Mathematics">
Hoja3-Álgebra Lineal 21-22
Hoja3-Álgebra Lineal 21-22
Hoja3-Álgebra Lineal 21-22
PROBLEMA 1. Sea W la unión de los cuadrantes primero y tercero en el plano xy. Es decir:
x
W = : xy ≥ 0
y
2t + s
s, t ∈ R. Pruebe que W es un subespacio de R4 .
1 2 1 3
b) b1 = 0 , b2 = 1 , b3 = −1 , x = −5 .
3 8 2 4
PROBLEMA 13. Encuentre las matrices de cambio de base, PBc ,B , de las bases B dadas a
las canónicas de R2 y R3 respectivamente.
3 2 8
2 1
a) B = , , b) B = −1 , 0 , −2 .
−9 8
4 −5 7
3a + 6b − c
6a − 2b − 2c
PROBLEMA 14. Halle una base y la dimensión del subespacio : a, b, c ∈ R .
−9a + 5b + 3c
−3a + b + c
PROBLEMA 15. Determine las dimensiones de los subespacios Nul A y Col A en los casos:
1 3 −4 2 −1 6
0 0 1 −3 7 0 3 4
a) A = b) A = .
0 0 0 1 4 −3 −6 10
0 0 0 0 0 0
PROBLEMA 16. Suponiendo que A ∼ B, y sin hacer ningún cálculo, determinar rango A y
dim Nul A; hallar bases de Col A, Fila A y Nul A.
1 −3 4 −1 9 1 −3 0 5 −7
−2 6 −6 −1 −10 0 2 −3
, B = 0 8
a) A = −3
.
9 −6 −6 −3 0 0 0 0 5
3 −9 4 9 0 0 0 0 0 0
1 1 −3 7 9 −9 1 1 −3 7 9 −9
1 2 −4 10 13 −12
0 1 −1 3
4 −3
b) A =
1 −1 −1 1 1 −3 , B = 0 0
0 1 −1 −2
.
1 −3 1 −5 −7 3 0 0 0 0 0 0
1 −2 0 0 −5 −4 0 0 0 0 0 0
PROBLEMA 17. Si A es una matriz 4 × 3, ¿cuál es valor máximo posible para la dimensión
de su subespacio columna?, ¿ y si A es 3 × 4?
PROBLEMA 18. Si A es una matriz 6 × 4, ¿cuál es el valor mı́nimo que puede tener la
dimensión de Nul A?
PROBLEMA 19. Sean A una matriz m×n, y b ∈ Rm . ¿Qué valores relativos han de tener los
rangos de las matrices A y [A b] para que el sistema de ecuaciones Ax = b sea compatible?
(Teorema de Rouché-Frobenius).
¿Qué tipo de sistema es? ¿Sabría decir, sin hacer ninguna 'cuenta', cómo es su conjunto
de soluciones?. Resuélvalo.
PROBLEMA 24. Dada la aplicación lineal T (x) = Ax, encontrar x cuya imagen bajo T sea
b, siendo:
1 2 −1 5
A= 2 3 1 y b= 9 .
0 3 −8 4
1. Calcule todos los vectores x ∈ R4 tales que son transformados en el cero por la
transformación x → Ax
2. ¿Está b en la Imagen de la aplicación definida por A?
PROBLEMA 26. Sea T : R2 → R3 una aplicación lineal que transforma u = [1, 0] en [7, −3, 1]
y v = [1, 1] en [2, 0, 4]. Use el hecho de que T es lineal para encontrar las imágenes de 3u,
−2v y 3u − 2v.
PROBLEMA 27. Demuestre que la aplicación T definida por T (x1, x2) = (4x1 − 2x2, 3|x2|)
no es lineal.
PROBLEMA 29. Decida si la aplicaci´on lineal T (x1, x2, x3) = (x1, x2 + 4x1, x3) es inyectiva
y/o sobreyectiva.
PROBLEMA 30. Sea T : Rn → Rm una aplicación lineal, con A su matriz asociada. Rellene
el espacio en blanco en la siguiente afirmación: “T es sobreyectiva si y sólo si A tiene
columnas pivote” y explique su respuesta.