Potenciacion de numeros Reales

Las potencias son una operación matemática entre dos términos denominados: base  y

exponente . Se escribe  y se lee normalmente como «a elevado a la n». Hay algunos números
exponentes especiales como el 2, que se lee al cuadrado, y el 3, que se lee al cubo.

4 Lección: Potenciación en los

números reales.
Intento: 101
Esta es una lección de 0 puntos. Usted ha obtenido 0 punto(s) sobre 0 hasta
ahora.
Al estudiar algunos subconjuntos de los números reales como los naturales, los
enteros y los racionales, se vio la potenciación. Por ejemplo sabemos que:

La potenciación en lo números reales se define de manera que, una vez más, se

conserve la operación y sus propiedades en los subconjuntos de los números
reales ya estudiados.

Si a es un número real y n es un entero positivo, la expresión   es el producto

que resulta de tomar a como factor n veces, es decir.

Aquí a se llama base, n se llama exponente y an es la potencia (también se

acostumbra llamar potencia al resultado). En particular a1es igual a la base a.

, para todo número real.

Además cuando la base sea 1 o 0 tenemos:

 para todo número entero n.

, para todo número entero positivo k.
Si la base es un número real a diferente de 0 y el exponente es un número entero
positivo n, entonce la potencia a-n es el número real que se obtiene como:
Ya definimos la potencia an para n entero positivo o negativo, ahora, si el
exponente nes igual a 0, la potencia se define de la siguiente manera:

, para todo número real a, 

Ejemplo:
Escribamos la operación que nos permita calcular cada potencia indicada y
calculémosla.

a) 
b) 

Al efectuar el proceso de elevar un número real a un entero, es necesario tener en

cuenta el signo de la base y el número de veces que se toma como factor, para
determinar el signo de la potencia. Así se puede llegar a las conclusiones de la
tabla.

Exponente
Par Impar
Base
Positiva Potencia positiva Potencia
positiva
Negativa Potencia positiva Potencia
negativa
Podemos combinar la potenciación con la suma y la multiplicación. Veamos.
Ejemplo:

a) 
    

b)  .
como ninguna de las propiedades estudiadas en la potenciación con números
racionales es aplicable para esta operación, entonces:
     
     
Ahora, recordemos cómo se efectuan las multiplicaciones y divisiones de potencias
en las que la base o el exponente son iguales. Las propiedaes que se cumplen en
los números racionales se deben cumplir al operar con números reales.
Ejemplo:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN
Las propiedades de la potenciación relacionadas con las operaciones de las familias
aditiva y multiplicativa, siempre que las expresiones resultantes tengan sentido en
el conjunto de los números reales, son:

Si   tenemos:

1. 

2. 

3. 

4. 
 5. 

6. 

7. 

Master Pedro D´ıaz Navarro 2007

 Números Reales
y Fundamentos de
´
Algebra monografías números reales

bachilleratoenlinea.comhttps://bachilleratoenlinea.com/educar/mod/lesson/vie
w.php?id=1060#:~:text=La%20potenciación%20en%20lo%20números,los%20números
%20reales%20ya%20estudiados.&text=Aquí%20a%20se%20llama%20base,acostumbra
%20llamar%20potencia%20al%20resultado).

POTENCIAS Y NÚMEROS REALES

POTENCIAS

Los exponentes son una manera reducida de repetir una multiplicación del
mismo número por sí mismo.

Por ejemplo, la forma reducida de multiplicar tres veces el número 5 se

muestra en el miembro derecho de la siguiente igualdad (5)·(5)·(5) = 53.

La notación exponencial o potencia es una forma sencilla de escribir un número

 como producto de factores. 

BaseExponente

El exponente nos indica cuántas veces la base se multiplica por sí misma.

Propiedades de los Exponentes

1. Producto de bases iguales:Para multiplicar potencias de la misma

base, se suman los exponentes y se mantiene la base común.

Enteros :    2 2 ·  23 = 2 · 2 · 2 · 2 ·2 = 2 5

Variable:  x m ·xn = x m + n

 2. Cociente de bases iguales: Para dividir potencias de la misma base,

se restan los exponentes y se mantiene la base común.

