Tarea2 ElmerJavierOlayaOspina

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA. UNAD.
ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN. ECEDU.

APORTES TAREA 2
9. Sea el conjunto 𝐴 = {1, −1, 𝑥, −𝑥, 𝑥 2 , −𝑥 2 }; siendo 𝑥 3 = 1, 𝑥 ≠ 1 comprobar si es

grupo para el producto y, en caso positivo, determinar si es cíclico.
Para comprobar, si el conjunto dado A es grupo con la operación del producto (𝐴,∗),
debemos probar cada una de las 3 condiciones necesarias para que lo sea. En general, se
dice que:
Si (𝐴,∗) es un grupo, entonces:
- Si 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 ∶ 𝒂 ∗ (𝒃 ∗ 𝒄) = (𝒂 ∗ 𝒃) ∗ 𝒄
Efectivamente, el producto cumple con la propiedad asociativa.
- Existe un elemento identidad 𝒆 en 𝑨, de modo que ∀𝒂 ∈ 𝑨: 𝒂 ∗ 𝒆 = 𝒆 ∗ 𝒂 = 𝒂

Para el producto, el elemento identidad es 1. Todo elemento del conjunto A al ser
operado mediante la multiplicación con 1 da como resultado el mismo elemento.
- Cada elemento de A es invertible. Es decir, ∀𝒂 ∈ 𝑨, ∃𝒂−𝟏 / 𝒂 ∗ 𝒂−𝟏 = 𝒆

Para probar esta condición, tengamos en cuenta que 𝑥 3 = 1, 𝑥 ≠ 1. Si
construimos la tabla del grupo (𝐴,∗):
* 1 −1 𝑥 −𝑥 𝑥2 −𝑥 2
1 1 −1 𝑥 −𝑥 𝑥2 −𝑥 2
−1 −1 1 −𝑥 𝑥 −𝑥 2 𝑥2
𝑥 𝑥 −𝑥 𝑥2 −𝑥 2 1 −1
−𝑥 −𝑥 𝑥 −𝑥 2 𝑥2 −1 1
𝑥2 𝑥2 −𝑥 2 1 −1 𝑥 −𝑥
−𝑥 2 −𝑥 2 𝑥2 −1 1 −𝑥 𝑥
La tabla anterior fue construida colocando en consideración la cualidad dada para

el grupo 𝑥 3 = 1. Observemos que, por ejemplo, para el producto −𝑥 2 ∗ 𝑥 2 este es
posible reescribirlo como:
−𝑥 2 ∗ 𝑥 2 = (−𝑥 ∗ 𝑥) ∗ 𝑥 2
Sabiendo que la operación producto cumple con la propiedad asociativa (primera

condición) es posible plantearlo de esta forma para obtener finalmente:
(−𝑥 ∗ 𝑥) ∗ 𝑥 2 = −𝑥 ∗ (𝑥 ∗ 𝑥 2 ) Propiedad de asociación del producto

= −𝑥 ∗ 𝑥 3 Producto de potencias de igual base
= −𝑥 ∗ 1 Definición del grupo
= −𝑥
ELMER JAVIER OLAYA OSPINA

