Tarea 3, Ordinario

482 Capítulo 5 Sistemas de dos grados de libertad
5.6 A. Hurwitz, “On the conditions under which an equation has only roots with negative real parts”, en
Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory, Dover Publications, Nueva York, 1964,
págs. 70-82.
5.7 R. C. Dorf, Modern Control Systems (6a. ed.), Addison-Wesley, Reading, MA, 1992.
5.8 J. P. Den Hartog, Mechanical Vibrations (4a. ed.), McGraw-Hill, Nueva York, 1956.
5.9 R. H. Scanlan y R. Rosenbaum, Introduction to the Study of Aircraft Vibration and Flutter, Macmillan,
Nueva York, 1951.
5.10 L. A. Pipes y L. R. Harvill, Applied Mathematics for Engineers and Physicists (3a. ed.), McGraw-Hill,
Nueva York, 1970.
5.11 S. S. Rao, Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, Prentice Hall, Upper Saddle River,
NJ, 2002.
Preguntas de repaso
5.1 Proporcione respuestas breves a lo siguiente:
1. ¿Cómo se determinan los grados de libertad de un sistema de masa concentrada?
2. Defina estos términos: acoplamiento de masa: acoplamiento de velocidad, acoplamiento elástico.
3. ¿Es la naturaleza del acoplamiento dependiente de las coordenadas utilizadas?
4. ¿Cuántos grados de libertad tiene un avión en vuelo si se trata como (a) un cuerpo rígido, y (b) un
cuerpo elástico?
5. ¿Qué son las coordenadas principales? ¿Cómo se utilizan?
6. Por qué las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez son simétricas?
7. ¿Qué es un nodo?
8. ¿Qué queremos decir por acoplamiento estático y dinámico? ¿Cómo se puede eliminar el aco-pla-
miento de las ecuaciones de movimiento?
9. Defina la matriz de impedancia.
10.¿Cómo puede hacer que un sistema vibre en uno de sus modos naturales?
11.¿Qué es un sistema degenerado? Proporcione dos ejemplos de sistemas físicos degenerados.
12.¿Cuántos modos degenerados puede tener un sistema vibratorio?
13.¿Cuál es la diferencia entre una función de transferencia general y una función de transferencia de
frecuencia?
14.¿Cuántas frecuencias naturales pueden ser cero para un sistema de dos grados de libertad no restrin-
gido?
5.2 Indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso:

1. Los modos normales también se conocen como modos principales.
2. Las coordenadas generalizadas son linealmente dependientes.
3. Las coordenadas principales se pueden considerar como coordenadas generalizadas.
4. La vibración de un sistema depende del sistema de coordenadas.
5. La naturaleza del acoplamiento depende del sistema de coordenadas.
6. Las coordenadas principales evitan tanto el acoplamiento estático como el dinámico.
7. El uso de coordenadas principales ayuda a determinar la respuesta del sistema.
8. Las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento de un sistema de dos grados de libertad son simé-
tricas.
9. Las características de un sistema de dos grados de libertad se utilizan en el diseño de un amortigua-
dor de vibración dinámica.
10.Los sistemas semidefinidos también se conocen como sistemas degenerados.
11.Un sistema semidefinido no puede tener frecuencias naturales no cero.
12.Las coordenadas generalizadas siempre se miden con respecto a la posición de equilibrio del
cuerpo.
Preguntas de repaso 483
13.Durante la vibración libre, los diferentes grados de libertad oscilan con ángulos de fase diferentes.
14.Durante la vibración libre, los diferentes grados de libertad oscilan a diferentes frecuencias.
15.Durante la vibración libre, los diferentes grados de libertad oscilan con amplitudes diferentes.
16.Las amplitudes relativas de grados de libertad diferentes en un sistema de dos grados de libertad
dependen de la frecuencia natural.
17.Los vectores modales de un sistema indican los modos normales de vibración.
18.El polinomio característico de un sistema amortiguado de dos grados de libertad será cuadrático en
s 2.
19.El polinomio característico de un sistema de dos grados de libertad puede ser cuadrático en s2.
20.Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad pueden expresarse en función
del desplazamiento de cualquiera de las dos masas.
5.3 Escriba en los siguientes espacios que aparecen en blanco la palabra correcta:
1. La vibración libre de un sistema de dos grados de libertad sometido a una excitación inicial arbitraria
se puede determinar superponiendo los dos modos _______ de vibración.
2. El movimiento de un sistema de dos grados de libertad se describe por medio de dos coordenadas
_________________.
3. Cuando la frecuencia forzada es igual a una de las frecuencias naturales del sistema, ocurre un fenó-
meno conocido como ________.
4. Las amplitudes y ángulos de fase se determinan a partir de las condiciones ________ del sistema.
5. Para un sistema torsional ________ y ________ son análogos a las masas y resortes lineales, respec-
tivamente, de un sistema de masa-resorte.
6. El uso de coordenadas generalizadas conduce a diferentes tipos de _____________________.
7. Un sistema semidefinido tiene al menos un movimiento de cuerpo ___________________.
8. El acoplamiento elástico también se conoce como acoplamiento _____.
9. El acoplamiento inercial también se conoce como acoplamiento ________________.
10.El acoplamiento de amortiguamiento también se conoce como acoplamiento _________________.
11.Las ecuaciones de movimiento de un sistema serán ________ cuando se utilicen coordenadas prin-
cipales.
12.El criterio de Routh-Hurwitz se puede utilizar para investigar la ________________ de un sistema.
13.Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad están desacopladas sólo
cuando las masas no están __________________ conectadas.
14.La vibración de un sistema sólo en condiciones iniciales se llama vibración _________.
15.La vibración de un sistema sometido a fuerzas externas se llama vibración ________.
16.El orden de un sistema es el mismo que el orden del polinomio ___________ del sistema.
17.La respuesta de un sistema no restringido se compone de un movimiento de cuerpo rígido y movi-
miento ________.
5.4 Seleccione la respuesta más adecuada de entre las opciones dadas:

