Guia Funciones Reales
Guia Funciones Reales
Guia Funciones Reales
Una función tiene una interpretación dinámica, como una maquina donde los elementos del
dominio entran, realizan un proceso dinámico mediante la definición de la función y sale como
producto un valor que pertenece al recorrido de la función.
Proceso:
definido por la
función
Entrada : Salida : elementosdel
elementos del recorrido ( imágenes)
dominio
Evaluar una función en un punto x = a consiste en sustituir el valor x en la función y realizar
las operaciones indicadas, con el fin de determinar el valor de la variable dependiente y.
2. Numérica: Cuando se da una tabla de valores que relacionan las variables dependiente
e independiente. Ejemplo . la siguiente tabla de valores muestra la relación entre el área
y el lado de un cuadrado.
Lado 1 2 3 4 5
Área 1 4 9 14 25
Algebraica: cuando se describe mediante una expresión matemática la forma como se relacionan las
variables dependiente e independiente. Ejemplo, si x es el lado de un cuadrado. Su área es:
A(x)=x 2
3. Visual- Grafica : cuando se presenta un esquema grafico de las variables , ejemplo.
El siguiente grafico nos muestra la relación entre el lado de un cuadrado y su área.
-8 -6 -4 -2
-2
-4
-6
-8
ACTIVIDAD.
a) g( -2 ) = b) g( ½ ) = c) g( x + y )=
a) f( -1 ) = f( a )= c) f( m + 1 ) – f( m) =
a) h( 2 ) = c) h( y – z ) = b. h( y ) – h( z ) = d) Es h( y - z ) = h( y ) –h( z )?
DOMINIO DE UNA FUNCION: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores
que toma la variable independiente. Para determinar el dominio de una función se tienen en
cuanta:
- Si la función es racional, hallamos los valores de la variable independiente para los cuales
la función denominadora se hace cero y los exceptuamos del conjunto de los números
reales.
- Si la variable independiente forma parte de una radical de índice par, se buscan los valores
para los cuales la cantidad subradical se hace mayor o igual a cero.
-
GRAFICA DE UNA FUNCION
Si f es una función, se define su gráfica como el conjunto de puntos ( x, f(x)) tales que x es
X -3 -2 -1 0 1 2 3
F(x) 3 3 3 3 3 3 3
La familia de funciones de la forma f(x)= mx + b , tienen por representación gráfica una línea
recta, es por ello que se les denominan funciones de gráfica lineal o función afín .
En ocasiones, cuando en un problema se hace referencia a una dependencia lineal, se
trabaja con una función de la forma: f(x)= mx + b ,
FUNCION CUADRATICA. Un
función cuadrática es aquella 8
a 0. Su grafica corresponde a
2
una parábola y supunto más alto
o más bajocorresponde al vértice -8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-2
de la parábola cuyas
coordenadas son: -4
-6
-8
FUNCIÓN EXPONENCIAL: Si a > 0 y a 1 , entonces la función exponencial con base
a es la función definida por: f(x) = ax donde x toma cualquier valor real.
En las gráficas anteriores se observan que las características de la función exponencial son:
Es una función positiva, su gráfica esta orientada hacia el eje positivo de las y.
Si ax = ay , entonces x = y
Por otra parte, las gráficas de las funciones f(x) = ax y f(x) = bx sólo se intersecan cuandox = 0 , lo cual
nos permite afirmar que:
EL NUMERO e: de la definición de la función exponencial se tiene que la base a puede ser
cualquier número positivo diferente de 1. Además, para cada valor de a hay una función
1 x
e = Lim 1 +
x→ x
Si se siguen dando valores cada vez más grandes obtenemos un valor aproximado del número
de Euler el es e = 2,718281786.
La función exponencial tiene aplicación en una gran cantidad de problemas sobre crecimiento
de una población, crecimiento de bacterias en un cultivo, desintegración radiactiva,
determinación de la vida media de materiales radiactivos, calculo de intereses entre otras.
