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GEOMETRÍA ANALÍTICA I
UNIDAD 5
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Introducción
La geometría analítica emplea métodos algebraicos y ecuaciones para el estudio de
problemas geométricos. Estudia las figuras, sus distancias, sus áreas, los puntos de
intersección, los ángulos de inclinación, etc. Además, permite la representación e inter-
pretación geométrica del álgebra. La idea básica de esta disciplina es el establecimiento
de una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y los pares (x, y) de
números reales.

En esta unidad estaremos introduciendo al tema de la geometría analítica donde se

analizarán problemas de lugares geométricos, en particular de la hipérbola.

Objetivos
General
− Describir analíticamente la hipérbola en el plano.

Específicos
− Identificar los elementos de la hipérbola.

− Manipular los elementos de las ecuaciones de la hipérbola.

− Resolver problemas de lugares geométricos, en particular de la hipérbola, em-

pleando las propiedades del plano cartesiano.

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5.1. La Hipérbola. Definición.

Hipérbola: es el lugar geométrico de los puntos P (x, y) en un
plano tales que la diferencia positiva entre las distancias de P a
un par de puntos fijos distintos, llamados focos, siempre es cons-
tante. (Cuellar, 2012).

La hipérbola posee dos ramas simétricas.

Asíntotas de la hipérbola
Sean una recta y una curva, ubicadas en un eje coordenado, que nunca se cruzan.
Si a medida que ambas se alejan del origen la distancia entre ellas tiende a cero, se
dice entonces que la recta es una asíntota de la curva.
Una asíntota puede ser una recta vertical, horizontal u oblicua, según su posición res-
pecto a los ejes de coordenadas. Así, la asíntota es
1. Horizontal si es paralela o coincide con el eje x (figura 1.1).
2. Vertical si es paralela al eje y o coincide con el (figura 1.2).
3. Oblicua si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados (figura 1.3).

Figura 1 Asíntotas de la hipérbola

1 2 3
Fuente: Cuellar, J. (2012). Geometría Analítica.

5.1. Elementos de la hipérbola.

I. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
II. Centro: Es el punto de intersección de los ejes transverso y conjugado.
III. Vértices: Los puntos V y V' son los puntos de intersección de la hipérbola con
el eje focal.
IV. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a
los focos.
V. Distancia focal: Es el segmento ̅̅̅̅̅
𝐹𝐹′ de longitud 2c.
VI. ̅̅̅̅̅
Eje transverso: Es el segmento 𝑉𝑉′ de longitud 2a.

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VII. Eje conjugado: Es el segmento ̅̅̅̅̅

𝐵𝐵′ de longitud 2b. (Los puntos B y B' se obtie-
nen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por cen-
tro uno de los vértices y de radio c).
VIII. Lado recto: Es el segmento de recta que es perpendicular al eje transverso y
pasa por un foco.

Figura 2 5.2 Elementos de la hipérbola.

Fuente: Cuellar, J. (2012). Geometría Analítica.

Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: y = - (b / a) x, y = (b / a) x
Relación entre los semiejes: c2 = a2 + b2

5.2. Ecuaciones de la hipérbola.

1. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y cuyos focos están en el
eje x.
𝒙𝟐 𝒚𝟐
− =𝟏
𝒂𝟐 𝒃𝟐
Lado recto:
LR = 2b2 / a

es la expresión con la que se calcula la longitud de cada uno de los lados rectos de una
hipérbola.

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Relación entre las cantidades a, b y c de una hipérbola

El valor a representa la distancia del centro de la hipérbola a uno de los vértices; b, la
distancia del centro a un extremo cualquiera del eje conjugado, y c la distancia del centro
a cualquiera de los focos. Para este tipo de cónica se tienen las relaciones siguientes
entre estas cantidades:
1. c > a
2. c2 = a2 + b2
3. Las tres constantes son positivas, ya que se trata de distancias.
Dominio y rango de la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en
el eje x
Despejando y de la ecuación de la hipérbola con las condiciones geométricas indicadas
se obtiene:

Excentricidad de la hipérbola
Igual que la elipse, la excentricidad de la hipérbola se define como la razón c / a; por
tanto:

Como c es mayor que a, la excentricidad de una hipérbola es mayor que uno.