1. Cuando un sistema de dos grados de libertad se somete a una fuerza armónica, el sistema vibra a
a. la frecuencia de la fuerza aplicada
b. a una frecuencia natural menor
c. a una frecuencia natural mayor
2. Los grados de libertad de un sistema vibratorio dependen
a. de la cantidad de masas
b. de la cantidad de masas y los grados de libertad de cada masa
c. de la cantidad de coordenadas utilizada para describir la posición de cada masa
3. Un sistema de dos grados de libertad tiene
a. un modo normal
b. dos modos normales
c. muchos modos normales
484 Capítulo 5 Sistemas de dos grados de libertad
4. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad suelen ser

a. acopladas
b. desacopladas
c. lineales
5. La impedancia mecánica Zrs (iv) es
$! #! !
a. [mrs]x + [crs]x + [krs]x
Xr(iv)
b. b r
Xs(iv)
c. - v2mrs + ivcrs + krs
6. La matriz de impedancia, que es [Z(iv)], se puede utilizar para determinar la solución como
! !
a. X = [Z(iv)] -1 F0
! !
b. X = [Z(iv)] F0
! !
c. X = [Z(iv)] X0
7. La configuración de un sistema que vibra a una de sus frecuencias naturales se llama
a. modo natural b. frecuencia natural c. solución
8. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad suelen aparecer como
a. ecuaciones algebraicas acopladas
b. ecuaciones diferenciales acopladas
c. ecuaciones desacopladas
5.5 Correlacione los elementos en las dos columnas siguientes:
1. Acoplamiento estático. a. Sólo la matriz de masa es no diagonal

2. Acoplamiento inercial b. Las matrices de masa y amortiguamiento son no diagonales
3. Acoplamiento de velocidad c. Sólo la matriz de rigidez es no diagonal
4. Acoplamiento dinámico d. Sólo la matriz de amortiguamiento es no diagonal
5.6 Correlacione los datos de la columna izquierda con las ecuaciones de frecuencia de la columna derecha
para un sistema de dos grados de libertad regido por las ecuaciones de movimiento:
$
J0u1 - 2ktu1 - ktu2 = 0
$
2J0u2 - ktu1 + ktu2 = 0
1. J0 = 1, kt = 2 a. 32v4 - 20v2 + 1 = 0
2. J0 = 2, kt = 1 b. v4 - 5v2 + 2 = 0
3. J0 = 2, kt = 2 c. v4 - 10v2 + 8 = 0
4. J0 = 1, kt = 4 d. 8v4 - 10v2 + 1 = 0
5. J0 = 4, kt = 1 e. 2v4 - 5v2 + 1 = 0
Problemas
Sección 5.2 Ecuaciones de movimiento para vibración forzada
5.1 Derive las ecuaciones de movimiento del sistema que se muestra en la figura 5.20.
5.2 Derive las ecuaciones de movimiento del sistema que se muestra en la figura 5.21.

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5.2 Indique si cada uno de los siguientes enunciados es verdadero o falso:

5.4 Seleccione la respuesta más adecuada de entre las opciones dadas:

4. Las ecuaciones de movimiento de un sistema de dos grados de libertad suelen ser

5.5 Correlacione los elementos en las dos columnas siguientes:

1. Acoplamiento estático. a. Sólo la matriz de masa es no diagonal

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