Enteros:    25:22 = (2 · 2 · 2 · 2 · 2):(2 · 2 · 2) = 23

Variable:     xm · xn = xm-n

3. Potencia de una potencia: Para elevar una potencia a un exponente, se mantiene la base y

se multiplican los exponentes.

Enteros:    (23)2 = 23 · 23 = 26

Variable:     (xm)n = xm·n

4. Potencia de un Producto: Para elevar un producto a un exponente, se elevan cada uno de

los factores a ese exponente.

5. Potencia de un cociente: Para elevar un cociente a un exponente, se eleva cada uno de los

números a ese exponente
Leyes de Potencias

Las propiedades que rigen a las potencias están resumidas a continuación:

Si x,y ∈ R y m,n ∈ Z + entonces

1. x 0 = 1,x 6= 0

2. x 1 = x

3. x −1 =

x ;x

−n

xn

, si x 6= 0

4. x n · x m = x m+n

5. (x m ) n = x mn

6. (x · y) n = x n · y n

7.

?x

?n

xn

yn

, si b 6= 0

8.

xn

ym

1
x m−n

= x n−m

Nota. Algunos resultados importantes son los siguientes:

El cuadrado de todo número real es mayor o igual que cero

x 2 ≥ 0, ∀ x ∈ R

(−x) n =

x n si n es par

−x n si n es impar

Ejemplo 1. Al elevar al cuadrado la cantidad x = −3 se tiene (−3) 2 = (−3) ·

(−3) = 3 · 3 = 9 ≥ 0. Análogamente con cualquier número positivo x se tiene

x 2 = x · x ≥ 0.

Ejemplo 2. Si x ∈ R y n ∈ N es par, entonces n = 2k,k ∈ N y se tiene que

x n = x 2k = (x 2 ) k . Del ejemplo anterior se tiene que x 2 ≥ 0. Luego (x 2 ) k tambi´ en lo

es ya que es producto de cantidades positivas y en consecuencia x n ≥ 0 si n ∈ N es

par.

Estas propiedades nos sirven para simplificar expresiones algebraicas en las que

están involucrados productos y cocientes de potencias de números reales.

1.2.2. Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1. Realice la operación (2r 4 s 2 )(−3r 3 s −3 ) simplificando al máximo.

Solución

Primeramente se colocan los coeficientes num´ ericos al inicio de la expresión y se

asocian las potencias de igual base usando la asociatividad y la commutatividad del

producto

2 · (−3)(r 4 · r 3 )(s 2 · s −3 )

Se aplican leyes de potencia para simplificar el producto de potencias de igual base

y eliminar el exponente negativo

(2r 4 s 2 )(−3r 3 s −3 ) = −6r 7 s −1 =

−6r 7

Obteniendo la expresión simplificada al máximo.

La potenciación
Se conoce con el término de potenciación a aquella operación matemática que se
realiza entre dos términos que se conocen como la base y el exponente.

Elementos de la potenciación
La base: Se establece como base de una potencia a esa cifra que debe ser repetida 
exactamente la cantidad de veces que se indica en la potencia.

Cabe destacar que el proceso de repetición se lleva a cabo por medio de la

multiplicación. Por lo tanto si se presenta 23 se debe multiplicar 2 x 2 x 2 lo que da
como resultado un 8 porque 2 x 2 es igual a 4 y 4 x 2 es igual a 8. En cuanto a la
base se pueden dar varios casos como por ejemplo: 

 Un concepto un poco más complejo es cuando la base se presenta en

fracciones, entonces se dice que 2/53 = 8/125 que sería como decir 23 y 53.
En el caso que una base sea con el número 10 no es necesario colocar el
cero, sino que al momento de escribir el resultado, colocamos tantos ceros
como indique la potencia. Es decir que en el caso que se presente la
siguiente potenciación 103 = 1000 entonces no es necesario hacer la
multiplicación 10 x 10 x 10 para saber el resultado sino que añadimos
directamente tres 0 al 1 de la base y de esta manera se obtiene el resultado
mucho más rápido. 
 De igual manera puede que aparezca en algún ejercicio una base que sea
positiva o negativa, en este sentido podemos decir que si la base y el
exponente son los dos positivos el resultado que se obtenga también será
positivo, pero en esos casos donde la base es negativa, entonces el signo del
resultado lo va a determinar si el exponente es un número par o impar.
Entonces se dice que si el exponente es un número par como el 2, 4, 6, 8,
etc, el resultado será positivo pero si el exponente es impar como el 5, 7, 9,
etc, entonces el resultado será negativo.
Ejemplo: 

