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    Mvco2 U2 A3 Raic

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    Raúl Sánchez
    Este documento presenta la solución de una actividad sobre integrales de funciones holomorfas. Explica que si una función f es holomorfa, entonces es constante mediante el teorema de Liouville. Luego, utilizando desigualdades e integrales de Cauchy, demuestra que f(b)=f(a) para cualquier puntos a y b en el plano complejo, lo que significa que f es constante. Finalmente, aplica el teorema de Morera para concluir que si f es integrable, entonces es holomorfa.

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    Este documento presenta la solución de una actividad sobre integrales de funciones holomorfas. Explica que si una función f es holomorfa, entonces es constante mediante el teorema de Liouville. Luego, utilizando desigualdades e integrales de Cauchy, demuestra que f(b)=f(a) para cualquier puntos a y b en el plano complejo, lo que significa que f es constante. Finalmente, aplica el teorema de Morera para concluir que si f es integrable, entonces es holomorfa.

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    Este documento presenta la solución de una actividad sobre integrales de funciones holomorfas. Explica que si una función f es holomorfa, entonces es constante mediante el teorema de Liouville. Luego, utilizando desigualdades e integrales de Cauchy, demuestra que f(b)=f(a) para cualquier puntos a y b en el plano complejo, lo que significa que f es constante. Finalmente, aplica el teorema de Morera para concluir que si f es integrable, entonces es holomorfa.

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    Asignatura: Variable compleja II.

    Carrera: Licenciatura en matemáticas

    Alumno: Raúl Ibáñez Couoh

    Matrícula: ES172001745

    Docente: Ramiro Vázquez Vera

    Unidad 2. Análisis complejo.


    Actividad 3. Solución de integrales de funciones holomorfas

    28/02/2020, Zihuatanejo, Guerrero, México.


    Partiendo de que 𝑓𝑓 es una función holomorfa, entonces:
    𝑓𝑓: ℂ → ℂ, es entera y también acotada, acorde al teorema de Liouville 𝑓𝑓 es constante
    y al ser holomorfa es diferenciable.
    Utilizando la desigualdad:
    𝑀𝑀𝑀𝑀
    Con límites de 𝑓𝑓, demostramos que:

    𝑓𝑓(𝑧𝑧)
    lim � 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
    𝑅𝑅→∞ |𝑧𝑧|=𝑅𝑅 (𝑧𝑧 − 𝑎𝑎)(𝑧𝑧 − 𝑏𝑏)

    Siendo 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 cualesquiera puntos en el plano complejo, combinando con la fórmula


    de la integral de Cauchy. Haciendo a Γ un círculo con centro en 𝑎𝑎 y radio 𝑟𝑟 y 𝑏𝑏 en el
    interior de Γ

    |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎| |𝑓𝑓𝑓𝑓||𝑑𝑑𝑑𝑑|


    |𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)| ≤ �
    2𝜋𝜋 |𝜁𝜁 − 𝑎𝑎||𝜁𝜁 − 𝑏𝑏|
    Γ

    |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎|2𝑀𝑀
    |𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)| ≤ � |𝑑𝑑𝑑𝑑|
    2𝜋𝜋(𝑅𝑅2 ) Γ
    𝑀𝑀
    |𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)| ≤ × 2𝜋𝜋𝜋𝜋 × |𝑏𝑏 − 𝑎𝑎|
    𝜋𝜋
    2𝑀𝑀|𝑏𝑏 − 𝑎𝑎|
    |𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎)| ≤
    𝑅𝑅
    Haciendo a 𝑅𝑅 → ∞ tenemos como consecuente que:
    𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎)
    Esto significa que 𝑓𝑓 es constante.
    Acorde al teorema de Liouville 𝑓𝑓: ℂ → ℂ, una función entera y acotada,
    Entonces 𝑓𝑓 es constante.
    Si 𝑓𝑓: 𝐷𝐷 → ℂ es una función tal que 𝐷𝐷(𝛼𝛼, 𝑅𝑅) ⊂ Ω, podemos escribir lo siguiente:
    sup 𝑓𝑓 = sup{ℛ(𝑓𝑓): ℛ(𝑓𝑓) ∈ 𝐷𝐷}
    𝐴𝐴

    inf 𝑓𝑓 = inf{ℛ(𝑓𝑓): ℛ(𝑓𝑓) ∈ 𝐷𝐷}


    𝐴𝐴

    Si 𝑚𝑚 es una cota para 𝑓𝑓, entonces nos encontramos con que 𝑓𝑓 ≤ 𝑚𝑚 ∀𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷(𝜁𝜁)
    Mediante la exponencial en ambos lados de la desigualdad:
    𝑒𝑒 𝑓𝑓 ≤ 𝑒𝑒 𝑚𝑚 , ∀𝜁𝜁 ∈ 𝑓𝑓
    Como 𝑒𝑒 𝑚𝑚 es la cota de 𝑒𝑒 𝑓𝑓 .

