UNIVERSIDAD SAN FRANCISCO XAVIR DE CHUQUISACA

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA

ALGEBRA I

ING. JULY VICTORIA ROJAS ENRIQUEZ

TEMA 5-. LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ING. JULY V. ROJAS ENRIQUEZ

LEYES DE COMPOSICION
Y
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
TEMA 5-. LEYES DE COMPOSICION Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ING. JULY V. ROJAS ENRIQUEZ

1. INTRODUCCION
Por aritmética se sabe que la suma es una operación binaria en el conjunto N de los números
naturales. Es decir, la suma de dos elementos de N da como resultado un tercer elemento de N
denominado suma. Así en símbolos se tiene:

∀𝒂, 𝒃 ∈ 𝑵 → 𝒂 + 𝒃 ∈ 𝑵

Esta idea también se cumple para la operación de multiplicación, pues el producto de dos
números naturales es otro número natural. Así, se dice que la suma y la multiplicación son
operaciones binarias en N.
A continuación se precisa este concepto de operación binaria desde el punto de vista de una
función la cual se conoce como una ley de composición interna.
Posteriormente se definen las leyes de composición externa y estructuras algebraicas, con
vistas a su utilización en la estructura de espacio vectorial.
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2. LEYES DE COMPOSICION INTERNA

Una ley de composición interna en un conjunto no vacío A es una operación binaria que asocia a cada par
ordenado de elementos de A un único elemento de A. Dicho brevemente, una ley de composición interna
definida en un conjunto no vacío A es toda función de AxA en A.

En símbolos ∗ 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝐴 ⇔ ∗: 𝐴 × 𝐴 ⇒ 𝐴

Es decir: 𝑎 ∈𝐴∧𝑏 ∈𝐴 ⇒𝑎∗𝑏 ∈𝐴

Por ejemplo, la adición es una ley interna en el

conjunto A de los números enteros pares, pues, la Es decir: si 𝑎 ∈𝐴∧𝑏 ∈𝐴⇒𝑎+𝑏 ∈𝐴
suma de dos números enteros pares es otro número Esto significa si 4 ∈ 𝐴 ∧ 6 ∈ 𝐴 ⇒ 4 + 6 = 10 ∈ 𝐴
entero par. Pero esta operación no es una ley interna Pero si 𝑎 ∈𝐵∧𝑏 ∈𝐵 ⇒𝑎+𝑏 ∉𝐵
en el conjunto B de los números enteros impares, ya
Esto es si 5 ∈𝐵∧3 ∈𝐵 ⇒5+3 ∉𝐵
que la suma de dos números enteros impares no es
un entero impar.
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3. PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICION INTERNA

Consideremos a “*” una ley de composición interna en el conjunto A, es decir:

∗: 𝑨 × 𝑨 → 𝑨
3.1. ASOCIATIVIDAD
Una ley interna * en A es asociativa si 𝑎∗𝑏 ∗𝑐 =𝑎∗ 𝑏∗𝑐
para cualesquiera 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴
3.2. CONMUTATIVIDAD
Una ley de composición interna * en A es conmutativa si se verifica que 𝑎∗𝑏 =𝑏∗𝑎
para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴

3.3. EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO

Un conjunto A está dotado de elemento neutro con respecto a una ley interna * sobre A si existe un
elemento 𝑒 ∈ 𝐴 con la propiedad de que 𝑒∗𝑎 =𝑎∗𝑒 =𝑎

para todo 𝑎 ∈ 𝐴
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3.4. EXISTENCIA DE INVERSOS EN UNA LEY INTERNA CON NEUTRO

Sea un conjunto A que posee el elemento neutro e con respecto a una ley interna *. Un elemento 𝑎, ∈ 𝐴
se dice que es inverso de 𝑎 ∈ 𝐴 si 𝑎 ∗ 𝑎, = 𝑎, ∗ 𝑎 = 𝑒
Teoremas
I. El elemento neutro, si existe, de un conjunto A con respecto a una ley interna * sobre A es único.
II. Sea * una ley interna sobre un conjunto A. Si un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 admite inverso respecto de la ley *, entonces
dicho inverso es único.
3.5. REGULARIDAD DE UN ELEMENTO RESPECTO DE UNA LEY INTERNA
La regularidad de un elemento 𝑎 ∈ 𝐴 respecto de cierta ley interna * en A consiste en que es simplificable
a izquierda y a derecha en los dos miembros de una igualdad.
Es decir, 𝑎 ∈ 𝐴 es regular respecto de * si:

