UNIDAD IV:

Operaciones Fundamentales en el conjunto de los números naturales (N)

4.1 Operaciones fundamentales en el conjunto de los números naturales

(adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación).

Las 7 operaciones básicas de la Aritmética son:

Suma o adición
Resta o sustracción
Multiplicación o producto
División o cociente
Potenciación
Radicación
Logaritmación

Suma

La operación suma con siste en obtener el número total de

elementos a partir dos o más cantidades.

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el

resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1. Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

2. Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

a + b = b + a
 3. Elemento neutro:

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número

sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

4.Elemento opuesto

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos

como resultado el cero.

a − a = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo

número.

La suma de números naturales no cumple esta propiedad.

Resta

La resta o sustracción es la operación inversa a la suma.

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se

llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo
llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

No es Conmutativa :

a − b ≠ b − a
Multiplicación

Multiplicar dos números consiste en sumar uno de los

factores consigo mismo tantas veces como indica el otro
factor.

a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el

resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado

(a · b) · c = a · (b · c)

2. Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

3. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo

número multiplicado por él da el mismo número.

a · 1 = a

4. Elemento inverso:

Un númer o es inverso del otro si al multiplicarlos

obtenemos como resultado el elemento unidad.
 La suma de números naturales y de enteros no cumple
esta propiedad.

5. Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma

de los productos de dicho número por cada uno de los
sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos

transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

División

La división o cociente es una operación aritmética que

consiste en averiguar cuántas veces un número está contenido
en otro número.

D : d = c

Los términos que intervienen en un cociente se

llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo
llamamos cociente .

Tipos de divisiones

1. División exacta :
 Cuando el resto es cero.

D = d · c

2. División entera :

Cuando el resto es distinto de cero.

D = d · c + r

Propiedades de la división

1. No es Conmutativo :

a : b ≠ b : a

2. Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : a = 0

3. No se puede dividir por 0.

Potenciación

La potenciación es una multiplicación de varios factores

iguales.

a · a · a · ... = a n
Base

Es el número que multiplicamos por sí mismo.

Exponente

Indica el número de veces que multiplicamos la base.

Propiedades de la potencias
 1. a 0 = 1

2. a 1 = a

3. Producto de potencias con la misma base :

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es

la suma de los exponentes .

am · a n = am+n

4. División de potencias con la misma base :

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es

la diferencia de los exponentes .

am : a n = am - n

25 : 22 = 25 - 2 = 23
5. Potencia de una potencia :

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es

el producto de los exponentes.

(a m ) n = a m · n
6. Producto de potencias con el mismo exponente :

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es

el producto de las bases .

a n · b n = (a · b) n
7. Cociente de potencias con el mismo exponente :

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es

el cociente de las bases.
 a n : b n = (a : b) n

Radicación

Es la operación inversa a la potenciación . Y consiste en

que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar
un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual
al radicando.

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso

no se pondría. Consistiría en hallar un número conocido su
cuadrado.

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando

encontramos un número, b, que elevado al
cuadrado es igual al radicando: b 2 = a.
Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas .

Raíz cuadrada exacta

Radicando = (Raíz exacta) 2

Raíz cuadrada entera

Radicando = (Raíz entera) 2 + Resto

Logaritmación

El logaritmo de un número, en una base dada, es el

exponente al cual se debe elevar la base para obtener el
número.
4.2 Propiedades de las operaciones fundamentales en el conjunto de los
números naturales.
Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un
determinado conjunto. Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos,
los resultados pueden ser o no números naturales.
Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número
natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos
números naturales el resultado no siempre será otro número natural, lo mismo
ocurre con la división.
Por ejemplo, intenta restar 33 menos 88, ¿crees que es posible representar el
resultado de esta operación con algún número natural? Debido a lo
anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos
operaciones: la suma y la multiplicación. Si quieres aprender más sobre ellas
visita nuestros cursos Suma y Multiplicación.

