Función Inversa: Ciclo Preuniversitario 2021-2

Ciclo Preuniversitario 2021-2
Semana 10.1
TEMA FUNCIÓN INVERSA
FUNCIÓN INVERSA
10.1 1
CONTENIDOS
• Definición.
• Dominio y rango de la inversa.
• Condición necesaria y suficiente.
• Propiedades.
• Determinación gráfica de la
inversa
2
FUNCIÓN INVERSA
Definición. Dada la función 𝑓: 𝐴 → 𝐵,
decimos que esta es invertible si
existe una función 𝑔: 𝐵 → 𝐴 tal que
𝑔 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 y 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝐼𝐵 ,
donde 𝐼𝐴 : 𝐴 → 𝐴 es la función identidad
restringido en 𝐴, e 𝐼𝐵 : 𝐵 → 𝐵 es la
función identidad restringido en 𝐵.
En caso la función 𝑓 sea invertible,La

función 𝑔 es llamada función inversa de
𝑓, esta es única y será denotada por 𝑓 ∗ o
por 𝑓 −1 .
3
FUNCIÓN INVERSA
Ejemplo. Verifique que la inversa de la función
𝑓: 0; +∞ → −∞, 0 , 𝑓 𝑥 = −𝑥 2 es dada por
𝑔: −∞; 0 → [0; +∞⟩, 𝑔 𝑥 = −𝑥.
Solución.
En efecto, tenemos que para cada 𝑥 ∈ 0; +∞ ,
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔 −𝑥 2 = − −𝑥 2 = 𝑥
Y además, para cada 𝑥 ∈ ⟨−∞; 0],
2
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 −𝑥 = − −𝑥 = 𝑥
Entonces 𝐼[0,+∞⟩ = 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝐼⟨−∞,0] = 𝑓 ∘ 𝑔
Por lo tanto, 𝑔 es la función inversa de 𝑓.
Así, 𝑔 = 𝑓 ∗ .
4
De la definición de función inversa, tenemos que
𝑦 = 𝑓 𝑥 ↔ 𝑓 ∗ 𝑓(𝑥) = 𝑓 ∗ (𝑦) = 𝑥
Ejemplo. Determine la función inversa de

𝑓 = { 1; 2 ; 2,4 ; 3; 7 ; (4; 9)}
Solución.
Tenemos que
2=𝑓 1 ↔ 𝑓∗ 2 =1
4=𝑓 2 ↔ 𝑓∗ 4 =2
7=𝑓 3 ↔ 𝑓∗ 7 =3
9=𝑓 4 ↔ 𝑓∗ 9 =4
Por lo tanto,
𝑓 ∗ = { 2; 1 ; 4,2 ; 7; 3 ; (9; 4)}
5
Condicion necesaria y suficiente para la
existencia de la función inversa.
Teorema. Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 admite inversa si,
y solo si 𝑓 es biyectiva.
(⟹) Suponga que 𝑓 tiene inversa 𝑓 ∗ . Así, 𝑓 ∘ 𝑓 ∗ = 𝐼𝐵 y 𝑓 ∗ ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 .
• Veamos que 𝒇: 𝑨 → 𝑩 es sobreyectiva.
Dado 𝑦 ∈ 𝐵 se tiene que 𝑦 = 𝐼𝐵 𝑦 = 𝑓(𝑓 ∗ (𝑦)). Como 𝑓 ∗ : 𝐵 → 𝐴, entonces
𝑓 ∗ 𝑦 ∈ 𝐴, concluimos que ∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃𝑓 ∗ 𝑦 = 𝑥 ∈ 𝐴: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑓 ∗ 𝑦 = 𝑦
Esto último nos dice que la función 𝑓 es sobreyectiva.
• Veamos que 𝒇: 𝑨 → 𝑩 es inyectiva

