PQR . Los catetos
de este triángulo miden respectivamente x2 − x1 y y2 − y1 . Al aplicar el
teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PQR se obtiene la fórmula
para la distancia entre P y Q , la cual escribimos como sigue:

d (P;Q) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

Sean P(x1 ;y1 ) y Q(x2 ;y2 ) los extremos de un segmento. Llamemos M(x; y )
Q(x2 ;y2 )
al punto medio (ver figura 2), es el punto que divide al segmento PQ en
dos partes iguales. M(x; y )

El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del P(x1 ;y1 )
segmento.

En resumen: las coordenadas del punto medio del segmento PQ son: x1 x x2

Figura 2: Punto medio entre dos puntos

 x +x y +y 
M(x ; y ) =  1 2 ; 1 2 
 2 2 

1.2 ECUACIÓN DE LA RECTA

• Pendiente de un segmento de recta

Consideremos un segmento de recta determinado por dos puntos del

plano P1 (x1 ; y1 ) y P2 (x 2 ; y 2 ) . La pendiente de este segmento es un
número real que mide la inclinación del segmento con respecto a la
horizontal.

Figura 3: Segmento P1P2

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• Definición de Pendiente

La pendiente m del segmento no vertical determinado por los puntos P1 (x1 ;y1 ) y P2 (x2 ;y2 ) es el número:

y 2 − y1
m=
x2 − x1

¿Un segmento vertical tendrá pendiente?, explique su respuesta: (a;y1 )

Si observamos en la figura adjunta, los puntos de un segmento vertical son tal que la
abscisa siempre es el mismo valor, entonces para el par de puntos (a; y1 ) y (a; y2 ) la (a;y2 )
y −y y −y a
posible pendiente sería m = 2 1 = 2 1 , de donde observamos que no existe un
a −a 0
valor posible para m . Así los segmentos verticales no tienen pendiente.
Figura 4: Recta vertical

Observación: del signo de la pendiente dependerá si el segmento (o recta) es creciente, decreciente o constante.
Es decir:

Si m  0 , el segmento (o recta) es creciente.

Si m  0 , el segmento (o recta) es decreciente.

Si m = 0 , el segmento (o recta) es constante.

• Ecuación de la Recta: Forma Punto – Pendiente de la Recta

De la Figura 5, se tiene la pendiente: L

y − y0 P
m= y
x − x0

P = (x; y ) Punto arbitrario en la recta.

P0 = (x0 ; y 0 ) Punto conocido (punto de paso). y0

P0

Despejando se tiene la siguiente ecuación:

x0 x
L : y − y 0 = m(x − x0 ) …………. (*)
Figura 5: Forma punto - pendiente
La cual representa a la recta en su forma punto – pendiente.

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• Ecuación de la Recta: Forma Pendiente – Intersección con el eje y

De la Figura 6, se tiene que la recta pasa por el punto (0; b) y si remplazamos L

en la ecuación dada en (*) obtenemos:

L : y − b = m(x − 0)
b m : pendiente
Luego al despejar, se obtiene:

L : y = mx + b ……..(**) Figura 6: Forma pendiente – intersección

La cual representa a la recta en su forma pendiente intersección al eje y.

• Ecuación General de la Recta

La ecuación general de una recta es la expresión de la forma: ax + by + c = 0

Dónde: a y b no son ceros al mismo tiempo.

a  c
Si B  0 , entonces la ecuación general se puede escribir de la siguiente forma: y=− x + − 
b  b

a
Entonces la pendiente es: m=−
b

• Recta Vertical y Horizontal

En el caso de los segmentos y las rectas verticales el concepto de pendiente no se

define.

Establezca una característica para las rectas verticales, ayudándose de la recta que
pasa por x = 2 , como se muestra en la Figura 7.
Por lo tanto, las rectas verticales poseen ecuaciones del tipo:

Figura 7: Recta vertical

x = x0 ; x0  R

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El caso de las rectas horizontales es más sencillo porque ellas sí poseen pendiente.
Su pendiente es 0. Haciendo m = 0 en cualquiera de las ecuaciones vistas
anteriormente se aprecia que la ecuación de las rectas horizontales tiene la forma: y0

y = y0 ; y0  R

Figura 8: Recta horizontal

• Rectas Paralelas y Perpendiculares

L1
Cuando se conocen las ecuaciones de dos rectas es muy simple determinar cuándo
se trata de rectas paralelas, en este caso sus pendientes son iguales, es decir: L2

m1 = m2

La perpendicularidad entre rectas requiere que las pendientes satisfagan la

condición: L1

L2
m1 m2 = −1

1.3 PRÁCTIQUEMOS EN CLASE

EJERCICIOS
1. Sean A(2; 3) , B(4;1) y C (− 1;1) los puntos de un triángulo. Determine la longitud del segmento que une el
vértice C y el punto medio del lado AB.

