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Guia Funciones Reales

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RELACIONES Y FUNCIONES

VARIABLE INDEPENDIENTE: El sujeto que estudia le asigna el valor arbitrariamente.

VARIABLE DEPENDIENTE: Su valor depende del valor asignado a la variableindependiente.


La aparición de la teoría de conjuntos primero extendió, y luego alteró sustancialmente, el
concepto de función. El concepto de función en las matemáticas de nuestros días queda
ilustrado a continuación.

DEFINICIÓN 1. Si A y B son conjuntos cualesquiera, una función f de A en B es una relación


entre los elementos de A y B de tal manera que a cada elemento x de A le corresponde uno
y solo un elemento y que pertenece a B.

DEFINICION2. Una función es un conjunto de parejas ordenadas de números ( x, y ) en


el cual dos parejas ordenadas distintas no tienen el mismo primer elemento. El conjunto de
todos los valores posibles de x es el dominio de la función y el conjunto de todos los valores
posibles de y se llama el rango de la función.

Una función tiene una interpretación dinámica, como una maquina donde los elementos del
dominio entran, realizan un proceso dinámico mediante la definición de la función y sale como
producto un valor que pertenece al recorrido de la función.

Proceso:
definido por la
función
Entrada : Salida : elementosdel
elementos del recorrido ( imágenes)
dominio
Evaluar una función en un punto x = a consiste en sustituir el valor x en la función y realizar
las operaciones indicadas, con el fin de determinar el valor de la variable dependiente y.

Las funciones se representan de la siguiente manera:


1. verbal: cuando se hace un descripción de la regla que liga las variables dependiente e
independiente de la función. ejemplo : El área de un cuadrado es igual al cuadrado de
la longitud de su lado.

2. Numérica: Cuando se da una tabla de valores que relacionan las variables dependiente
e independiente. Ejemplo . la siguiente tabla de valores muestra la relación entre el área
y el lado de un cuadrado.

Lado 1 2 3 4 5
Área 1 4 9 14 25

Algebraica: cuando se describe mediante una expresión matemática la forma como se relacionan las
variables dependiente e independiente. Ejemplo, si x es el lado de un cuadrado. Su área es:
A(x)=x 2
3. Visual- Grafica : cuando se presenta un esquema grafico de las variables , ejemplo.
El siguiente grafico nos muestra la relación entre el lado de un cuadrado y su área.

-8 -6 -4 -2

-2

-4

-6

-8
ACTIVIDAD.

- Si g(x) es la función real definida por g(x)= 1-2x + x2 . Hallar :

a) g( -2 ) = b) g( ½ ) = c) g( x + y )=

- Si f(x) es la función real definida por f(x) = 2x – 1. Determine :

a) f( -1 ) = f( a  )= c) f( m + 1 ) – f( m) =

- Sea h(x) la función definida por h(x) = 2x2 – 1. Calcule :

a) h( 2 ) = c) h( y – z ) = b. h( y ) – h( z ) = d) Es h( y - z ) = h( y ) –h( z )?

DOMINIO DE UNA FUNCION: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores
que toma la variable independiente. Para determinar el dominio de una función se tienen en
cuanta:

- Si la función es polinómica, el dominio es el conjunto de los números reales.

- Si la función es racional, hallamos los valores de la variable independiente para los cuales
la función denominadora se hace cero y los exceptuamos del conjunto de los números
reales.
- Si la variable independiente forma parte de una radical de índice par, se buscan los valores
para los cuales la cantidad subradical se hace mayor o igual a cero.

CODOMINIO: es el conjunto de valores que toma la variable dependiente.


RANGO O RECORRIDO: Es el conjunto de valores que efectivamente toma la variable
dependiente.
Para determinar el rango:
- se expresa la variable independiente en términos de la variable dependiente.
- Se identifican los valores que puede tomar la variable dependiente, para que la variable
independiente sea un numero real.

-
GRAFICA DE UNA FUNCION

Si f es una función, se define su gráfica como el conjunto de puntos ( x, f(x)) tales que x es

Gráfico de f = { ( x , f(x) ) / x está en el dominio de f }

un elemento del dominio de f.

También se llama gráfica de la función a la representación del conjunto anterior en el plano


cartesiano.

En una función y = f(x), a x se le acostumbra dar el nombre de variable independiente ya


que puede tomar cualquier valor que este en el dominio de la función. Como el valor de y
depende del valor que se le asigne a x, entonces a y se le llama variable dependiente.