𝑎∗𝑏 =𝑎∗𝑐 ⇒𝑏 =𝑐 𝑦 𝑏∗𝑎 = 𝑐∗𝑎 ⇒𝑏 =𝑐

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Ejemplo
En el conjunto Z de los números enteros se define * por medio de
𝑎 ∗ 𝑏 = 2𝑎 + 2𝑏
Estudiar las propiedades y la existencia de elementos regulares
Solución
El problema consiste en analizar las propiedades de * en Z
 Asociatividad: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍, entonces por definición de * se tiene
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 2𝑎 + 2𝑏 ∗ 𝑐
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 2 2𝑎 + 2𝑏 + 2𝑐 = 4𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 (𝟏)
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (2𝑏 + 2𝑐)
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 2𝑎 + 2 2𝑏 + 2𝑐 = 2𝑎 + 4𝑏 + 4𝑐 (𝟐)
De (1) y (2) resulta 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 ≠ 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐), la ley * no es asociativa
 Conmutatividad: Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍. Aplicando la ley * y la conmutatividad de la adición en Z, se verifica
𝑎 ∗ 𝑏 = 2𝑎 + 2𝑏 = 2𝑏 + 2𝑎 = 𝑏 ∗ 𝑎
 Existencia de neutro: Si existe 𝑒 ∈ 𝑍 tal que, para todo 𝑎 ∈ 𝑍 , entonces debe verificarse 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎
Por la ley *, resulta 2𝑎 + 2𝑒 = 𝑎
𝑎
Resulta entonces que no existe neutro 𝑒 ∈ 𝑍, ya que 𝑒 = − ∉ 𝑍
2
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 Elementos de Z que admiten inverso respecto de *

Si 𝑎 ∈ 𝑍 admite inverso, entonces debe existir 𝑎 , ∈ 𝑍 tal que

𝒂 ∗ 𝒂, = 𝒆
Luego los elementos de Z no admiten inverso porque no existe neutro
 Elementos regulares: Sea 𝑎 ∈ 𝑍 entonces
𝑎∗𝑏 =𝑎∗𝑐
2𝑎 + 2𝑏 = 2𝑎 ∗ 2𝑐
2𝑏 = 2𝑐
𝑏=𝑐
Por ser * una ley conmutativa en Z, también se verifica

𝒃∗𝒂=𝒄∗𝒂⇒𝒃 =𝒄
Luego, todos los enteros son regulares o simplificables respecto de *.
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Ejemplo Estudiar las propiedades de ∗: 𝑄 2 → 𝑄 tal que 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏

Solución

Estamos interesados en analizar las propiedades de esta ley de composición en Q.

• Asociatividad: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑄, entonces por definición de * se tiene

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 ∗ 𝑐
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 + 𝑐 − 2 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 𝑐
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 − 2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏𝑐 𝟏
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐)
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐 − 2𝑎 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑏𝑐 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎𝑐 + 4𝑎𝑏𝑐 (𝟐)
De (1) y (2) resulta 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 la ley * es asociativa en Q
• Conmutatividad: Para cualesquiera 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄, se tiene
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 = 𝑏 + 𝑎 − 2𝑏𝑎 = 𝑏 ∗ 𝑎
Por lo que * es una ley conmutativa en Q.
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• Existencia de neutro: Si existe 𝑒 ∈ 𝑄 tal que, para todo 𝑎 ∈ 𝑄 , entonces debe verificarse 𝑎∗𝑒 =𝑎
Por la definición de *, se obtiene
𝑎 + 𝑒 − 2𝑎𝑒 = 𝑎
1
𝑒 1 − 2𝑎 = 0 → 𝑒 = 0 ; 𝑠𝑖 𝑎 ≠
2
1 1 1 1 1
Si 𝑎 = se tiene 𝑎 ∗ 𝑒 = ∗ 0 = + 0 − 2 0 =
2 2 2 2 2

Por tanto e=0, es neutro en Q respecto de *

• Elementos de Q que admiten inverso respecto de *
Si 𝑎 ∈ 𝑄 admite inverso, entonces debe existir 𝑎, ∈ 𝑄 tal que
𝑎 ∗ 𝑎, = 𝑒
Es decir
𝑎 + 𝑎, − 2𝑎𝑎, = 0
𝑎, 1 − 2𝑎 = −𝑎
1 𝑎
Luego si 𝑎 ≠ , resulta 𝑎, =
2 2𝑎−1
1
Es decir, todos los racionales distintos de admiten inverso respecto de *.
2
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• Elementos regulares: Sea 𝒂 ∈ 𝑸 entonces se tiene