Dados 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝐴 tales que 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 , luego
𝑓 ∗ 𝑓 𝑥1 = 𝑓 ∗ 𝑓 𝑥2 y entonces 𝐼𝐴 𝑥1 = 𝐼𝐴 𝑥2
Así, 𝑥1 = 𝑥2 . Por tanto, 𝑓 es inyectiva
6
(⟸) Suponga que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es biyectiva. Como 𝑓 es
sobreyectiva
e inyectiva, para cada y ∈ 𝐵, existe un único 𝑥𝑦 ∈ 𝐴 tal que

𝑓 𝑥𝑦 = 𝑦.
Defina 𝑔: 𝐵 → 𝐴 por 𝑔 𝑦 = 𝑥𝑦 .
Sea 𝑥𝑦 ∈ 𝐴 entonces 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑔 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑔 𝑦 = 𝑥𝑦 ,
además
Sea 𝑦 ∈ 𝐵 entonces 𝑓 ∘ 𝑔 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑦 = 𝑦
Por lo tanto, 7
𝑔 ∘ 𝑓 = 𝐼𝐴 y 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝐼𝐵 .
Ejercicio: Sea una función 𝑓: −5, 𝑎 → 𝑏, 𝑐 con regla de correspondencia
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 4 , si 𝑓 es invertible determine el máximo valor que
puede tomar 𝑎 y en ese caso determine 𝑏 y 𝑐.
Si 𝑓 es inversible, entonces es biyectiva. 𝑓 es decreciente ∀𝑥 𝜖

5
−∞, − ,
2
5
ya que su vértice tiene abscisa 𝑥 = − .
2
5
Por lo tanto si 𝑎 > − la función 𝑓 ya no es decreciente, entonces max 𝑎
2
5
es − .
2
5 9
Como 𝑓 es decreciente, 𝑓 −5 = c y 𝑓 − = 𝑏. 𝑐 = 4 y 𝑏 = − .
2 4
8
Ejercicio. Sea 𝑓: −2; 3 → 𝑚; 𝑛 una función con regla de
correspondencia 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, determine el conjunto
de valores que puede tomar 𝑏 para que la función sea
invertible.
Solución: 𝑓 es invertible si la abscisa de su vértice cumple

lo siguiente.
−𝑏 𝑏
≤ −2 ∨ 3 ≤ −
2 2
𝑏≥4 ∨ −6 ≥ 𝑏
9
Observacion: Toda función inyectiva con conjunto de
llegada igual a su Rango es invertible.
Por ejemplo:
• 𝑓: −3, 5 → 2, 10 con 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5.
• 𝑓: ℝ → ℝ con 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 , donde 𝑛 ∈ ℕ y es impar
• ℎ: ൻ−∞, 0] → [0, +∞⟩ con ℎ 𝑥 = 𝑥 𝑛 , donde 𝑛 ∈ ℕ y es

par
• 𝑓: [𝑎, +∞⟩ → [𝑏, +∞⟩ con 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 + 𝑏.
1 5 5𝑥+1
• 𝑔: ℝ − →ℝ− con 𝑔 𝑥 =
2 2 2𝑥−1
𝑐 𝑎 𝑎𝑥−𝑏
• ℎ: ℝ − →ℝ− con ℎ 𝑥 =
𝑑 𝑐 𝑑𝑥−𝑐 10
Dominio y rango de la función inversa
Dada la función invertible 𝑓: 𝐴 → 𝐵, cuya inversa es

𝑓 ∗ : 𝐵 → 𝐴. Tenemos que
𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∗ = 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 𝐵
𝑅𝑎𝑛 𝑓 ∗ = 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐴
Propiedades de la función inversa

Dadas las funciones invertibles 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐶,
• 𝑔 ∘ 𝑓 ∗ = 𝑓 ∗ ∘ 𝑔∗
• 𝑓∗ ∗ = 𝑓
• 𝑓 es creciente ⇒ 𝑓 ∗ es creciente.
• 𝑓 es decreciente ⇒ 𝑓 ∗ es decreciente.
11
Ejemplo. Dadas las siguientes funciones invertibles: 𝑓: −3, 5 → −10, 22
𝑔: −3, 4 → −11, 10 donde 𝑔 𝑥 = −3𝑥 + 1 y 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 2. Determinar 𝑓 ∗ y
𝑔∗
Solución:
Como 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅𝑎𝑛𝑓 ∗ y 𝐷𝑜𝑚𝑔 = 𝑅𝑎𝑛𝑔∗ entonces
𝑓 ∗ : −10, 22 → −3, 5 y 𝑔∗ : −11, 10 → −3, 4
Determinamos 𝑓 ∗ (𝑥) y 𝑔∗ 𝑥 : 𝑔 𝑥 = 𝑦 = −3𝑥 + 1

