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    Algebra, Taller

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    Jhon Larrahondo
    Este documento presenta un taller de álgebra lineal con 7 preguntas. La primera pregunta determina la veracidad o falsedad de varias proposiciones relacionadas con matrices. La segunda pregunta pide determinar los valores del parámetro que hacen que una matriz sea invertible. Las preguntas restantes involucran cálculos con subespacios vectoriales, conjuntos linealmente independientes, y pertenencia a subespacios.

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    Algebra, Taller

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    Jhon Larrahondo
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    Este documento presenta un taller de álgebra lineal con 7 preguntas. La primera pregunta determina la veracidad o falsedad de varias proposiciones relacionadas con matrices. La segunda pregunta pide determinar los valores del parámetro que hacen que una matriz sea invertible. Las preguntas restantes involucran cálculos con subespacios vectoriales, conjuntos linealmente independientes, y pertenencia a subespacios.

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    UNIVERSIDAD DEL CAUCA

    Taller Final Álgebra Lineal


    Profesor: Jhonatan Collazos Ramı́rez.
    Marzo del 2020

    1. Determnie la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones:


       
     0 1 −1   −1 0 1 
     y A =  3 0 −3  entonces P −1 AP es una matriz diago-
       
    a) Si P =  1 0 3   
       
    0 1 1 1 0 −1
    nal.  
     sin θ cos θ 0 
     
     cos θ − sin θ 0  es invertible.
    b) Para todo número real θ la matriz  
     
    0 0 1
    c) Sean A, B ∈ Mn (R). (A + B)−1 = B −1 + C −1

    d ) El conjunto 1 + x + x2 , 1 − x + 3x2 , 1 + 3x − x2 es un conjunto L.I.


    

    e) Si A es invertible y AB = entonces B = .

    f ) {(1, −1, 1) , (1, 2, 0)} es un sistema generador del espacio vectorial R3 .

    g) Si W = {(a, 0, a) : a ∈ R, a ≥ 0} ⊂ R3 entonces W es un subespacio de R3 .


     
     α 0 0
    0 
     
     1 0 −1 α 
    2. Determine todos los valores del parámetro α que hacen que la matriz A = 
     

     2
     1 −5 0 

     
    0 1 α 6
    sea invertible.

    1


    a b c


    3. Sabiendo que d e f = 3, calcular:

    g h i



    a c b g − 3a h − 3b i − 3c


    a) −d −f −e b) 2d 2e 2f


    2g 2i 2h a b c

    4. Determine los valors de a y b para que el vector (2, a, 3,−b) pertenezca al subespacio
    generado por los vectores (2, 3, 1, −5) y (0, 2, −1, 3).

    5. Sean {u, v, w} un conjunto de vecotres L.I de un espacio vectorial V. Pruebe o refute,


    mediante un contraejemplo. El conjunto {u + v, v + w, u + w} es L.I.

    1 − 2x, 2x − x2 , 1 − x2 , 1 + x2
     
    6. Halle la dimensión para el subespacio W ⊂ P2 (R) si W = L .

    7. Calcular el subespacio de R4 , generado por W = {(1, 0, 1, 1) , (−2, 1, −1, 2) , (3, −1, 2, −1)} .
    ¿El vector (3, 0, 3, 3) es combinación lineal de W ?

    8. Sea p (x) = 1 − 2x, q (x) = x − x2 y r (x) = −2 + 3x + x2 .

    a) Hallar una base del subespacio generado por {p (x) , q (x) , r (x)} y dicho subespacio.

    b) Determine si s (x) ∈ L ({p (x) , q (x) , r (x)}) , para s (x) = 3 − 5x − x2 y s (x) =


    1 + x + x2

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