Para realizar la representación gráfica de una función se acostumbra a elaborar un tabla de


valores, localizar las parejas ordenadas ( x, y ) en e l plano y luego mediante una línea
visualizar el gráfico pedido. Así por ejemplo:

Trazar el gráfico de la función: f(x) = x2 - 5x – 2

 F(x) = 2x2 – 4 F(x) = ( 3x + 5) / ( x –1 ) F(x) = x3 + 2x2 – 5 F(x) = 2x

Algunas funciones son:


FUNCIÓN CONSTANTE: Toda función de la forma f(x) = k , donde k es una constante,
recibe el nombre de función constante. Esta función tiene la característica de que a todo
numero real x del dominio, le asigna siempre el mismo valor de k. La gráfica de este tipo de
función es una recta paralela al eje de las x.

Un ejemplo de la función constante es: f(x )= 3 ,


la tabla de valores para la función es:
La gráfica es una recta paralela al eje de las X.

X -3 -2 -1 0 1 2 3
F(x) 3 3 3 3 3 3 3

FUNCION LINEAL ( de grafica lineal ) :

La familia de funciones de la forma f(x)= mx + b , tienen por representación gráfica una línea
recta, es por ello que se les denominan funciones de gráfica lineal o función afín .
En ocasiones, cuando en un problema se hace referencia a una dependencia lineal, se
trabaja con una función de la forma: f(x)= mx + b ,

FUNCION CUADRATICA. Un
función cuadrática es aquella 8

función que tiene como forma 6

general f(x)= ax2 +bx + c , donde 4

a  0. Su grafica corresponde a
2
una parábola y supunto más alto
o más bajocorresponde al vértice -8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-2
de la parábola cuyas
coordenadas son: -4

-6

-8
FUNCIÓN EXPONENCIAL: Si a > 0 y a  1 , entonces la función exponencial con base
a es la función definida por: f(x) = ax donde x toma cualquier valor real.

Son ejemplos de funciones exponenciales:

F(x) = 2x ; f(x) = ( 2/3 )x ; f(x) = 3-x

Algunas representaciones gráficas de funciones exponenciales son:

Gráfica de f(x) =2x Gráfica de f(x)= ( 2/3 )x

En las gráficas anteriores se observan que las características de la función exponencial son:

 Es una función positiva, su gráfica esta orientada hacia el eje positivo de las y.

 Es una función continua

 Es creciente para valores de a > 1 (gráfico de la izquierda)

 Es decreciente para los valores de a comprendidos entre 0 y 1

 La gráfica de la función siempre pasa por el punto ( 0 , 1 )

 La función exponencial no tiene ceros, es decir, su gráfico no corta al eje de las x.

Como la función exponencial es creciente o decreciente, entonces nunca toma el mismo


valor dos veces, esto nos permite escribir esta propiedad como:

Si ax = ay , entonces x = y

Por otra parte, las gráficas de las funciones f(x) = ax y f(x) = bx sólo se intersecan cuandox = 0 , lo cual
nos permite afirmar que:
EL NUMERO e: de la definición de la función exponencial se tiene que la base a puede ser
cualquier número positivo diferente de 1. Además, para cada valor de a hay una función

Si ax = bx para todo x  0 , entonces a = b


exponencial diferente. Existe en particular un valor de a que es muy importante en
matemáticas y finanzas. Este número irracional, que se denota por la letra e, en honor a
EULER se define como:

 1 x
e = Lim 1 + 
x→  x

y se obtiene un valor aproximado de la constante de Euler cuando x toma valores muy


grandes. La siguiente tabla muestra algunos valores:

x 1 2 10 100 1000 10000 100000 1000000


x
 1 2 2,2 2,5393 2,704 2,716 2,718 2,7182 2,71828
1 + 
 x 5 7 8 9 1

Si se siguen dando valores cada vez más grandes obtenemos un valor aproximado del número
de Euler el es e = 2,718281786.

ALGUNAS APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

La función exponencial tiene aplicación en una gran cantidad de problemas sobre crecimiento
de una población, crecimiento de bacterias en un cultivo, desintegración radiactiva,
determinación de la vida media de materiales radiactivos, calculo de intereses entre otras.
Así, la función q(t) definida por q(t) = q0ekt con k > 0, en donde t es una variable que
representa el tiempo, es llamada un MODELO EXPONENCIAL DE CRECIMIENTO, en
donde k es una constante llamada constante de crecimiento y t la variable independiente
representa un instante de tiempo determinado, q0 representa la cantidad inicial y q la cantidad
de sustancia en cualquier instante de tiempo. Si K es negativa el modelo es de
DECRECIMIENTO
POR EJEMPLO: Un número de bacterias en un cultivo está dado después de t horas por el
modelo exponencial de crecimiento: q(t) = 50e0,7t .