𝑎∗𝑏 =𝑎∗𝑐
𝑎 + 𝑏 − 2𝑎𝑏 = 𝑎 + 𝑐 − 2𝑎𝑐
𝑏 1 − 2𝑎 = 𝑐(1 − 2𝑎)

1
𝑆𝑖 𝑎 ≠ 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑏 = 𝑐
2
1
Por tanto, todos los racionales distintos de son regulares respecto de *.
2
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3.6. DISTRIBUTIVIDAD DE UNA LEY DE COMPOSICION INTERNA RESPECTO DE OTRA

Sean * y ° dos leyes de composición interna en un mismo conjunto A. La ley ° se dice
distributiva a izquierda respecto de * si:

𝒂° 𝒃 ∗ 𝒄 = 𝒂°𝒃 ∗ 𝒂°𝒄 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒂 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨

Y se dice distributiva a derecha respecto de * si:

𝒃 ∗ 𝒄 °𝒂 = 𝒃°𝒂 ∗ 𝒄°𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨

Si se verifica la distributiva a izquierda y a derecha, se dice simplemente que ° es distributiva

respecto a *.
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Ejemplo
En el conjunto R de los números reales se definen las leyes de composición interna ° 𝑦 ∗ mediante
𝑎°𝑏 = 𝑎2 𝑏 2 𝑦 𝑎∗𝑏 =𝑎+𝑏
Investigar las distributividades de ° respecto de *.
Solución
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 entonces
𝑎° 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎2 (𝑏 ∗ 𝑐)2
𝑎° 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎2 (𝑏 + 𝑐)2 (𝟏)
𝑎°𝑏 ∗ 𝑎°𝑐 = 𝑎°𝑏 + 𝑎°𝑐
𝑎°𝑏 ∗ 𝑎°𝑐 = 𝑎2 𝑏 2 + 𝑎2 𝑐 2 = 𝑎2 𝑏 2 + 𝑐 2 (𝟐)
De (1) y (2) resulta 𝑎° 𝑏 ∗ 𝑐 ≠ 𝑎°𝑏 ∗ (𝑎°𝑐) . Análogamente se verifica que 𝑏 ∗ 𝑐 °𝑎 ≠ 𝑏°𝑎 ∗
(𝑐°𝑎). Por tanto, ° no es distributiva respecto de *.
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4. LEY DE COMPOSICION EXTERNA

Una ley de composición se denomina externa, cuando se opera con elementos de dos conjuntos.
Es decir, dados los conjuntos K y A, se entiende por ley de composición externa a toda aplicación
del conjunto KxA en A, en donde K se denomina conjunto de operadores o escalares.
En símbolos se tiene

" ° "𝑒𝑠 𝑙𝑒𝑦 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝐴 𝑐𝑜𝑛 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝐾 ⇔ °: 𝐾 × 𝐴 → 𝐴

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5. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Se denomina estructura algebraica a todo conjunto no vacío en el que se han definido una o
más leyes de composición interna y eventualmente, leyes de composición externa.
Según sean las propiedades que deban satisfacer dichas leyes de composición, se tienen los
diferentes tipos de estructuras algebraicas, como ser:

• Estructura de Semigrupo,

• Grupo,

• Grupo Abeliano,

• Anillo

• De Cuerpo.
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5.1. ESTRUCTURA DE SEMIGRUPO

Sea A un conjunto no vacío, en el que se ha definido una ley de composición interna *. Se
dice que el conjunto a, junto con la operación * es un semigrupo y se representa por (A,*),
si y sólo si la ley * es asociativa, esto es:

𝑎∗𝑏 ∗𝑐 =𝑎∗ 𝑏∗𝑐 para cualesquiera 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴

• Si además, aunque no es necesario, dicha ley es conmutativa, entonces el semigrupo se

llama conmutativo.