EJEMPLO:
𝒙𝟐 𝒚𝟐
A partir de la ecuación de la hipérbola 𝟒
− 𝟓
= 𝟏 , determina:

a. las coordenadas de los focos;

b. las de los vértices;
c. la excentricidad;
d. la longitud de cada lado recto;
e. la del eje transverso;
f. la del eje conjugado;
g. las ecuaciones de las asíntotas.
Solución
a. Las coordenadas de los focos:
c2 = a2 + b2 = 4 + 5 = 9

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c=3
De acuerdo con la ecuación, la hipérbola tiene centro en el origen y sus focos
están en el eje x, con coordenadas F (3, 0) y F 9(-3, 0).
b. Las coordenadas de los vértices. Las coordenadas de los vértices son V (a, 0)
y
V´(-a, 0), donde a = 2. Así, los vértices de la hipérbola son V (2, 0) y V’ (-2, 0).
c. La excentricidad. e = c / a = 3 / 2 = 1,5
d. La longitud de cada lado recto. LR = 2b2 / a = 2 (5) / 2 = 5
e. La longitud del eje transverso. VV‘ = 2ª = 2 (2) = 4
f. La longitud del eje conjugado. BB′ = 2b = 2 5

2. Ecuación de una hipérbola con centro en el origen y focos en el eje y

1. Las coordenadas de los vértices son V (0, a) y V′ (0, -a).
2. Las coordenadas de los focos son F (0, c) y F′ (0, -c).
3. La longitud del eje transverso es 2a.
4. La longitud del eje conjugado es 2b.
5. La longitud de cada lado recto (LR) es 2b2/a.
6. La excentricidad es e = c / a
7. Las ecuaciones de las asíntotas son y = ax / b y y = - ax / b
Figura 3 Hipérbola con centro en el origen y focos en el eje y.

Fuente: Cuellar, J. (2012). Geometría Analítica.

8. Su gráfica consta de dos curvas o ramas: una de ellas se abre infinitamente

hacia arriba y la otra hacia abajo. En el intervalo -a < y < a no hay gráfica, es

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decir, el rango de la relación es el conjunto de los números reales, excepto los

que se ubican en el intervalo -a < y < a.
Respecto al dominio, al despejar y resulta la ecuación:

EJEMPLO:
𝒙𝟐 𝒚𝟐
Dada la ecuación de la hipérbola − = 𝟏 , determina:
𝟐𝟓 𝟏𝟒𝟒

a. las coordenadas de los focos;

b. las de los vértices;
c. la longitud del eje transverso;
d. la del eje conjugado;
e. la de cada lado recto;
f. la excentricidad;
g. las ecuaciones de las asíntotas.

Solución
a. Las coordenadas de los focos. Los focos están en el eje y, donde a = 5 y b =
12. Por tanto:
c2 = a2 + b2 = 25 + 144 = 169
c =  13
Las coordenadas de los focos son F (0, 13) y F′ (0, -13).
b. Las coordenadas de los vértices. Los vértices son de la forma V (0, a) y V ′ (0,
2a). Sus coordenadas son V (0, 5) y V′ (0, -5).
c. La longitud del eje transverso
VV ′ = 2a = 2 (5) = 10
d. La longitud del eje conjugado
BB´= 2b = 2 (12) = 24
e. La longitud de cada lado recto
LR = 2b2/a = 2 (144) / 5 = 288 / 5
f. La excentricidad de la hipérbola.
e = c / a = 13 / 5
𝑎𝑥
g. Las ecuaciones de las asíntotas. Las asíntotas son de la forma y =  𝑏
; luego:

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3. Ecuación en la forma reducida de una hipérbola con centro en C (h, k) y eje

focal paralelo al eje x
Si el centro de una hipérbola no está en el origen y su eje focal es paralelo al eje x, para
obtener su ecuación efectuamos una traslación de ejes, en la que el nuevo origen tenga
coordenadas (h, k) respecto al sistema original. Así, la ecuación de la hipérbola queda:

donde x’ = x - h y y’ = y - k.
Por consiguiente, la ecuación es:

Figura 4 Hipérbola con centro en C (h, k) y eje focal paralelo al eje x.