(-2)2 = (-2 x -2) = 4

(-2)5 = (-2 x -2 x -2 x -2 x -2) = -32

El exponente: También es conocido como índice o potencia y se trata de ese

número o valor que se encuentra en la parte superior derecha y que sirve para
indicar cual es la cantidad de veces que se va a multiplicar la base.

Hay que destacar que los exponentes pueden representarse como positivos,
negativos fraccionarios, impares o números pares, en todos los casos debe ser un
número primo, entero o de algún otro grupo.

Algo a tener en cuenta es que no se acostumbra usar decimales al escribir las

potencias, esto para evitar el uso de calculadoras lo que haría todo el proceso de
resolución algo complicado. 

 Se dice que una potencia tiene exponente natural cuando vemos que en el
exponente está compuesta por un 0 o por un 1. Entonces se comprende que
en los casos en los que el exponente sea un 0 el resultado de la potencia será
el número 1. Por ejemplo en la potenciación 20 = 1. Sin embargo en los casos
contrarios donde el exponente es un 1 éste no se escribe sino que ya se
sobreentiende que la potencia es 1, entonces se dice que 21 = 2  C1 = C.
 Puede que en algunos casos el exponente afecte de manera directa no solo a
una base sino a un grupo de ellas, es decir que se presentan varias bases con
el mismo exponente, a esto se le conoce como potencia de un producto y se
debe aprender la manera correcta en la que han de ser resueltos. En este
sentido podemos decir que la potencia de un producto resulta siendo igual al
producto que tengan las potencias cuyas bases sean los factores y su
exponente sea el mismo. 

Potencia de una potencia

Usando las potencias se pueden hacer diferentes operaciones como por ejemplo
multiplicaciones y divisiones, entonces se entiende que también está permitido
hacer una potenciación a cualquier cifra sin importar que ésta ya cuente con un 
exponente y esto es lo que se conoce como la potencia de una potencia.

En este sentido la operación se resuelve dejando la base intacta y sólo multiplicando

los exponentes como se puede apreciar en el ejemplo a continuación. 

Ejemplo: ( 22 )3 = 22×3 = 26 = 64

Vemos entonces que se dejó la misma base ( 2 ) y que se multiplicaron los
exponente ( 2 x 3 ).  

Anton A (2020) Elementos de la potenciación: definición y ejemplos

https://estudianteo.com/matematicas/elementos-potenciacion-
definicion-ejemplos/

Expósito A ( 2018) unidad 2. POTENCIAS Y NÚMEROS

REALES Ciudad de
hérculeshttps://sites.google.com/site/herculesmatematicas/4-
3o-eso/unidad-2-potencias-y-numeros-reales

Propiedades de la potenciación: Ejemplos:

    
Sean a y b números reales y m y n enteros positivos, entonces:  
 
  

 
 
Revisa en este link las propiedades de la potenciación,  seguro que le será muy útil, con ejemplos
ilustrativos
 
http://www.scribd.com/doc/2116235/Potenciacion 

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de factores iguales. El

factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente de la potencia.