• Si dicha ley tiene elemento neutro en A, se dice que el semigrupo tiene unidad.
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Ejemplo
En el conjunto N de los números naturales se define la operación *, mediante
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 2 para cualesquiera 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁
Determinar se N posee estructura de semigrupo con respecto a esta operación
Solución
Para que el conjunto N tenga estructura de semigrupo con respecto a la operación *, debe verificarse la propiedad
asociativa, esto es
𝑎∗𝑏 ∗𝑐 = 𝑎∗𝑏 +𝑐+2
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 2) + 𝑐 + 2 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 4 𝟏
𝑎∗ 𝑏∗𝑐 =𝑎+ 𝑏∗𝑐 +2
𝑎∗ 𝑏∗𝑐 = 𝑎+ 𝑏+𝑐+2 +2= 𝑎+𝑏+𝑐+4 (𝟐)
De (1) y (2) resulta 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 y es asociativa respecto de *.
Entonces N posee estructura de semigrupo respecto de *.
Además se verifica la propiedad conmutativa, pues
𝑎∗𝑏 =𝑎+𝑏+2 =𝑏+𝑎+2= 𝑏∗𝑎
Por tanto N posee estructura de semigrupo conmutativo respecto de *.
Esto equivale a decir que el par (N,*) es un semigrupo conmutativo.
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5.2. ESTRUCTURA DE GRUPO

Sea G un conjunto no vacio, en el que se ha definido una operación interna o ley de composición interna *. Se
dice que el conjunto G, junto con dicha operación *, tiene estructura de grupo y se representa por (G,*) si y
sólo si cumplen las siguientes propiedades
 Asociatividad, esto es
𝒂∗𝒃 ∗𝒄= 𝒂∗ 𝒃∗𝒄 para cualesquiera 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑮

 Existencia de elemento neutro o identidad, es decir, existe elemento neutro e para dicha ley, tal que

𝒆 ∗ 𝒂 = 𝒂 ∗ 𝒆 = 𝒂 para todo 𝒂 ∈ 𝑮
 Existencia de inverso, es decir, todo elemento 𝑎 𝑑𝑒 𝐺 con respecto a la ley * tiene su inverso 𝑎, 𝑒𝑛 𝐺 , tal que
𝒂 ∗ 𝒂, = 𝒂, ∗ 𝒂 = 𝒆
Si además se verifica que la ley es conmutativa en dicho conjunto, es decir
𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒃 ∗ 𝒂 para todo 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑮
Entonces se dice que (G,*) es un grupo abeliano conmutativo
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Ejemplo

En el conjunto Q de los números racionales se define la ley de composición interna *, mediante

1
𝑎∗𝑏 =𝑎+𝑏− para cualesquiera 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄
2

Determinar si el conjunto Q posee estructura de grupo abeliano con respecto a esta operación

Solución

Para que el conjunto Q tenga estructura de grupo abeliano con respecto a la operación *, tienen que

verificarse las siguientes propiedades:

 Asociativa
1
𝑎∗𝑏 ∗𝑐 = 𝑎∗𝑏 +𝑐−
2
1 1
𝑎∗𝑏 ∗𝑐 = 𝑎+𝑏− +𝑐− = 𝑎+𝑏+𝑐−1 (𝟏)
2 2
1
𝑎∗ 𝑏∗𝑐 =𝑎+ 𝑏∗𝑐 −
2
1 1
𝑎∗ 𝑏∗𝑐 =𝑎+ 𝑏+𝑐− − =𝑎+𝑏+𝑐−1 (𝟐)
2 2
De (1) y (2) se verifica la propiedad asociativa.
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 Existencia de elemento neutro. Se ve que existe un elemento 𝑒 ∈ 𝑄 tal que

𝑎∗𝑒 =𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎 ∈ 𝑄
1
Esto es 𝑎 + 𝑒 − = 𝑎
2

1
𝑒=
2
1
Análogamente se prueba que es neutro a izquierda.
2

 Existencia de inverso. Es decir existe un 𝑎, ∈ 𝑄 tal que

𝑎 ∗ 𝑎, = 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑑𝑒 𝑄
1 1
Esto es 𝑎 + 𝑎, − =
2 2

𝑎, = 1 − 𝑎
De modo análogo se prueba que es inverso a izquierda.
 Conmutativa
1
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 −= 𝑏 + 𝑎 − =𝑏∗𝑎
2
Por tanto el conjunto Q con respecto a la operación *, o el par (Q,*), tiene estructura de grupo abeliano.
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5.3. ESTRUCTURA DE ANILLO