Fuente: Cuellar, J. (2012). Geometría Analítica.

Las expresiones de las coordenadas de sus vértices y focos son:

V (h + a, k) y V ′ (h - a, k)
F (h + c, k) y F ′ (h - c, k)
Si efectuamos una traslación de ejes al nuevo origen en el punto C (h, k) respecto al
sistema original, las ecuaciones de las asíntotas ahora son:

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Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola con centro C (h, k) y eje paralelo al
eje x son:

EJEMPLO:
Determina la ecuación de la hipérbola (en forma reducida y en forma general) con centro
en el punto C (4, 2), eje focal paralelo al eje x y longitudes de su eje transverso y conju-
gado iguales a 8 y 6 unidades, respectivamente.
Solución
De acuerdo con las condiciones geométricas señaladas, la ecuación de la hipérbola en
la forma reducida es del tipo:

donde h = 4 y k = 2; además: VV ′ = 2a = 8; a = 4
BB ′ = 2b = 6; b = 3
Por tanto, su ecuación es:

Ecuación de la hipérbola en la forma reducida.

Determinemos a continuación la ecuación de la hipérbola en la forma general:

Al multiplicar ambos miembros de la ecuación anterior por 144 (16 x 9) resulta:

9 (x 2 - 8x + 16) - 16 ( y 2 - 4y + 4 ) = 144
9x 2 - 72x + 144 - 16y2 + 64y - 64 = 144
9x2 - 16y2 - 72x + 64y - 64 = 0 Ecuación de la hipérbola en la forma general

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4. Ecuación de la hipérbola que pasa por cuatro puntos.

Para determinar una hipérbola con ejes paralelos a los ejes cartesianos se requiere co-
nocer las coordenadas de cuatro de sus puntos. Sabemos que la ecuación general de
la hipérbola con ejes paralelos a los ejes cartesianos es de la forma:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
donde, A y B son distintos de cero y de signo contrario. Si dividimos entre A ambos
miembros de la ecuación anterior se obtiene una ecuación equivalente de la forma:
x2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Al sustituir las coordenadas de los cuatro puntos en la ecuación anterior resulta un sis-
tema de ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, que son C, D, E y F, respectiva-
mente.
El sistema obtenido puede tener una, varias o ninguna solución y para que corresponda
a la solución de una hipérbola se requiere que el valor de C sea menor que cero, es
decir, un numero negativo.
EJEMPLO:
Halla la ecuación de la hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa
por los puntos (0, 3), (2, 1), (3, -3), (-1, -3).
Solución
La ecuación buscada es de la forma x2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Al sustituir las coordenadas de los cuatro puntos conocidos en la ecuación anterior, re-
sulta:

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Referencias bibliográficas
1- Bibliografía Básica
• Cuellar, J. (2012). Geometría Analítica. McGraw-Hill/Interamericana Edi-
tores, S.A. de C.V.
• Ramírez, L. (2013). Geometría analítica. Grupo Editorial Éxodo.
https://elibro.net/es/lc/biblioupap/titulos/130352
• Ruiz, J. (2015). Geometría analítica. Grupo Editorial Patria. https://eli-
bro.net/es/ereader/biblioupap/40392?page=113

2- Bibliografía Complementaria
• Larson, R. Hostetler, R. y Edwards, B. Cálculo y geometría Analítica. 6ta
ed. Vol. 2
• Raichman, S. (2016). Geometría analítica para ciencias e ingenierías. 1a
ed ilustrada. – Mendoza. Libro digital, PDF. ISBN 978-987-575-125-5.
• Galarza, Z. (2012). Circunferencia. abc. https://www.abc.com.py/edicion-
impresa/suplementos/escolar/circunferencia-435065.html

3- Biblioteca Virtual UPAP

• Ruiz, J. (2015). Geometría analítica. Grupo Editorial Patria. https://eli-
bro.net/es/lc/biblioupap/titulos/40392
• Carpinteyro, E. (2018). Geometría analítica. Grupo Editorial Patria.
https://elibro.net/es/ereader/biblioupap/40188?page=1
• Ramírez, L. (2013). Geometría analítica. Grupo Editorial Éxodo.
https://elibro.net/es/lc/biblioupap/titulos/130352

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