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HIPÉRBOLA

PEDRO EMMANUEL LÓPEZ

SANDOVAL
SANDRA GABRIELA RAMÍREZ
ROMO
CONALEP 110 JALOSTOTITLÁN
INTRODUCCIÓN
En esta investigación se encontrarán varios temas sobre las hipérbolas, como su
concepto, algunas de sus funciones, elementos, excentricidad, ejemplos, primeros usos
en la historia, y sus ecuaciones. Donde nos menciones que la hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos
llamados focos es constante en valor absoluto. Por otro lado, se encuentran sus
elementos que son: focos, radio vector, eje focal, eje secundario o imaginario, centro,
vértices, distancia focal, eje real, eje mayor, eje menor, eje de simetría, asíntotas y la
relación entre los ejes. En las funciones nos explica detalladamente que son nos da
algunas fórmulas y gráficas, también nos dice que nos sirven para para descubrir el
movimiento ondulatorio de los líquidos y los sólidos elásticos. Nos da algunos ejemplos
con sus gráficas. En sus ecuaciones noes enseña cómo es que se puede
representación de diferentes maneras.
DESARROLLO
CONCEPTO
La hipérbola es una curva con dos focos y simétrica a dos ejes perpendiculares entre
sí. Una hipérbola presenta dos ramas abiertas. Ambas se dirigen en sentidos opuestos,
aproximándose de forma indefinida a dos asíntotas. Esto hace que, considerando dos
puntos fijos, la diferencia de sus distancias sea constante. De acuerdo a la menor o
mayor abertura de las ramas de la hipérbola, se calcula su excentricidad. Esta
excentricidad se conoce dividiendo la mitad de la distancia del eje focal por la mitad de
la distancia del eje mayor. Su ecuación general es Ax2 – Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Nótese
que en las ecuaciones matemáticas debemos interpretar partes como Ax o Ey como la
multiplicación de las dos variables. Si A y C son mayores de 0 y sus coeficientes tienen
signos opuestos, entonces estamos ante la representación de una hipérbola con ejes
paralelos a los coordenados.

En la gráfica anterior, esto significa que para cualquier punto

de la hipérbola.
FUNCIONES
Las funciones hiperbólicas son un conjunto de funciones con definición y algunas
propiedades que son similares al conjunto de funciones trigonométricas. Pero, las
funciones hiperbólicas son funciones exponenciales y, por lo tanto, no son periódicas.
Son útiles para describir fenómenos físicos (por ejemplo, la velocidad de las olas o el
movimiento de un objeto en un fluido) por su conveniencia al resolver las diferencias
diferenciales. Las funciones hiperbólicas fueron importantes para la Teoría de la
Relatividad Especial de Einstein en las ecuaciones de transformación relacionadas a
diferentes marcos de referencia. Un círculo unitario con centro en el origen sigue la
fórmula x² + y² = 1; un punto dado por el par ordenado (x,y) se puede representar como
función de un ángulo t de la siguiente manera (x,y) = (cos t, sen t) . De igual manera,
una hipérbola unitaria con centro en el origen sigue la fórmula x² - y² =1; un punto dado
por el par ordenado (x,y) se puede representar como función del ángulo t de la
siguiente manera (cosh t,senh t). Estas funciones se denominan funciones
trigonométricas hiperbólicas, en particular, coseno hiperbólico y seno hiperbólico.
Además, algunas funciones hiperbólicas son útiles al describir la forma y características
de la forma física de un cable de alta tensión, o de un collar, o la arquitectura de
algunas estructuras conocidas.
 Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto P i de ambas ramas de la misma.
Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto P i.

 Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar

geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.
 Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2).
Su distancia a cada una es a/e (e es la excentricidad). Pasan por las
intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).

 Hipérbola vertical
La hipérbola vertical tiene el eje focal vertical, paralelo al eje de ordenadas Y.
 La hipérbola horizontal tiene el eje focal horizontal, paralelo al eje de las
abscisas
 Hipérbola equilátera

 La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares

entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º.
Relación entre semiejes de la hipérbola

 Los semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la

siguiente fórmula:

Geométricamente podemos encontrar los puntos B 1 y B2. