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    Leyes de Exponentes

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    Anonymous 7UNlCjz
    1. La potenciación consiste en multiplicar un número por sí mismo una cantidad de veces especificada por el exponente. Se definen las potencias para números naturales usando inducción matemática. 2. Se presentan propiedades importantes de las potencias como las leyes de exponentes y la definición de potencias con exponentes enteros y racionales. 3. Finalmente, se introducen las raíces como la operación inversa a la potenciación y se definen raíces de números negativos.

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    Leyes de Exponentes

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    1. La potenciación consiste en multiplicar un número por sí mismo una cantidad de veces especificada por el exponente. Se definen las potencias para números naturales usando inducción matemática. 2. Se presentan propiedades importantes de las potencias como las leyes de exponentes y la definición de potencias con exponentes enteros y racionales. 3. Finalmente, se introducen las raíces como la operación inversa a la potenciación y se definen raíces de números negativos.

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    Ejercicios

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    1. La potenciación consiste en multiplicar un número por sí mismo una cantidad de veces especificada por el exponente. Se definen las potencias para números naturales usando inducción matemática. 2. Se presentan propiedades importantes de las potencias como las leyes de exponentes y la definición de potencias con exponentes enteros y racionales. 3. Finalmente, se introducen las raíces como la operación inversa a la potenciación y se definen raíces de números negativos.

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    Leyes de Exponentes

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    1. La potenciación consiste en multiplicar un número por sí mismo una cantidad de veces especificada por el exponente. Se definen las potencias para números naturales usando inducción matemática. 2. Se presentan propiedades importantes de las potencias como las leyes de exponentes y la definición de potencias con exponentes enteros y racionales. 3. Finalmente, se introducen las raíces como la operación inversa a la potenciación y se definen raíces de números negativos.

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    de 7

    at

    eU
    P

    N
    iv
    e

    M
    iv
    ee
    n

    at
    eU
    P

    P
    at
    eU

    Potenciacion

    Basicamente, la potenciacion consiste en multiplicar el mismo numero cierta cantidad de veces.


    Para enteder esto damos la siguiente definicion de exponente natural.

    iv
    ee
    n

    Sea b R. Definimos las potencias de b de la siguiente forma


    b1 = b

    n N, [ bn+1 = bn b ].

    Ejemplo 32. Listemos las potencias de 2:


    25 = 24 2 = 32

    22 = 21 2 = 4

    26 = 25 2 = 64

    23 = 22 2 = 8

    27 = 26 2 = 128

    24 = 23 2 = 16

    28 = 27 2 = 256

    iv
    ee
    n

    M
    at
    eU

    21 = 2

    at
    eU

    En este caso b recibe el nombre de base y n el exponente.

    29 = 28 2 = 512
    210 = 29 2 = 1024
    211 = 210 2 = 2048
    212 = 211 2 = 4096

    Ejemplo 33. Listemos algunas potencias de 2:

    (2)3 = 8

    31

    (2)4 = 16

    (2)2 = 4

    (2)1 = 2

    at
    eU

    Definicion 24 (Exponente natural).

    En esta clase daremos una definicion formal sobre potenciacion, basado en el Prncipio de
    Induccion Matematica (que se estudiara posteriormente en el curso, Matematicas I).

    Leyes de exponentes

    at
    e

    n
    Clase

    at
    eU
    P

    N
    iv
    e

    at
    e

    M
    at
    eU
    P

    Propiedades.

    iv
    ee
    n

    Sea b R y n N. Siempre ocurre que


    (b)2n = b2n

    De este ejemplo verifica una propiedad que es y sera muy usada en adelante. Esta propiedad nos
    dice que todo numero elevado a un exponente par debe ser no negativo ( 0). Pero si el exponente
    es impar entonces el resultado debe tener el mismo signo que la base.

    (b)2n1 = b2n1

    30
    1
    =
    4
    4

    3
    3
    = =3
    0
    4
    1

    Observacion. No esta definida la expresion 00 . Por ejemplo, (1 + 1 2)0 no esta definida.

    Continuando con nuestra extension de potenciacion a los enteros, Z, damos ahora la definicion de
    exponente entero negativo.

    Sea b R {0} y n N. Definimos bn =

    1
    .
    bn

    at
    eU

    Definicion 26 (Exponente entero negativo).

    iv
    ee
    n

    M
    at
    eU

    Ejemplo 35. Usando las propiedades de multiplicacion de racionales tenemos


     1
    32
    1
    32
    4
    3
    4
    =
    =
    =
    1
    4
    36
    4
    9
    4
    3

    32

    As, hemos completado nuestra definicion de potenciacion con exponentes enteros. A continuacion, daremos algunas propiedades importantes por usar y que luego seran extendidas.

    at
    eU

    Ejemplo 34.
     0
    3
    =1
    4

    iv
    ee
    n

    Sea b R {0}, se define b0 = 1.