1. Hallar el número inicial de bacterias con el que se inició el cultivo:

El numero inicial de bacterias se obtiene cuando t = 0

q(0) = 50e0,7*0 = 50e0 =50 bacterias

2. Cuantas bacterias hay en cultivo después de 10 horas:

Después de 10 horas , se obtiene:

q(10) = 50e0,7*10 = 50e7 =50*(1096,6) = 54.380 bacterias.

EJEMPLO DOS: Una sustancia tiene una constante de decrecimiento del 5% por hora. Si
500 gramos se tienen inicialmente. ¿Cuánta sustancia queda después de 4 horas?.

El modelo de decrecimiento es: q(t) = q0e-kt . en donde:

q(0) = 500 y k= 5% = 0,05 ,

realizando sustituciones, el modelo es:

q(t) = 500e-0,05t

después de 4 horas, se obtiene:

q(4) = 500e-0,05*4 = 500e-0,2 = 500*(0,8187) = 409,4 gr.

luego al cabo de 4 horas quedan 409,4 gramos.

A C T I V I D A D.

1. El numero de bacterias en un cultivo después de t horas está dado por q(t) = 200e0,25 t .
 Cuál e el número inicial de bacterias?

 Completar la siguiente tabla

t 1 3 5 7 8 10 12

q(t)

 Encontrar el número de bacterias en el cultivo después de 20 horas.


2. El número de bacterias en un cierto cultivo de bacterias después de t horas está dada
por q(t)=q0e0,05t .si 5000 bacterias están presentes después de 10 minutos, cuántos
bacterias están presentes inicialmente?

3. Una sustancia radiactiva tiene constante de desintegración radiactiva de 4% por hora. Si


1000 g están presentes inicialmente. Cuánta sustancia se tiene después de 10 horas?

4. Al comienzo de 1975 la población mundial era aproximadamente de 4 billones. Suponga


que el crecimiento de la población se rige por un modelo exponencial de crecimiento, y
que la constante de crecimiento es de 2% por año. Dar aproximadamente la población
mundial en año 2005

FUNCIÓN LOGARITMICA: Se llama logaritmo de un numero a en la base b y se indica por


logba, al exponente al que hay que elevar la base b para obtener como resultado el numero
a ( siempre que el exponente exista y sea único en el conjunto de los números reales).

Cuando se escribe x = logb a, se indica que x es el único número real que verifica la ecuación:
bx = a.
Ejemplo: log5 625 = 4 puesto que 54 = 625.
Log2 32 = 5 puesto que 25 = 32
Log10 0,001 = -3 puesto que 10-3 = 0,001

Una función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Sea b un número positivo


diferente de 1. Se llama función logarítmica de base b a la función definida por f(x) = logbx.

Gráfica de la función logarítmica. Graficar f(X) = log2 x

X 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

F(x) -3 -2 -1 0 1 2 3
CARACTERISTICAS DE LA
FUNCION LOGARITMICA.

1. si b>1, la función es positiva para


todos los valores de x>1, pero es
negativa para todos los valores de
x comprendidos entre 0 < x < 1.

2. Si b< 1, la función es negativa


para todos los valores de x>1 , pero es positiva para todos los valores de x comprendidos
entre 0 < x < 1.

3. La función no está definida para valores x < 0 o x = 0.

4. Si b>1 la función es creciente. Si b < 1 la función es decreciente.

5. La función tiene sólo un cero, en x = 1.

6. Gráficamente todas las curvas de la función logarítmica pasan por el punto ( b, 1 ).

FUNCION UNO A UNO – FUNCION INYECTIVA: una función es uno a uno cuando a
elementos distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el codominio.

FUNCION SOBREYECTIVA O SOBRE: Una función es sobreyectiva cuando todos los


elementos del condominio pertenecer al rango de la función.