Así, la función q(t) definida por q(t) = q0ekt con k > 0, en donde t es una variable que
representa el tiempo, es llamada un MODELO EXPONENCIAL DE CRECIMIENTO, en
donde k es una constante llamada constante de crecimiento y t la variable independiente
representa un instante de tiempo determinado, q0 representa la cantidad inicial y q la cantidad
de sustancia en cualquier instante de tiempo. Si K es negativa el modelo es de
DECRECIMIENTO
POR EJEMPLO: Un número de bacterias en un cultivo está dado después de t horas por el
modelo exponencial de crecimiento: q(t) = 50e0,7t .
EJEMPLO DOS: Una sustancia tiene una constante de decrecimiento del 5% por hora. Si
500 gramos se tienen inicialmente. ¿Cuánta sustancia queda después de 4 horas?.
q(t) = 500e-0,05t
A C T I V I D A D.
1. El numero de bacterias en un cultivo después de t horas está dado por q(t) = 200e0,25 t .
Cuál e el número inicial de bacterias?
t 1 3 5 7 8 10 12
q(t)
Cuando se escribe x = logb a, se indica que x es el único número real que verifica la ecuación:
bx = a.
Ejemplo: log5 625 = 4 puesto que 54 = 625.
Log2 32 = 5 puesto que 25 = 32
Log10 0,001 = -3 puesto que 10-3 = 0,001
F(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
CARACTERISTICAS DE LA
FUNCION LOGARITMICA.
FUNCION UNO A UNO – FUNCION INYECTIVA: una función es uno a uno cuando a
elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el codominio.
x1 x2
FUNCION PAR: Una función f se dice que es simétrica respecto al eje Y o par, si para cualquier
( x , y ) de la gráfica, (-x , y ) también es de gráfica. Es decir f es par si y solo sif(x) = f(-
x). Para todo x en el dominio de f. El significado geométrico de un función par esque su
grafica es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que si hemos trazado la gráfica de f
para x 0, obtendremos la grafica con solo reflejar con respecto al eje y.
FUNCION IMPAR: Una función f se dice que es simétrica respecto al origen o es impar, si
para cualquier ( x, y ) de la gráfica, ( -x , -y ) también es de la gráfica. Es decir, f es impar si
y sólo si f( -x ) = - f(x) para todo x en el dominio de f. La grafica de una función impar es
simétrica con respecto al origen.
gof
f g
f(x) g(f(x))
( f o g ) (x) = f(g(x)) = f( x – 2 ) = ( x – 2 )2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1 = x2 + 4x + 5
OPERACIONESENTRE FUNCIONES
Sean las funciones f y g : para dichas funciones se define las siguientes operaciones:
I. La suma , denotada por ( f+g ) , es la función definida por (f + g) (x) = f(x) +g(x)
II. La diferencia, denotada por ( f – g ) , es la función definida por ( f – g ) (x)= f(x) –g(x)
III. El producto, denotado por ( f • g), es la función definida por ( f • g)(x)= f(x) • g(x)
IV. El cociente, denotado por ( f/g) , es la función definida por ( f/g )(x)= f(x)/g(x)
En cada caso el Dominio de función resultante consiste de aquellos valores de x comunes a
los dominios de f y g ( Domf Domg ), con excepción de que en el caso del cociente los
valores de x para los cuales g(x)=0 se excluyen.
ACTIVIDAD
Sea f ( x ) = x + 1; g ( x ) = x 2 − 5 ; h ( x ) = 5 − 3 x 2 determinar.
a)( f ∘ g)(x) =
b)(h ∘ f )(x) =
c)(g ∘ h)(x) =
Sea
Determinar :
a) f ( -0,85 ) = d) g( 7) = e) h(2,5) =
b) f( 2) + g( -2) – h(1,5)= f) (g(6,4) + g( 0) )*(g(-5)) =
c) h(2) – 3h(-1.5) = g) 2*f(2) – 3*h(5) + 1,5*g(-4) =
Dado
Determine.
a) f(2) + g(5). = f(-10) – g(-3). =
b) f(0) *g(0).= f(5,2) / g(9).=
c) ( f o g )(5) = ( f o g )(2)=
d) ( f o g )(-3)= ( g o f )(-1)=