Sea A un conjunto no vacio, en el que se han definido dos leyes de composición interna * y ° respectivamente. Se dice
que el conjunto A junto con estas dos operaciones ∗, ° tiene estructura de anillo, y se representa por (A,*,°), si se
cumplen las siguientes condiciones:
1. El conjunto A posee estructura de grupo abeliano con respecto a la ley *.
Es decir:
𝑨,∗ 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒂𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏𝒐
2. El conjunto A posee estructura de semigrupo con respecto a la segunda ley °.
Es decir:
𝑨, ° 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒔𝒆𝒎𝒊𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐
3. Se cumple además, que en el conjunto A la segunda ley “°” es distributiva respecto a la primera *. Es decir,

𝒂° 𝒃 ∗ 𝒄 = 𝒂°𝒃 ∗ 𝒂°𝒄 ∧ 𝒃 ∗ 𝒄 °𝒂 = 𝒃°𝒂 ∗ 𝒄°𝒂 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨

Si, con respecto a la segunda operación ° , la ley es conmutativa, el anillo (A,*,°) se denomina anillo conmutativo, y si
existe elemento neutro o identidad respecto a la segunda ley ° entonces se denomina anillo con identidad o unitario.
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Ejemplo

En el conjunto Z de los números enteros se definen las operaciones de la suma “+” y producto “.” Que son
habituales

Cuál es la estructura que define a Z?

Solución

En primer lugar, estudiemos las propiedades que cumplen la operación “+” en el conjunto Z.

 Asociativa. Se cumple esta propiedad, pues

𝑎+𝑏 +𝑐 = 𝑎+ 𝑏+𝑐 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍
 Existencia de elemento neutro. El neutro para la operación suma “+” en el conjunto Z es:
𝑎+𝑒=𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒 = 0
 Existencia del inverso. Para todo 𝑎 ∈ 𝑍, existe otro −𝑎 ∈ 𝑍 tal que
𝑎 + −𝑎 = 0
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 Conmutatividad. Se cumple esta propiedad, ya que

𝑎+𝑏 =𝑏+𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍
Luego el conjunto Z con respecto a la operación suma (Z,+) tiene estructura de grupo abeliano.
Ahora estudiemos las propiedades que presenta la multiplicación en el conjunto Z.
 Asociativa. Si cumple, ya que
𝑎∙𝑏 ∙𝑐 = 𝑎∙ 𝑏∙𝑐 ↔ 𝑎𝑏𝑐 = 𝑎𝑏𝑐
 Existencia de elemento neutro. Se cumple esta propiedad porque:
Por tanto el conjunto Z con respecto a la multiplicación (Z,∙) tiene estructura de semigrupo conmutativo.
Finalmente comprobemos que la segunda operación es distributiva con respecto a la primera. Esto es,
que se verifican:
𝑎∙ 𝑏+𝑐 = 𝑎∙𝑏+𝑎∙𝑐
𝑏+𝑐 ∙𝑎 = 𝑏∙𝑎+𝑐∙𝑎
Para cualesquiera 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍
En consecuencia, el conjunto Z con las operaciones de la suma y el producto (Z,+,∙) tiene estructura de
anillo conmutativo con identidad.
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5.4. ESTRUCTURA DE CUERPO

Sea K un conjunto no vacío en el que se han definido dos operaciones “*” y “ ° ”. Se dice que el
conjunto K junto con estas dos leyes de composición interna, tiene estructura de cuerpo y se
representa por (K,*,°), si se cumplen las siguientes condiciones:
1. Con respecto a la ley *, el conjunto K tiene estructura de grupo abeliano. Esto es
𝑲,∗ 𝒆𝒔 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒂𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏𝒐
2. Con respecto a la ley °, el conjunto K, menos el neutro de la primera ley, tiene estructura de grupo
abeliano. Es decir:
𝑲 − 𝒆 ,° 𝒆𝒔 𝒈𝒓𝒖𝒑𝒐 𝒂𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏𝒐
Donde e es el neutro de la primera ley *.
3. La segunda ley “° ” es distributiva con respecto a la primera * en el conjunto K.
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Ejemplo

Sea 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅Τ𝑥 = 𝑎 − 𝑏 3 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑄

Determinar si (A,+,⋅) es un cuerpo

Solución

En primer lugar, comprobaremos si las operaciones suma “+” y multiplicación “⋅” son leyes de composición
interna en A. Para esto se precisa que la suma y multiplicación de dos números cualesquiera del conjunto A de
como resultado otro elemento de A.
Esto es, sean 𝑥 = 𝑎 − 𝑏 3 , 𝑦 = 𝑐 − 𝑑 3 ∈ 𝐴
Entonces
𝑥+𝑦= 𝑎−𝑏 3 + 𝑐−𝑑 3 = 𝑎+𝑐 − 𝑏+𝑑 3 ∈𝐴
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑎 − 𝑏 3 ∙ 𝑐 − 𝑑 3 = 𝑎𝑐 + 3𝑏𝑑 − 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 3 ∈𝐴

Luego, + y ∙ son leyes de composición interna en A.