4.3 Estimaciones de resultados

Estimaciones de sumas con ejemplos. En este post vamos a aprender a hacer
estimaciones de sumas y de restas. La destreza de dominar este concepto es para
poder verificar si el resultado exacto es del orden de magnitud correcto y determinar
si la respuesta es o no razonable.
4.4 Resolución de problemas.
La Resolución de Problemas en las matemáticas es, quizás, el tema de
investigación que tienen en su contenido la mayoría de las tesis de pregrado y
postgrado, ya que es sin lugar a dudas, existe una problemática universal en esta
línea (Socas, 2013), en muchos países se ha comprobado que el
termino Resolución de Problemas tiene varios significados en muchos países,
incluso dentro del mismo país, por ello no cualquiera puede referirse a este término
sin hacer antes una revisión histórica y epistemológica de su significado en
Educación Matemática
Según las Pruebas PISA 2015, 2012, 2009, 2006, y 2003, Colombia Históricamente
ha tenido un bajo desempeño en Resolución de Problemas, además de eso
Colombia es uno de país latinos con menores niveles en compresión Lectora
(OCDE, 2016). A esto sumándole que según De Zubiría (2016) y la Fundación
Alberto Meraní, el 93% de los estudiantes de 11° tienen la compresión de un niño
de 7 años, esto es importante porque la Resolución de Problemas, incluso en
matemáticas tiene una estrecha relación con la compresión lectora, en ocasiones el
estudiante tiene los conocimientos matemáticos suficientes para resolver el
problemas, pero su problemas en compresión lectora en hacer análisis, inferencias,
interpretaciones, de la información arrojada por el problema, provoca unos pobres
resultados en la solución.
UNIDAD V:

Los números romanos

5.1 Sistema de numeración romana.

La numeración romana es un sistema de numeración que se desarrolló en
la Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio romano, manteniéndose con
posterioridad a su desaparición y todavía utilizado en algunos ámbitos.
5.2 Orígenes.
La numeración romana es un sistema de numeración que se desarrolló en la
Antigua Roma y se utilizó en todo el Imperio romano, manteniéndose con
posterioridad a su desaparición y todavía utilizado en algunos ámbitos.
Este sistema emplea algunas letras mayúsculas como símbolos para representar
ciertos valores.
5.3 Normas para escribir números romanos.
Sus Reglas. Los números romanos I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces
a la hora de escribir un número romano compuesto. Los números romanos V, L
y D no pueden repetirse nunca. Si un número romano compuesto tiene
un número a la derecha menor que el de la izquierda entonces se suman ambos.
5.4 Aritmética con numeración romana.
Numerales romanos en un manuscrito del siglo XVI. El primer paso decodifica
los datos posicionales en una notación única, lo que facilita la tarea aritmética.
... Una vez reordenados los símbolos, se agrupan y se introduce de nuevo la
notación substractiva, aplicando las reglas de numeración romana.

UNIDAD VI:
Transformaciones geométricas

6.1 Traslación
Una traslación desplaza cada punto de una figura o espacio la misma cantidad en
una determinada dirección. Una reflexión respecto un eje seguida de
otra reflexión respecto a otro eje paralelo al primero es equivalente a una traslación.

6.1.1 Definición
En geometría, una traslación es una isometría en el espacio
elucídelo caracterizada por un vector , tal que, a cada punto P de un objeto o figura
se le hace corresponder otro punto P' , tal que:
6.1.2 Aplicaciones
Aplicación (Matemática)... Aplicación en la Matemática: Muestra el concepto,
definiciones y ejemplos de la Aplicación en la Matemática, la cual establece una
correspondencia entre dos conjuntos de elementos de forma que a todo elemento
del conjunto de partida se le asocie un elemento único del conjunto de llegada.
6.1.3 Determinaciones
En Matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de
un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza
el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin
embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para
estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

6.2 Rotación
La rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un
conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el

vector velocidad angular , que es un vector de carácter deslizante y situado

sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad
se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».

6. 2.1 Definición
Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de
referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece
fijo.

6. 2.2 Aplicaciones
Aplicación (Matemática)... Aplicación en la Matemática: Muestra el concepto,
definiciones y ejemplos de la Aplicación en la Matemática, la cual establece una
correspondencia entre dos conjuntos de elementos de forma que a todo elemento
del conjunto de partida se le asocie un elemento único del conjunto de llegada.

6. 2.3 Determinaciones
En Matemáticas se define el determinante como una forma matrilineal alternada de
un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza
el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin
embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para
estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

6.3 Reflexión
Una reflexión es una transformación geométrica. En una reflexión, un objeto
geométrico “se mueve de un tirón” a través de una recta. La recta a través de la cual
se refleja un objeto se llama la recta de reflexión o el eje de la reflexión.

6. 3.1 Definición
Una reflexión es una transformación geométrica. En una reflexión, un objeto
geométrico “se mueve de un tirón” a través de una recta. La recta a través de la cual
se refleja un objeto se llama la recta de reflexión o el eje de la reflexión.

6. 3.2 Aplicaciones
En este artículo se hacen algunas muy breves reflexiones sobre las matemáticas y
sus aplicaciones.
Se trata de contribuir a contestar la pregunta muy frecuente acerca de lo necesario
o no de las matemáticas, principalmente en carreras de ingeniería, ciencias
sociales, ciencias naturales, etc.

6. 3.3 Determinaciones
Determinación es la acción y efecto de determinar (tomar una resolución, fijar los
términos de algo, señalar algo para algún efecto). Por ejemplo: “El entrenador
mexicano anunciará mañana su determinación tras la falta disciplinaria del
delantero”, “La determinación del presidente fue solucionar el conflicto sin el uso de
la fuerza”, “Falta confirmar el día y la hora, pero la determinación está tomada”.

6.4 Homotecia
Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica
todas las distancias por un mismo factor.

6. 4.1 Definición
En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado
centro.

6. 4.2 Aplicaciones
HOMOTECIA DIRECTA: Es aquella en la cual el punto de homotecia o el centro
de homotecia se encuentra después o antes de la figura trazada. La característica
principal es que los segmentos entre las figuras son
paralelos. HOMOTECIAINVERSA: Es aquella en la cual el centro de homotecia se
encuentra entre la figura.

6. 4.3 Determinaciones
Una homotecia es una transformación del plano en si mismo que se define de la
manera siguiente:

 Se determina un Punto O como centro de la homotecia.

 Se determina un número real como razón de la homotecia.
 La Imagen P' de un punto P está situada sobre la Semirrecta OP
 O es su propia imagen (O' y O coinciden).

Una homotecia de centro O y razón k se denota H (O; k)

6.5 Simetría
Correspondencia de posición, forma y tamaño, respecto a un punto, una línea o un
plano, de los elementos de un conjunto o de dos o más conjuntos de elementos
entre sí.
6. 5.1 Definición
La simetría (del griego σύν "con" y μέτρον "medida") es un rasgo característico de
formas geométricas, sistemas, ecuaciones y otros objetos materiales, o entidades
abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones,
movimientos o intercambios.
6. 5.2 Aplicaciones
Para esta transformación vas a crear una nueva ruta similar a la utilizada al principio
de este apartado.
Coloca tres puntos de anclaje y da la siguiente forma a la ruta. Guarda la ruta con
el nombre "curva doble" y la duplicas.

Selecciona en la pestaña Rutas la copia de la ruta.

Selecciona la herramienta Simetría en la Caja de herramientas y en las opciones
haz clic en el icono de Rutas. Realiza un Volteo Vertical y mueve la ruta volteada,
si fuera necesario, hasta obtener unas rutas como las siguientes:

6.6 Patrones geométricos

En términos generales un patrón geométrico, es una figura geométrica que puede
formare con otras idénticas para formar una imagen. Entender un patrón creciente,
cuenta el número de figuras en cada conjunto
6. 6.1 Definición
Las secuencias que utilizan figuras geométricas y movimientos, permiten adentrarse
en el reconocimiento de patrones de comportamiento o en las regularidades que
presenta la construcción de la secuencia. Por ejemplo los patrones de crecimiento
o decrecimiento son de gran valía para tal efecto.
6. 6.2 Aplicaciones
Estos elementos se repiten de una manera predecible. Puede ser una plantilla o
modelo que puede usarse para generar objetos o partes de ellos, especialmente si
los objetos que se crean tienen lo suficiente en común para que se infiera la
estructura del patrón fundamental, en cuyo caso, se dice que los objetos exhiben un
único patrón.
6. 6.3 Tipos

Patrones de repetición:

Son aquellos en los que los distintos elementos son presentados en forma
periódica.
Patrones de recurrencia:

Son aquellos en los que la regularidad con que se presentan los elementos
cambia y de ellos tiene que inferirse su regla de formación, es decir, que
puedes descubrir cuál será el siguiente elemento observando el
comportamiento de los anteriores.

UNIDAD VII:

Introducción a la estadística

7.1 Origen de la estadística.

Origen y evolución de la estadística. El término alemán Statistik, que fue
primeramente introducido por Gottfried Achenwall (1749), designaba originalmente
el análisis de datos del Estado, es decir, la "ciencia del Estado" (también llamada
aritmética política de su traducción directa del inglés).

7.2 Definición de estadística.

Ciencia que utiliza conjuntos de datos numéricos para obtener, a partir de ellos,
inferencias basadas en el cálculo de probabilidades.

7.3 Recolección, organización, conteo y tabulación.

Uno de los primeros problemas al que se enfrenta un estudio estadístico, es la
recolección de datos, pues éstos no surgen de la nada. Deben ser recopilados. Para
ello debe tenerse en cuenta la importancia de contar con buenas técnicas de
recolección y, es su caso, de muestreo, puesto que las inferencias obtenidas
finalmente estarán basadas en las estadísticas calculadas a partir de los datos
recopilados.

7.4 Frecuencia.
En estadística, la frecuencia (o frecuencia absoluta) de un evento i, es el número
de veces en que dicho evento se repite durante un experimento o muestra
estadística.1 Comúnmente, la distribución de la frecuencia suele visualizarse con el
uso de histogramas.

7.5 Moda.
En estadística, la moda es el valor con mayor frecuencia en una distribución de
datos.

7.6 Mediana.
En el ámbito de la estadística, la mediana (del latín mediānus 'del medio'1)
representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos
ordenados.
7.7 Media aritmética.
En matemáticas y estadística, la media aritmética (también
llamada promedio o media) de un conjunto finito de números es el valor
característico de una serie de datos cuantitativos, objeto de estudio que parte del
principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la
suma de todos sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el
conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno
de los principales estadísticos muestrales.

7.8 Media armónica.

La media armónica (designada usualmente mediante H) de una cantidad finita de
números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos
de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades.

7.9 Distribución de frecuencias.

La distribución de frecuencias agrupadas o tabla con datos agrupados se emplea
si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua. Se
agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados
clases.

7.10 Amplitud de clase

"La amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior del
intervalo de clase.

7.11 Representación gráfica de datos estadísticos

se utilizan para representar valores utilizando trazos verticales u horizontales, se
pueden representar dos o más series para comparar entre sí. Este tipo de gráficos
se utiliza para mostrar tendencias en el tiempo. Se representan los valores en dos
ejes cartesianos.

7.12 Introducción a la probabilidad.

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza
los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una
herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la
época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la
corte.

Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros

usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continuó con el
estudio de nuevas metodologías que permitan maximizar el uso de
la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los
márgenes de error en los cálculos.

7. 13 Aplicaciones sobre probabilidad.

Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en el día a día es en la
fiabilidad. ... Se puede decir que no existe una cosa llamada probabilidad.
También se puede decir que la probabilidad es la medida de nuestro
grado de incertidumbre, o esto es, el grado de nuestra ignorancia dada una
situación.

7.14 Resolución de problemas.

La resolución de problemas reside principalmente en dos áreas: la resolución
de problemas matemáticos y la resolución de problemas personales —en los que
se presenta algún tipo de obstáculo a su resolución—,mientras que los fundamentos
son estudiados en psicología del pensamiento, ciencia cognitiva y teoría de la
decisión.