Propiedades de las potencias

1) El producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia que tiene:

? La misma base

? El exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.

a n · a m = a n+m

Ejm:

3 2 · 3 4 = (3·3) · (3·3·3·3) = 3 6 = 3 2+4

5 3 · 5 · 5 6 = (5·5·5) · 5 · (5·5·5·5·5·5) = 5 10 = 5 3+1+6

En este último ejemplo vemos que 5 1 se comporta igual que 5 de donde se

deduce la siguiente propiedad:

2) Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base.

a1=a

Ejm:

51=5

12 1 = 12

Ejercicios:

7) Escribe los números que faltan:

a) 3 4 · 3 5 = 3 ? b) 2 5 · 2 2 · 2 = ?

c) 4 4 · 4 2 · 4 ? = 4 7 d) 12 · 12 ? = 12 3

8) Escribe cada número como producto de potencias de la misma base, de dos formas

distintas:

2 6 , 3 8 , 4 12 , 5 4 · 25

3) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene:

? La misma base

? El exponente igual a la diferencia de los exponentes del dividendo y el

divisor.

a n : a m = a n-m

Ejm:

36:32=

33

333333

⋅⋅⋅⋅⋅

= 3 4 = 3 6-2

54:54=

5555
5555

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

= 1 = 5 4-4 = 5 0

De este último ejemplo se deduce la siguiente propiedad:

4) Cualquier potencia de exponente cero es igual a 1.

a0=1

Ejm:

30=1

72 0 = 1

Ejercicios

9) Escribe los números que faltan:

a) 3 12 : 3 4 = 3 ? b) 4 9 : 4 3 = 6 c) 7 14 : 7 = 7 5

10) Completa:

Dividendo Divisor Cociente

45424?

7?7374

5 12 5 ? 5 3

11 7 11 7 11 ?

5) Una potencia de base una potencia se puede escribir como potencia de un solo

exponente que tiene:

? La misma base

? Por exponente el producto de los exponentes.

(a n ) m = a n·m

Ejm:
(4 3 ) 4 = 4 3 · 4 3 · 4 3 · 4 3 = 4 3+3+3+3 = 4 12 = 4 3·4

(7 5 ) 2 = 7 5 · 7 5 = 7 5+5 = 7 10 = 7 2·5

Ejercicios:

11) Escribe como potencia de base 11,13, 7 y 5 respectivamente:

a) (11 6 ) 7 = b) (13 8 ) 4 = c) (7 9 ) 8 = d) (5 10 ) 9 =

12) Escribe como potencia de la misma base el cuadrado y el cubo de cada potencia:

a) 2 3 = b) 3 2 = c) 5 4 = d) 7 3 =

13) Escribe como potencia de potencia:

a) 5 6 = b) 7 15 = c) 3 25 = d) 11 21 =

14) Aplicando las propiedades de potencias, expresa como potencia única:

a) 2 5 · 2 8 = b) 2 5 · 2 4 · 2 2 = c) 3 2 · 3 5 =

d) 3 5 : 3 3 = e) (5 2 ) 6 = f) (5 6 ) 3 =

g) 3 12 : 3 5 = h) (2 5 ) 4 = i) 3 15 : 3 6 =

15) Escribe en forma de potencia única:

a) 2 8 · 2 · 2 3 = b) 5 2 · 5 6 · 5 =

c) [(2 3 ) 5 ] 6 = d) 10 22 : 10 13 =

e) 10 34 : 10 34 = f) 2 6 : 2 6 =

6) Una potencia de exponente negativo es igual a la inversa de la misma potencia de

exponente positivo.

a -n =

an

Ejm:

1
3

33

5555

625

==

==

⋅⋅⋅

7) El producto de dos potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene:

? El mismo exponente
? La base igual al producto de las bases.

a m · b m = (a · b) m

Ejm:

()()()()()()2525252522255525

33

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

8) El cociente de dos potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene:

? El mismo exponente

? La base igual al cociente de las bases del dividendo y el divisor.

a m : b m = (a : b) m

Ejm:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 126 126 126 126 12 12 12 6 6 6 12 6

33

::::::=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

9) Una potencia de base negativa tiene como resultado un número positivo cuando el

exponente es par, y un número negativo cuando el exponente es impar:

(-a) n = a n si n es par y - a n si n es impar

Ejm:

( ) ( )( )( )

()()()()()

−=−−−=−=−

−=−⋅−⋅−⋅−==+

222228
3 3 3 3 3 3 81

RADICALES

RADICALES

Se llama raíz n-ésima d un número a, y se escribe

a , a un número b que cumple la si