𝑓 𝑥 = 𝑦 = 4𝑥 + 2 −𝑦 + 1
=𝑥
𝑦−2 3
=𝑥 −𝑦 + 1
4 = 𝑔∗ 𝑦
𝑦−2 3
= 𝑓∗ 𝑦 Cambiamos 𝑦 por 𝑥
4
Cambiamos 𝑦 por 𝑥 ∗
−𝑥 + 1
𝑔 𝑥 =
∗
𝑥−2 3
𝑓 𝑥 = 12
4
En este ejemplo se observa que:
• Al ser 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 2 una función creciente

∗ 𝑥−2
su inversa 𝑓 𝑥 = también es una función creciente.
4
• Al ser 𝑔 𝑥 = −3𝑥 + 1 una función decreciente

−𝑥+1
su inversa 𝑔∗ 𝑥 = también es una función decreciente.
3
13
Ejemplo. Sea 𝑓: 𝐴 → 1,3 y 𝑔: −∞, 0 → 0, +∞ dos funciones biyectivas,
donde 𝑓 ∗ 𝑥 = 2𝑥 − 5 y 𝑔 𝑥 = −𝑥 . Determine 𝑓 ∘ 𝑔 ∗
Solución: 𝑔 y 𝑓 son invertibles, entonces 𝑓 ∘ 𝑔 ∗ = 𝑔∗ ∘ 𝑓 ∗

dom 𝑓 ∗ = 1,3 y, entonces Dom(𝑔∗ ∘ 𝑓 ∗ ) = Dom𝑓 ∗ ∩ 𝑥 Τ2 𝑥 − 5 ∈ 0, ∞
5 5
= 1,3 ∩ , +∞ = ,3
2 2
Luego 𝑔∗ ∘ 𝑓 ∗ 𝑥 = 𝑔∗ 𝑓 𝑥 = − 2𝑥 − 5 2
14
Ejemplo. Sea 𝑓 = 2; 3 , 5; 6 , 4,10 , determine el valor de verdad de
las siguientes afirmaciones:
I. 𝑓 ∗ existe y es monótona.
II. 2𝑓 ∗ 6 = 2𝑓 ∗ 6
RPTA: FF
15
Gráfica de la función inversa
Sean 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ. Dada la función invertible 𝑓: 𝐴 → 𝐵, cuya
inversa es 𝑓 ∗ : 𝐵 → 𝐴. Tenemos que
𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓 ↔ 𝑦, 𝑥 ∈ 𝑓 ∗
Es decir, y = 𝑓 𝑥 ↔ 𝑓 ∗ 𝑦 = 𝑥.
16
Ejercicio: A continuación se muestra la gráfica de la función creciente
𝑓: −5,3 → 2,7 , determine la gráfica de 𝑓 ∗ 𝑥
3,7
0,2
−4,0
−5, −2
0,4
−7,3 7,3
RPTA:
−2,0 2,0
17
Ejercicio: A continuación se muestran las gráficas de las funciones
monótonas 𝑓 y 𝑔. Determine el bosquejo de la gráfica de 𝑓 ∗ ∘ 𝑔,
indicando Dominio y Rango.
10,7
1,7
𝑓 𝑔
2,1
8,1
2,8
𝑓∗ ∘ 𝑔
RPTA: 10,1
18
Ejemplo. Dada la función 𝑓 definida por:
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟖 𝒙 − 𝟐 + 𝟓, 𝒙𝝐 𝟐; 𝟔
Determine 𝒇∗ .
Solución. Tenemos que

𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟐 + 𝟖 𝒙 − 𝟐 + 𝟏𝟔 − 𝟗
𝟐
𝒇 𝒙 = 𝒙−𝟐+𝟒 −𝟗
1. 𝑫𝒐𝒎 𝒇∗
𝑔 𝑥 = 𝑥 y ℎ 𝑥 = 8 𝑥 − 2 son funciones crecientes, entonces
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 8 𝑥 − 2 + 5 es una función creciente.
Por lo tanto 𝑹𝒂𝒏 𝒇 = 𝑓 2 , 𝑓 6 = 7,27 = 𝑫𝒐𝒎 𝒇∗
19
2.- 𝒇∗ 𝒙
Sea
𝟐
𝒚= 𝒙−𝟐+𝟒 −𝟗
𝟐
𝒚+𝟗= 𝒙−𝟐+𝟒
𝒙−𝟐 = 𝒚+𝟗 −𝟒
Despejando 𝑥, tenemos que

𝟐
𝒙= 𝒚+𝟗 −𝟒 +𝟐
Finalmente, intercambiando 𝑥 por 𝑦,
𝟐
𝒇∗ 𝒙 = 𝒙+𝟗 −𝟒 +𝟐
∴ 𝒇∗ 𝒙 = 𝒙 + 𝟐𝟕 − 𝟖 𝒙 + 𝟗; 𝒙𝝐 𝟎; 𝟕
20
Ejemplo. Dada la función 𝑓: [−4; 4] → B biyectiva,
definida por 𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟗, Determine 𝒇∗ .
Solución.
𝑥2 − 9
RPTA: 𝑓 ∗: 1,9 → −4,4 𝑓 ∗𝑥 =
2𝑥
21
Ejemplo. Dada una función afín 𝒇, tal que 𝒇 𝟏 = 𝟒
y 𝒇∗ 𝟏 = 𝟎. Determine 𝒇∗ 𝟕 . Determine 𝒇∗ .
Solución.
𝑥 1
RPTA: 𝑓∗ 7 =2 𝑓∗ = −
3 3
22

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En caso la función 𝑓 sea invertible,La

Ejemplo. Determine la función inversa de

• Veamos que 𝒇: 𝑨 → 𝑩 es inyectiva

e inyectiva, para cada y ∈ 𝐵, existe un único 𝑥𝑦 ∈ 𝐴 tal que

Si 𝑓 es inversible, entonces es biyectiva. 𝑓 es decreciente ∀𝑥 𝜖

Solución: 𝑓 es invertible si la abscisa de su vértice cumple

• 𝑓: ℝ → ℝ con 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 , donde 𝑛 ∈ ℕ y es impar

• ℎ: ൻ−∞, 0] → [0, +∞⟩ con ℎ 𝑥 = 𝑥 𝑛 , donde 𝑛 ∈ ℕ y es

• 𝑓: [𝑎, +∞⟩ → [𝑏, +∞⟩ con 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 + 𝑏.

Dada la función invertible 𝑓: 𝐴 → 𝐵, cuya inversa es

Propiedades de la función inversa

𝑓 ∗ : −10, 22 → −3, 5 y 𝑔∗ : −11, 10 → −3, 4

Determinamos 𝑓 ∗ (𝑥) y 𝑔∗ 𝑥 : 𝑔 𝑥 = 𝑦 = −3𝑥 + 1

• Al ser 𝑓 𝑥 = 4𝑥 + 2 una función creciente

• Al ser 𝑔 𝑥 = −3𝑥 + 1 una función decreciente

Solución: 𝑔 y 𝑓 son invertibles, entonces 𝑓 ∘ 𝑔 ∗ = 𝑔∗ ∘ 𝑓 ∗

Solución. Tenemos que

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 8 𝑥 − 2 + 5 es una función creciente.

Por lo tanto 𝑹𝒂𝒏 𝒇 = 𝑓 2 , 𝑓 6 = 7,27 = 𝑫𝒐𝒎 𝒇∗

Despejando 𝑥, tenemos que

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