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    Guía - Combinaciones Lineales, Espacio Generado, Bases y Dimensión

    Cargado por

    Patricio Espinoza
    Este documento presenta 8 problemas relacionados con conceptos fundamentales de álgebra lineal como combinaciones lineales, espacios vectoriales, bases y dimensión. Los problemas abordan temas como determinar si vectores pueden escribirse como combinaciones lineales de otros, encontrar bases y dimensiones de subespacios vectoriales, y probar la independencia lineal de conjuntos de vectores.

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    Guía - Combinaciones Lineales, Espacio Generado, Bases y Dimensión

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    Patricio Espinoza
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    Este documento presenta 8 problemas relacionados con conceptos fundamentales de álgebra lineal como combinaciones lineales, espacios vectoriales, bases y dimensión. Los problemas abordan temas como determinar si vectores pueden escribirse como combinaciones lineales de otros, encontrar bases y dimensiones de subespacios vectoriales, y probar la independencia lineal de conjuntos de vectores.

    Descripción original:

    Combinaciones lineales

    Título original

    Guía - Combinaciones lineales, espacio generado, bases y dimensión

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    Este documento presenta 8 problemas relacionados con conceptos fundamentales de álgebra lineal como combinaciones lineales, espacios vectoriales, bases y dimensión. Los problemas abordan temas como determinar si vectores pueden escribirse como combinaciones lineales de otros, encontrar bases y dimensiones de subespacios vectoriales, y probar la independencia lineal de conjuntos de vectores.

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    Este documento presenta 8 problemas relacionados con conceptos fundamentales de álgebra lineal como combinaciones lineales, espacios vectoriales, bases y dimensión. Los problemas abordan temas como determinar si vectores pueden escribirse como combinaciones lineales de otros, encontrar bases y dimensiones de subespacios vectoriales, y probar la independencia lineal de conjuntos de vectores.

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    Guı́a.

    Combinaciones lineales,
    espacio generado, bases y dimensión

    Problema 1. ¿Es posible representar los Determine una base y la dimensión de V . ¿Es
    vectores v = (10, −4, 12) y w = (3, 1, 4) como cierto que V = R3 ? Justifique.
    combinación lineal de los vectores (1, −1, 1),
    (2, 1, 3) y (−2, 5, −1) en R3 ? Problema 6. Considere la matriz
     
    Problema 2. ¿Para qué valores de las 2 0
    B=
    constantes a, b ∈ R las matrices 0 −1
    
    1 2
     
    −2 0
     
    a 6
     y el siguiente subespacio vectorial de M2 (R).
    , y
    0 3 1 1 −2 b
    V = A ∈ M2 (R) | AB = BAt .
    

    son linealmente dependientes en M2 (R)?


    (i) Determine una base y la dimensión de V .
    Problema 3. Considere el siguiente subespacio (ii) Pruebe que el conjunto
    vectorial de R2 [x].      
    1 −2 2 2 0 −6
    V = {p(x) ∈ R2 [x] | p0 (2) = p(2)}. , ,
    1 3 −1 0 3 1
    ¿Los polinomios q(x) = x2 −1 y r(x) = x2 +2x−2 también es una base de V .
    pertenecen al espacio V ? Encuentre una base y  
    la dimensión de V . 2 4
    (iii) Verifique que la matriz A =
    −2 3
    Problema 4. ¿Cuál es la dimensión de los pertenece al conjunto V y represéntela
    siguientes R−espacios vectoriales? como combinación lineal de la base del ı́tem
    (ii).
    (i) Rn [x].
    Problema 7. Suponga que los vectores u, v y w
    (ii) Mm×n (R). son linealmente independientes. Pruebe que los
    siguientes vectores también son l.i..
    (iii) U = {A ∈ Mn (R) | A es simétrica}.
    (i) u + v, u + w y v + w.
    (iv) V = {A ∈ Mn (R) | A es antisimétrica}.
    (ii) u + v + w, u + v − w y u − v − w.
    (v) W = {A ∈ Mn (R) | A es triangular
    superior}. (iii) u + 2v − w, 3u − v − 2w y u + v + 3w.
    Problema 5. Considere el siguiente subespacio Problema 8. Sean v1 , v2 , . . . , vn algunos
    vectorial de R3 . vectores en un espacio vectorial V . Sea
    w ∈ hv1 , v2 , . . . , vn i. Pruebe que los vectores
    V = h(2, 13, −1), (1, −1, 1), (1, 9, −1)i. v1 , v2 , . . . , vn , w son linealmente dependientes.
    Respuestas
         
    Problema 1. Sı́ es posible para v, no es posible 4 1 −2 1 2 2 0 −6
    (iii) + − .
    para w. Por ejemplo, 3 1 3 3 −1 0 3 1

    v = 2(1, −1, 1) + 3(2, 1, 3) − (−2, 5, −1). Problema 7.

    Problema 2. a = b = 7. (i) Si v1 = u + v, v2 = u + w y v3 = v + w,
    debemos estudiar la ecuación
    Problema 3. q(x) ∈ / V , r(x) ∈ V . Una base de
    V es el conjunto {x2 , x − 1} y su dimensión es 2. αv1 + βv2 + γv3 = 0,

    Problema 4. la cual es equivalente con

    (i) n + 1. (α + β)u + (α + γ)v + (β + γ)w = 0

    (ii) mn. Como los vectores u, v y w son l.i., la


    1 ecuación anterior implica que
    (iii) 2
    n(n + 1).

    (iv) 1
    n(n − 1).  α+β = 0
    2
    α+γ = 0
    1
    (v) 2
    n(n + 1). 
    β+γ = 0.
    Problema 5. Una base de V es el conjunto Resolviendo este sistema, obtendremos
    {(2, 13, 1), (1, −1, 1)} y su dimensión es 2. V 6= α = β = γ = 0. Por lo tanto, los vectores
    R3 , porque sus dimensiones no coinciden. v1 , v2 y v3 son l.i..

    Problema 6. (ii) Ídem.


    (i) Una base de V es el conjunto (iii) Ídem.
         
    1 0 0 −2 0 0 Problema 8. Como w pertenece al espacio
    , ,
    0 0 1 0 0 1 generado por los vectores v1 , v2 , . . . , vn , existirán
    y su dimensión de 3. escalares α1 , α2 , . . . , αn tales que

    (ii) Basta con verificar que cada una de las tres w = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn


    matrices pertenece al espacio V y que ellas ⇔ α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn − w = 0.
    tres son l.i.. Por el ı́tem (i), sabemos que
    la dimensión de V es 3, por lo que ellas Lo anterior implica que los vectores
    deberán generar todo el espacio V . v1 , v2 , . . . , vn , w son l.d. (¿por qué?).

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