Ahora, estudiemos las propiedades que cumplen la operación “+” en el conjunto A.

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 Asociativa. Sean 𝑥 = 𝑎 − 𝑏 3 , 𝑦 = 𝑐 − 𝑑 3 , 𝑧 =𝑓−𝑔 3 ∈𝐴

(𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑎 − 𝑏 3 + 𝑐 − 𝑑 3 + 𝑓 − 𝑔 3

𝑥+𝑦 +𝑧 = 𝑎−𝑏 3+ 𝑐−𝑑 3+𝑓−𝑔 3 = 𝑥+ 𝑦+𝑧

 Existencia de elemento neutro. Existe 𝑒 ∈ 𝐴, tal que

𝑥+𝑒 =𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒 = 0+0 3

 Existencia de inverso. Para todo 𝑥 ∈ 𝐴, existe otro 𝑥 , ∈ 𝐴, tal que

𝑥 + 𝑥, = 𝑒

Entonces 𝑥 , = − 𝑎 − 𝑏 3 = −𝑎 + 𝑏 3

 Conmutativa. Para 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 se tiene

𝑥+𝑦 =𝑎−𝑏 3+𝑐−𝑑 3 =𝑐−𝑑 3+𝑎−𝑏 3 =𝑦+𝑥

Luego el conjunto A con respecto a la operación “+” (A,+) tiene estructura de grupo abeliano.
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Ahora estudiemos las propiedades que presenta la multiplicación en el conjunto A.

 Asociativa. El producto en A es asociativa, por ser A un subconjunto de R, donde se sabe que la multiplicación es asociativa.

 Existencia de elemento neutro. Si existe 𝑒 ∈ 𝐴 , tal que

𝑎−𝑏 3 ∙𝑒 = 𝑎−𝑏 3 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒=1−0 3

 Existencia del inverso. Para todo 𝑥 ∈ 𝐴, existe otro 𝑥 −1 ∈ 𝐴, tal que

𝑥 ∙ 𝑥 −1 = 𝑒

𝑎 − 𝑏 3 𝑥 −1 = 1 − 0 3

Entonces

1 𝑎+𝑏 3 𝑎 −𝑏
𝑥 −1 = = = − 3
𝑎−𝑏 3 𝑎2 + 3𝑏2 𝑎2 + 3𝑏2 𝑎2 + 3𝑏2

En donde 𝑎 𝑦 𝑏 son distintos de cero.

Conmutativa. El producto en A es conmutativo, por ser A un subconjunto de R, en donde la multiplicación es ley conmutativa.

Por tanto, el conjunto A, menos el neutro aditivo, con respecto a la multiplicación (A-{0}, ∙) tiene estructura de grupo abeliano.
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Finalmente, comprobemos que el producto es distributivo con respecto a la suma. Consideremos 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴.

𝑥∙ 𝑦+𝑧 = 𝑎−𝑏 3 ∙ 𝑐−𝑑 3+𝑓−𝑔 3 = 𝑎−𝑏 3 𝑐 + 𝑓 − (𝑑 + 𝑔) 3

𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 𝑐 + 𝑓 + 3𝑏 𝑑 + 𝑔 − 𝑏 𝑐+𝑓 +𝑎 𝑑+𝑔 3 (𝟏)

𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 = 𝑎 − 𝑏 3 𝑐 − 𝑑 3 + (𝑎 − 𝑏 3)(𝑓 − 𝑔 3)

𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 = 𝑎𝑐 + 3𝑏𝑑 − 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 3 + 𝑎𝑓 + 3𝑏𝑔 − (𝑏𝑓 + 𝑎𝑔) 3

𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 = 𝑎 𝑐 + 𝑓 + 3𝑏 𝑑 + 𝑔 − 𝑏 𝑐+𝑓 +𝑎 𝑑+𝑔 3 (𝟐)

De (1) y (2) resulta 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧

En consecuencia, el conjunto A con las operaciones de la suma y el producto (A,+,∙) tiene estructura de cuerpo.