Mathematics">
Tema 0 - Aritmética y Fundamentos Del Álgebra
Tema 0 - Aritmética y Fundamentos Del Álgebra
Tema 0 - Aritmética y Fundamentos Del Álgebra
Aritmética y
fundamentos del
álgebra
UNIVIOR
1
1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE ARITMÉTICA Y
ÁLGEBRA
Para los alcances del curso de física matemática, nos interesa conocer la
aritmética con el objeto de estudiar los números y conocer las propiedades
de las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta,
multiplicación y división, para llegar al manejo y dominio de expresiones
generalizadas de estos y entrar en el campo del álgebra.
La palabra álgebra proviene del ilm al-jabr w´al muqabala, que es el título
de un libro escrito en el siglo IX por el matemático árabe Al Juarismi. El título
se ha traducido como la ciencia de la reposición y reducción, que
significa trasponer y combinar términos semejantes (de una ecuación).
1 Swokowski – Cole. Algebra y trigonometría con geometría analítica. Décima edición. Thomson
learning.
2
Indudablemente usted está familiarizado con muchas de las propiedades
básicas y operaciones realizadas entre números. Para el curso nos
limitaremos al uso de números reales (que se pueden representar en la
recta numérica), y a conocer algunas propiedades importantes que se
pueden utilizar para el manejo de letras a las que llamaremos variables,
que de ahora en adelante servirán para representar cualquiera de los
números reales.
Para la multiplicación: b x c = c x b
Para la multiplicación: 5 x 6 = 6 x 5
3
2.2 PROPIEDAD ASOCIATIVA
Para la multiplicación: (a x b) x c = a x (b x c)
Para la multiplicación: (2 x 3) x 6 = 2 x (3 x 6)
Utilizando variables c x (a + b) = c x a + c x b
(b + c) x a = a x b + a x c
Utilizando números 2 x (3 + 9) = 2 x 3 + 2 x 9
(9 + 2) x 3 = 3 x 9 + 3 x 2
4
2.4 PROPIEDADES DE LOS ELEMENTOS DE IDENTIDAD
Para fines del curso y a manera de repaso solo se listan las propiedades
que indudablemente son ya de su conocimiento:
a. Inverso aditivo a + ( -a ) = 0; 5 + ( -5 ) = 0
b. Inverso multiplicativo o recíproco
c. *Sustracción a – b = a + (-b)
- (- a) = a
- (a + b) = (-a) + (-b)
3. POTENCIAS Y RADICALES
3.1 POTENCIAS
5
Hay algunos números especiales, cuando aparecen como exponentes
tienen formas especiales de nombrarlos, como el 2, se refiere a este como
“al cuadrado” o el 3, que le corresponde “al cubo”.
Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el
exponente:
Por ejemplo: .
6
3.1.1 LEYES DE LOS EXPONENTES
Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado
la unidad (1), puesto que:
Potencia de exponente 1
Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:
Ejemplo:
Ejemplos:
7
División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una
potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de
restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:
Ejemplo:
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los
factores elevado al mismo exponente, es decir:
Ejemplo:
(9 . 3)2 = 92 . 32 = 81 x 9
Ejemplo:
(92)3 = 9(2x3)= 96
8
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los
números elevado al mismo exponente.
2 Gentile, Enzo R. Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires.
9
3.2 RADICALES
.
Para todo n natural, con a y b pertenecientes al conjunto de los reales
positivos, se tiene la equivalencia:
La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se
escribe sin superíndice: en vez de . La raíz de orden tres se
llama raíz cúbica.
Ejemplo
= .
10
Raíz de un producto
;
Con n distinto de cero (0).
Ejemplo
= =
= ;
Con n distinto de cero (0).
Raíz de un cociente
Ejemplo
=
Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a
potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.
11
=
Ejemplo
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se
conserva el radicando.
= ;
con n y m distintos de cero (0).
Ejemplo
3Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Editorial
Santillana.
12
3.3 POTENCIAS DE BASE 10 Y NOTACIÓN CIENTÍFICA
Ejemplos:
13
Como ejemplo pensemos en el número 1944.
• 1 x 103 = 1,000 +
• 9 x 102 = 900 +
• 4 x 101 = 40 +
• 4 x 100 = 4
De forma tradicional:
La masa del sol es 1989100000000000000000000000000 kg
Con notación científica:la masa del sol es 1.9891 x 1030 kg
De forma tradicional:
El tamaño de una plaqueta es aproximadamente 0.0000025 m
Note que cuando el punto decimal se corre hacia la derecha, el signo del
exponente de la potencia de diez cambia a negativo.
14
4. ÁLGEBRA ELEMENTAL
Para iniciar en el estudio del álgebra, es importante conocer y dominar los
principios de la aritmética que anteriormente se plantearon, así como la
correcta aplicación de las leyes de las potencias y radicales. El álgebra
pretende dar un uso general de la aritmética al utilizar expresiones,
llamadas “términos”.
• Signo (+ o -)
15
Figura 4. Partes de un polinomio
Ejemplo
16
4.1.2 RESTA DE POLINOMIOS
17
• Ejemplo: Multiplique (2x+3) (4x+5)
18
Figura 5. Desarrollo de una división de polinomios
19