    Definicion 25 (Exponente cero).

    at
    eU

    Nuestro siguiente paso es extender nuestra definicion de potenciacion a los enteros, Z. Para
    este fin damos a continuacion la definicion de exponente cero.

    iv
    ee
    n

    at
    eU
    P

    (a b)n = an bn , potencia de un producto.

    bm bn = bm+n , producto de bases iguales.

    Sean a, b R {0} y m, n Z. Se cumple las siguientes:

    (bn )m = (bm )n = bmn , potencia de una potencia.


    m

    2n2 23n = 2n2+3n = 2.

    at
    eU

    Ejemplo 36. Usando las propiedades de producto de bases iguales, se tiene que

    bn = b(n ) , exponente potencia.

    Ejemplo 37 (Division de bases iguales). Sean b R {0} y m, n N. Se cumple que

    En efecto, pues

    iv
    ee
    n

    bm
    1
    = bm n = bm bn = bmn
    n
    b
    b
    la u ltima igualdad se sigue de la propiedad del producto de bases iguales.

    at
    eU

    Ejemplo 38 (Potencia de una division). Sean a, b R {0} y n N. Se cumple que


     a  n an
    = n.
    b
    b

    iv
    ee
    n

    M
    at
    eU

    Ejemplo 40.

    247 155
    (3 23 )7 (3 5)5
    37 221 35 55
    312 221 55
    =
    =
    =
    = 24 = 16.
    612 105
    (2 3)12 (2 5)5
    212 312 25 55
    217 312 55

    33

    23 34 5
    23 33 3 5
    63 3 5
    =
    =
    = 6.
    15 62
    3 5 62
    3 5 62

    Ejemplo 39.

    En efecto, primero observemos que 1 = 1n para cualquier n N. Ahora si b R {0} entonces


    
    n
     n
    1
    1
    n
    n
    1=1 = b
    =b
    b
    b
     n
    1
    1
    de donde deducimos que
    = n . Finalmente
    b
    b
    n
     n
     a n 
    1
    1
    1
    an
    n
    = a
    =a
    = an n = n .
    b
    b
    b
    b
    b

    bm
    = bmn .
    bn

    at
    eU

    at
    eU
    P

    N
    iv
    e

    at
    e

    Propiedades.

    iv
    ee
    n

    at
    eU
    P

    Sea a > 0 un numero real y m, n Z con n 6= 0 definimos a n como el u nico real r > 0
    tal que
    am = r n .

    Definicion 27.

    Propiedades.

    at
    eU

    En el caso que n = 2, se llama frecuentemente raz cuadrada y se denota

    r = a.

    Ejemplo 41. La raz cuadrada de 4 es 2. As 4 = 2.

    mn

    am = ( n a)m

    a=

    at
    eU


    ab = n a n b

    n
    a
    a
    =
    n
    b
    b

    iv
    ee
    n

    p
    p

    3
    3
    288 162 =
    25 32 34 2 = 6.

    Observacion. Sea n N. Se define la raz nesima de 0 como 0. Es decir n 0 = 0.

    Ejemplo 42.

    288

    162 =

    iv
    ee
    n

    M
    at
    eU

    r2 = 1.

    Ahora, es natural preguntarse: que pasa con las races de numeros negativos? Para responder a
    tal interrogante, primero recordemos que todo numero elevado a un exponente par es no negativo.
    1
    Luego, el valor de (1) 2 no es real, pues no existe r R tal que

    Por otro lado, si denotamos por r = (1) 3 entonces se debe cumplir que
    r3 = 1

    34

    ademas (1)3 = 1, as podemos decir que r = 1. Esto motiva la siguiente definicion.

    at
    eU

    Sean a, b R+ y m, n Z {0}, se cumplen las siguientes:

    Observacion. Cuando m = 1 decimos que r es la raz nesima de a y es usual usar la siguiente


    notacion para la raz nesima

    r = n a.

    at
    eU
    P

    N
    iv
    e

    at
    e

    Continuando con nuestra extension, ahora presentamos la potenciacion con los numeros racionales, es decir cuando el exponente es un numero racional.

    M
    iv
    ee
    n

    at
    eU
    P

    3
    8 = 3 8 = 2.

    Ejemplo 43.

    xx

    1+x1+x

    = xx

    1+xx x1

    = xx

    1+2x

    = xx

    1+x1+x

    1 x2x

    es:

    = xx

    1 (xx )2

    at
    eU

    Ejemplo 44. Si xx = 2, el valor de la expresion xx

    pierde el sentido de multiplicar cierta cantidad de veces el numero 2; por tal razon, no daremos en
    este curso tal definicion, pero s usaremos las propiedades anteriormente estudiadas con exponentes
    reales.

    Ahora surge una pregunta natural: podemos extender la potenciacion a los reales, es decir que
    los exponentes sean numeros reales? la respuesta dicha interrogante es afirmativa, sin embargo la
    expresion

    2 2

    = x4x = (xx )4 = 16.

    iv
    ee
    n

    Sean b R+ {1} y x, y R se cumple que

    bx = by x = y.

    1. Calcule

    3 32 33 315
    .
    940

    at
    eU

    Ejercicios para la clase

    iv
    ee
    n

    5.1.