FUNCION BIYECTIVA: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

FUNCIÓN CRECIENTE. Una función f se dice que es


estrictamente creciente en un intervalo I, si para cualquier
par de números x1 y x2 del intervalo I, tales que x1 < x2 , se
tiene que
f(x1 ) < f(x2).
FUNCIÓN DECRECIENTE. Una
f(x)
función f se dice que es estrictamente
f(x1)
decreciente en un intervalo I, si para
cualquier par de números x1 y x2 del
intervalo I, tales que x1 < x2, se tiene que
f(x1) > f(x2). f(x2)

x1 x2

FUNCION PAR: Una función f se dice que es simétrica respecto al eje Y o par, si para cualquier
( x , y ) de la gráfica, (-x , y ) también es de gráfica. Es decir f es par si y solo sif(x) = f(-
x). Para todo x en el dominio de f. El significado geométrico de un función par esque su
grafica es simétrica con respecto al eje y. Esto significa que si hemos trazado la gráfica de f
para x  0, obtendremos la grafica con solo reflejar con respecto al eje y.

EJEMPLO: Demuestre que la función f(x) = 2x2 + 5 es una función par.


Para ello se debe comprobar que f(-x) = f(x).

f(-x) = 2(-x)2 + 5 = 2x2 + 5 = f(x)


Con lo que se demuestra que la función dada es par.

FUNCION IMPAR: Una función f se dice que es simétrica respecto al origen o es impar, si
para cualquier ( x, y ) de la gráfica, ( -x , -y ) también es de la gráfica. Es decir, f es impar si
y sólo si f( -x ) = - f(x) para todo x en el dominio de f. La grafica de una función impar es
simétrica con respecto al origen.

EJEMPLO: Demuestre que f(x) = 3x3 – 5x es una función impar.


Se debe comprobar que f(-x) = - f(x).
f(-x)= 3(-x)3 – 5(-x) = -3x3 + 5x = - (3x3 – 5x ) = - f(x).
Con lo que queda demostrado que la función es impar.
FUNCIÓN PERIODICA. Una función f(x) se dice que es periódica de periodo k  0 si para
todo X perteneciente al dominio de f(x), X + k también pertenece a su dominio y f( X + k )
= f(x).

FUNCIÓN COMPUESTA: Dadas las funciones f : A B y g:B C, la


funcióncompuesta de f y g , denotada por g o f, es la función definida por :
( g o f )(x) = g(f(x))
el dominio de g o f es el conjunto de todos los elementos x del dominio de f para los cuales
f(x) está en el dominio de g.

gof

f g

f(x) g(f(x))

Ejemplo : dadas las funciones f(x) = x2 + 1 y g(x) = x – 2. Determine:


(g o f )(x) = g(f(x)) = g ( x2 +1 ) = (x2 + 1) – 2 = x2 – 1

( f o g ) (x) = f(g(x)) = f( x – 2 ) = ( x – 2 )2 + 1 = x2 – 4x + 4 + 1 = x2 + 4x + 5

observe que ( g o f )(x) = ( f o g )(x)

( f o g )(2) = f(g(2))= f(2 – 2 ) = f(0) = 0 + 1 = 1

( g o f )(3) = g(f(3)) = g( 32 +1) = g( 9+1)= g(10) =10 – 2 = 8

OPERACIONESENTRE FUNCIONES

Sean las funciones f y g : para dichas funciones se define las siguientes operaciones:

I. La suma , denotada por ( f+g ) , es la función definida por (f + g) (x) = f(x) +g(x)
II. La diferencia, denotada por ( f – g ) , es la función definida por ( f – g ) (x)= f(x) –g(x)
III. El producto, denotado por ( f • g), es la función definida por ( f • g)(x)= f(x) • g(x)
IV. El cociente, denotado por ( f/g) , es la función definida por ( f/g )(x)= f(x)/g(x)
En cada caso el Dominio de función resultante consiste de aquellos valores de x comunes a
los dominios de f y g ( Domf  Domg ), con excepción de que en el caso del cociente los
valores de x para los cuales g(x)=0 se excluyen.

ACTIVIDAD

Sea f ( x ) = x + 1; g ( x ) = x 2 − 5 ; h ( x ) = 5 − 3 x 2 determinar.
a)( f ∘ g)(x) =
b)(h ∘ f )(x) =
c)(g ∘ h)(x) =

 Sea

Determinar :

a) f ( -0,85 ) = d) g( 7) = e) h(2,5) =
b) f( 2) + g( -2) – h(1,5)= f) (g(6,4) + g( 0) )*(g(-5)) =
c) h(2) – 3h(-1.5) = g) 2*f(2) – 3*h(5) + 1,5*g(-4) =

Dado

Determine.
a) f(2) + g(5). = f(-10) – g(-3). =
b) f(0) *g(0).= f(5,2) / g(9).=
c) ( f o g )(5) = ( f o g )(2)=
d) ( f o g )(-3)= ( g o f )(-1)=

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