2. Determine la ecuación de una recta que pasa por los puntos (− 2, 3) y (2, 5) . Escriba la ecuación de la recta
en las 3 formas estudiadas.

3. Sean las rectas L1 : 5x − 2y = 5 y L2 : 2x + 3y = 6 . Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto
intersección de las rectas L1 y L 2 , y es perpendicular a la recta L1 .

4. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (2; 5) y es paralela a la recta 2x − y + 3 = 0. Trace su
gráfica indicando los puntos de corte con los ejes coordenados.

COMPETENCIA: Razonamiento cuantitativo

5. (Representación/análisis) Si se sabe que 0°C son 32°F (escala Fahrenheit) y que 10°C son 50°F, obtenga la
ecuación de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 que caracteriza la transformación de grados centígrados (𝑥) a grados
Fahrenheit (𝑦) y represéntela gráficamente. Luego, analice la ecuación obtenida y diga ¿cuántos grados
Fahrenheit equivalen a 20°C?

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1.4 PRACTIQUEMOS MÁS EN CASA

EJERCICIOS
1. Los puntos 𝐴(−2; 4), 𝐵(5; 2) y 𝐶(−1; −2) son los vértices de un triángulo. Determine la longitud del
segmento que une el vértice 𝐴 y el punto medio del lado BC.

2. Dadas las rectas 𝐿1 : 4𝑥 − 3𝑦 = 12 y 𝐿2 : 3𝑥 − 2𝑦 = −6 , determine la ecuación de la recta que pasa por el

punto de intersección de las rectas 𝐿1 y 𝐿2 , y es perpendicular a la recta 𝐿2 .

3. Dados los puntos: A(−7; 4) , B(2; 8) y C (0;−2)

a. Determine la distancia y el punto medio entre los puntos A y C .
b. Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos B y C .

4. Si la recta L1 pasa por los puntos (1; − 1) y (6;14) y la recta L2 pasa por los puntos (9; 3) y (−6; 8) . ¿Las
rectas L1 y L2 son paralelas, perpendiculares o ninguna de ellas?

5. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB , con A(− 1; 4) y B(3; 2) ,
2
y es perpendicular a la recta cuya ecuación es y = − x + 1 . Trace su gráfica indicando los puntos de corte.
3

6. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto (−1; 6) y es paralela a la recta cuya ecuación es
− 2 x + 3 y = 12 . Trace su gráfica indicando los puntos de corte.

7. Sean las rectas L1 : x − y = 1 y L2 : − x − 2 y = −11. Determine la ecuación de una recta que pasa por el
punto intersección de las rectas L1 y L 2 , y que es perpendicular a la recta L1 .

8. Determine la ecuación de la recta formada por los puntos que equidistan de los puntos (5; −2) y de (2; 1).

COMPETENCIA: Razonamiento cuantitativo

9. (Representación/análisis) Sabiendo que tres kilogramos de peras nos han costado S/ 13,5 y que por siete
kilogramos habríamos pagado S/ 31,5, obtenga la ecuación de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 que nos da el precio total
que pagaremos (𝑦) en función de los kilogramos que compremos (𝑥) y represéntela gráficamente. Luego
analice la ecuación obtenida y diga ¿cuánto pagaremos por 5 kilogramos de peras?

10. (Interpretación/cálculo) Un depósito contiene 240 litros de agua y recibe el caudal1 de un grifo que aporta
9 litros por minuto. Un segundo depósito contiene 300 litros y recibe el caudal de un grifo que aporta 4 litros
por minuto.
a. Interprete el problema usando ecuaciones de la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑥 representa el tiempo en
minutos desde que los grifos están abiertos y 𝑦 representa la cantidad de agua en litros que reciben los
depósitos después de 𝑥 minutos.
b. Calcule cuánto tiempo pasará hasta que ambos depósitos posean la misma cantidad de agua y cuántos
litros tendrían ambos depósitos.

1 Caudal: Cantidad de agua que lleva una corriente o que fluye de un manantial o fuente.

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