    Desarrollamos:
    ∞ ∞
    𝑓𝑓
    𝑓𝑓 𝑛𝑛 𝑓𝑓 𝑛𝑛
    𝑒𝑒 = � = 1 + 𝑓𝑓 + � +⋯
    𝑛𝑛! 𝑛𝑛°
    𝑛𝑛=0 𝑛𝑛=2

    Como 𝑒𝑒 𝑓𝑓 es acotada, entonces 𝑓𝑓 también lo será y por el teorema de Liouville 𝑓𝑓


    será constante.

    Utilizando el teorema de Morera:


    𝛼𝛼 ∈ Ω, tenemos 𝑅𝑅 ∈ ℝ+ tal que 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅) ⊂ Ω.
    Consideraremos 𝑓𝑓: 𝐺𝐺 → ℂ definido mediante:

    𝑓𝑓(𝑧𝑧) = � 𝑓𝑓(𝑤𝑤)𝑑𝑑𝑤𝑤, ∀𝑧𝑧 ∈ 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅)


    [𝛼𝛼,𝑧𝑧]

    Necesitamos demostrar que 𝑓𝑓: 𝐺𝐺 → ℂ verifica la hipótesis del lema de construcción


    de las primitivas.
    Sea 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅) y tomando como 𝑟𝑟 = 𝑅𝑅 − |𝑎𝑎 − 𝛼𝛼| > 0 de tal manera que:
    𝐺𝐺(𝑎𝑎, 𝑟𝑟) ⊂ 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅).
    Como 𝑧𝑧 ∈ 𝐺𝐺(𝑎𝑎, 𝑟𝑟), entonces ∆(𝛼𝛼, 𝑎𝑎, 𝑧𝑧) ⊂ 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅) ⊂ Ω, por lo cual:

    0= � 𝑓𝑓(𝑤𝑤)𝑑𝑑𝑤𝑤 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + � 𝑓𝑓(𝑤𝑤)𝑑𝑑𝑤𝑤 − 𝑓𝑓(𝑧𝑧)


    [𝛼𝛼,𝑎𝑎,𝑧𝑧,𝛼𝛼] [𝑎𝑎,𝑧𝑧]

    Con la comprobación anterior, ∀𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅) existe 𝑟𝑟 ∈ ℝ+ , tal que 𝐺𝐺(𝑎𝑎, 𝑟𝑟) ⊂ 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅):

    𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎) + � 𝑓𝑓(𝑤𝑤)𝑑𝑑𝑤𝑤 ∀𝑧𝑧 ∈ 𝐺𝐺 (𝑎𝑎, 𝑟𝑟)


    [𝑎𝑎,𝑧𝑧]

    𝑓𝑓 ∈ ℋ�𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅)� con 𝑓𝑓 ′ (𝑧𝑧) = 𝑓𝑓(𝑧𝑧) para todo 𝑧𝑧 ∈ 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅). Pero como 𝑓𝑓 ′ ∈ ℋ�𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅)�
    es la restricción de 𝑓𝑓 → 𝐺𝐺(𝛼𝛼, 𝑅𝑅) es holomorfa.
    A través del concepto de derivada, tenemos que 𝑓𝑓 es derivable en el punto 𝛼𝛼 y ya
    que 𝛼𝛼 ∈ Ω es arbitrario, llegamos a que:
    𝑓𝑓 ∈ ℋ(Ω)
    Si y solo si, 𝑓𝑓 es holomorfa.

    Si existe 𝑀𝑀 tal que ℛ(𝑓𝑓) ≤ 𝑀𝑀, entonces ∥ 𝑒𝑒 𝑓𝑓 ∥ = 𝑒𝑒 ℛ(𝑓𝑓) ≤ 𝑒𝑒 𝑀𝑀 . A través del teorema
    de Liouville, la función completa 𝑒𝑒 𝑓𝑓 es constante, es decir 0 = (𝑒𝑒 𝑓𝑓 ) ′ = 𝑓𝑓 ′ 𝑒𝑒 𝑓𝑓 .
    Lo cual significa que:
    𝑓𝑓 ′ = 0
    entonces 𝑓𝑓 es constante. Si ℛ(𝑓𝑓) está acotado por abajo, consideramos 𝑒𝑒 −𝑓𝑓 y
    procedemos de la misma manera.

    Bibliografía
    Churchill, R. V. (1992). Variable compleja y aplicaciones . España : McGRaw-Hill .
    Derrick, W. R. (1984 ). Vairable compleja con aplicaciones . Colombia: Grupo
    editorial Iberoameérica .
    Marsden, J. (1988). Análisis Básico de Variable Compleja . México : Editorial Trillas
    .
    Spiegel, M. (1982). Variable compleja . México : McGRaw-Hill .

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