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    Teste1 v3 Cor

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    Boaventura Maxlhope
    Este documento contiene un examen de matemáticas con 6 problemas. Resume los problemas, da las soluciones y calcula el área de un paralelogramo.

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    de 3

    UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE

    Faculdade de Ciências
    Departamento de Matemática e Informática
    Cursos de Engenharias

    Disciplina: ALGA Teste I Duração: 100 minutos 06.09.2023

    Variante -3-Guião de Correção


    ( )3 ( )3
    1+i 1−i
    1. Escreva o número − na forma a+ib onde a e b são reais. (3 valores)
    1−i 1+i
    Resolução:
    ( )3 ( )3 ( ) [( )2 ( )2 ]
    1+i 1−i 1+i 1−i 1+i 1+i 1−i 1−i
    − = − + · + =
    1−i 1+i 1−i 1+i 1−i 1−i 1+i 1+i
    ( )
    1 + 2i − 1 − 1 + 2i + 1 1 + 2i − 1 1 − 2i + 1
    = +1+ = 2i
    1 − i2 1 − 2i − 1 1 + 2i − 1
    √
    2. Determine todas soluções complexas da equação z = 4 −i + 1. (4 valores)
    √ √ π
    Resolução: Seja x = −i + 1, |x| = (−1)2 + 12 = 2, arg(x) = arctan(−1) = − .
    √ ( π π )
    4
    x = 2 cos(− ) + i sin(− )
    (
    4 ( π 4 ) ( π ))
    √
    4
    √
    8 − 4 + 2nπ − 4 + 2nπ
    zn = x = 2 cos + i sin , n = 0, 1, 2, 3.
    4 4

    [ ( π) ( π )] [ ( ) ( )]
    √ √ 7π 7π
    z0 = 2 cos − + i sin − z1 = 2 cos − + i sin −
    8 8

    ( 16 ) 16 ( 16 ) 16
    √
    8 15π 15π √
    8 23π 23π
    z2 = 2 cos + i sin z3 = 2 cos + i sin
    16 16 16 16

     
    5 4 1
     
     
    3. Determine f (−2A) Sendo que f (x) = x − 3x + 4 e A =  1 −2 −2  . (3 valores)
    2
     
    6 2 3
    Resolução:

     = (−2A) −
    2
    f (−2A)  3(−2A)
     + 4I3 =4A2 +6A + 4I3 =   
    5 4 1 5 4 1 5 4 1 1 0 0
          
          
    = 4  1 −2 −2   1 −2 −2  + 6  1 −2 −2  + 4  0 1 0 =
          
    6 2 3 6 2 3 6 2 3 0 0 1

    1
           
    140 56 0 30 −24 −6 4 0 0 174 32 −6
           
           
    =  −36 16 −4  +  −6 12 12  +  0 4 0  =  −42 32 8 
           
    200 104 44 −36 −12 −18 0 0 4 164 92 30
     
    7 1 −1
     
     
    4. Achar a inversa da matriz A =  5 4 −1  usando método de Gauss-Jordan. (4 valores)
     
    2 −3 2
    Resolução:

     
    5/46 1/46 3/46
     
     
    Logo A−1 =  −6/23 8/23 1/23 
     
    −1/2 1/2 1/2

    2


     kx − y + z = 2


    5. Discuta o sistema −x − 2y − kz = 1 em função de k . (3 valores)



     x+y+z =0
    Resolução:

    Se k = 1 então o sistema terá compatı́vel indeterminado.


    Se k ∈ R \ (1, 0) então o sistema será compatı́vel determinado.
    Se k = 0 então o sistema é impossı́vel.

    6. Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são os pontos A(2, −4, 0) e B(1, −3, −1)
    e o ponto médio das diagonais é M (3, 2, −1).
    Calcule a área do referido paralelogramo. (3 valores)
    1 −→ −−→
    Resolução: AABCD = 4 × AABM = × 4 × |AB × AM |
    2

    −→ −−→
    AB = B − A = (1, −3, −1) − (2, −4, 0) = (−1, 1, −1) e AM = M − A = (3, 2, −1) −
    (2, −4, 0) = (1, 6, −1)
    i j k
    −→ −−→
    AB × AM = −1 1 −1 = 5i − 2j − 7k
    1 6 −1
    −→ −−→ √ √
    AABCD = 2 × |AB × AM | = 2 52 + (−2)2 + (−7)2 = 2 78

    Bom trabalho! Docentes: O Grupo da disciplina

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