    Ejemplo 45. Sea x N tal que (2x+1 )3 = 512. Como 512 = 29 entonces 23(x+1) = 29 . Luego, por
    la Propiedad de inyectividad se deduce que 3(x + 1) = 9, de donde x = 2.
    4
    2
    Ejemplo 46. Sea b R+ {1}, tal que bx 4 = b . Entonces por la Propiedad de inyectividad,
    se tiene que

    x2 4 = 2 x2 = 2 x = 2 x = 2.

    35

    83n+1 43n2
    = 4096 16.
    162n+1

    3. Calcule el valor de n en la siguiente igualdad

    2. De un ejemplo de numeros a, b N distintos tales que ab = ba .

    at
    eU

    Propiedades (Inyectividad).

    Una propiedad que es y sera muy usada es la inyectividad, enunciada a continuacion.

    M
    at
    eU

    Sea b R+ y n N impar, definimos (b) n = b n .

    at
    eU
    P

    N
    iv
    e

    at
    e

    Definicion 28.

    5. Sean x, y R tales que x + y + 2 = 3 xy. Encuentre el valor de


    1
    ! (3xy)(xy)

    y+1

    4 x+1

    iv
    ee
    n

    at
    eU
    P

    x+1

    4 y+1

    ! 12 4
    12 + 48 75
    .

    6. Reducir la expresion 3
    4
    25 + 45 4 400

    40 2x3 + 3 2x+1 + 12 2x2


    .
    22 2x1 2x+2

    iv
    ee
    n

    at
    eU

    1. Determine el valor de k =

    Ejercicios adicionales

    x1
    9
    1
    2. Determine el valor de x si se cumple: 98
    = .
    3

    (xx )24 x24 x(2)4 x24

    = 4, determinar el valor de x

    = 1.

    210x
    .
    x
    222 +1

    4. Sea x R tal que 22 = 5 2x , calcule el valor de


    5. Si x > 0 y x

    2
    1 , si x 6= 1 y

    3. Calcule el valor de

    x

    xx veces

    x veces
    }|
    {
    }|
    { z
    z
    (x x x x)(xx + xx + + xx )

    at
    eU

    x+1

    iv
    ee
    n

    M
    at
    eU

    6. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente igualdad


    ( 
     21 )x7
    4
    1
    1

    = 1692x+4 .
    2
    9

    36

    7. Si a b = 31 y b > 0, calcule el valor de x, si ademas:


    p
    1
    961x = [a2 (31 + b)]3 4 (a 31)3 b

    b = 5 3b. Calcule el valor de ab.

    8. Justifique por que son falsas las siguientes proposiciones:

    a) a R, [ a2 = a].
    h
    i20 +20
    1
    0
    b) 273 + 3(2)
    = 1.

    5.2.

    3 5a

    at
    eU

    7. Sean a, b R tales que a =

    at
    eU
    P

    N
    iv
    e

    at
    e

    4. Sean a, b R cumpliendo que (0.1)a (0.2)b = 20.2 50.3 , calcule el valor de ab.

    n(n+1)

    5n2 1 .

    x sumandos

    Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:


    a) Si x 6= 1 entonces J = 1.
    b) Si x 6= 1 entonces J = x.

    c) Si x 6= 1 entonces J = xx+1 .

    at
    eU

    J=

    2
    x x 2 x3 x x
    .
    x
    x
    x
    x
    x
    | + x + x{z + + x}

    10. Sea x un numero natural y

    iv
    ee
    n

    at
    eU
    P

    v
    u 2n
    u 5 2n+1 + 50n
    u
    n
    t 5n 23 5n+1
    9. Sea n N {1}. Determine el valor de J =

    51 (51 )n

    b) n Z, [ 0n = 0 ].

    Lecturas recomendadas

    5.3.

    iv
    ee
    n

    a) x R, [ x0 = 1 ].

    at
    eU

    1. Fundamentos de Algebra,
    Captulo 2 de Fundamentos de Matematicas Apuntes de estudio
    81, 2015, J. Cotrina, Universidad del Pacfico.

    3. Algebra,
    secciones 1 3, 1 4 (pp. 1829) de Matematicas aplicadas a la Administracion
    y a la Economa, quinta edicion, editorial Prentice Hall, Arya, Lardner y Ibarra.

    37

    iv
    ee
    n

    4. Inecuaciones exponenciales, Captulo 9 (pp.278-280) de Matematica basica, Ediciones Gemar, A. Venero.

    2. Repaso de a lgebra, secciones 0.3 (pp. 913) de Matematica para administracion y economa,
    edicion 12, editorial Pearson, Haeussler, Paul y Wood.

    at
    eU

    11. Justifique por que son falsas las siguientes proposiciones:

    M
    at
    eU

    at
    eU
    P

    N
    iv
    e

    at
    e

    8. Si bxy = a, con b 6= 0, calcular el valor de:


    r
    3a1 b2x + ab2y
    S=
    bx+y

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