Curso de Álgebra Abstracta. Tarea 2
Observe en la tabla que, para cada uno de los elementos del conjunto A, existe
otro elemento dentro del conjunto de modo que al multiplicarlos se obtiene el
elemento neutro, es decir, 1. Basta con mirar que en cada una de las filas.
Por todo lo anterior se puede concluir entonces que el conjunto A asociado a la operación
producto si forma un grupo. Ahora bien, sabiendo que es un grupo, determinemos si este
es cíclico:
Definición:
Un grupo (𝐺,∗) es cíclico si ∃𝑎 ∈ 𝐺| 〈𝑎〉 = 𝐺. A 〈𝑎〉 se le llama generado de G por 𝑎 y
se define como:
〈𝑎〉 = {𝑎𝑛 : 𝑛 ∈ ℤ}
Para nuestro caso específico note que para el elemento −𝑥 se tiene que cada potencia
entera con mínimo 0, proporciona cada elemento del conjunto 𝐴:
(−𝑥)0 = 𝟏
(−𝑥)1 = −𝒙
(−𝑥)2 = −𝑥 ∗ −𝑥 = 𝒙𝟐
(−𝑥)3 = −𝑥 ∗ −𝑥 ∗ −𝑥 = −𝑥 3 = −𝟏
(−𝑥)4 = −𝑥 3 ∗ −𝑥 = −1 ∗ −𝑥 = 𝒙
(−𝑥)5 = −𝑥 3 ∗ (−𝑥)2 = −1 ∗ 𝑥 2 = −𝒙𝟐
(−𝑥)6 = (−𝑥)3 ∗ (−𝑥)3 = −1 ∗ −1 = 𝟏
Se dice entonces que el grupo (𝑨,∗) es cíclico ya que es generado por 〈−𝑥〉 = 𝐴. Se
tiene además que −𝑥 2 también genera a A (〈−𝑥 2 〉 = 𝐴).
10. Sea 𝐺 un conjunto dotado de una operación binaria interna ∗ asociativa, la cual posee
elemento identidad 𝑒. Sea 𝑎 ∈ 𝐺, se dice que:
I. 𝑎 posee un inverso a la izquierda (respecto de 𝑒) si existe 𝑏 ∈ 𝐺 tal que 𝑏 ∗ 𝑎 =

𝑒.
II. 𝑎 posee un inverso a la derecha (respecto de 𝑒) si existe 𝑐 ∈ 𝐺 tal que 𝑎 ∗ 𝑐 = 𝑒.
Demuestre que, si 𝑎 posee un inverso a la izquierda 𝑏 y un inverso a la derecha 𝑐,

entonces 𝑏 = 𝑐.
Se sabe por definición del grupo que:
𝑏∗𝑎 = 𝑒
Sabiendo que 𝑎 tiene inverso a la derecha 𝑐 podemos operar la igualdad como:
𝑏∗𝑎∗𝑐 = 𝑒∗𝑐
Aplicando asociatividad de la operación se tiene:

𝑏 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐) = 𝑒 ∗ 𝑐
Sabiendo que 𝑐 es inverso a la derecha de 𝑎 y siendo 𝑒 el elemento neutro se obtiene:
𝑏∗𝑒 = 𝑐
Finalmente, al ser 𝑏 elemento de 𝐺 y al operarse con el elemento neutro del grupo se

obtiene:
𝑏=𝑐


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9. Sea el conjunto 𝐴 = {1, −1, 𝑥, −𝑥, 𝑥 2 , −𝑥 2 }; siendo 𝑥 3 = 1, 𝑥 ≠ 1 comprobar si es

Si (𝐴,∗) es un grupo, entonces:

- Existe un elemento identidad 𝒆 en 𝑨, de modo que ∀𝒂 ∈ 𝑨: 𝒂 ∗ 𝒆 = 𝒆 ∗ 𝒂 = 𝒂

- Cada elemento de A es invertible. Es decir, ∀𝒂 ∈ 𝑨, ∃𝒂−𝟏 / 𝒂 ∗ 𝒂−𝟏 = 𝒆

La tabla anterior fue construida colocando en consideración la cualidad dada para

Sabiendo que la operación producto cumple con la propiedad asociativa (primera

(−𝑥 ∗ 𝑥) ∗ 𝑥 2 = −𝑥 ∗ (𝑥 ∗ 𝑥 2 ) Propiedad de asociación del producto

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I. 𝑎 posee un inverso a la izquierda (respecto de 𝑒) si existe 𝑏 ∈ 𝐺 tal que 𝑏 ∗ 𝑎 =

Demuestre que, si 𝑎 posee un inverso a la izquierda 𝑏 y un inverso a la derecha 𝑐,

Aplicando asociatividad de la operación se tiene:

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Sabiendo que 𝑐 es inverso a la derecha de 𝑎 y siendo 𝑒 el elemento neutro se obtiene:

Finalmente, al ser 𝑏 elemento de 𝐺 y al operarse con el elemento neutro del grupo se

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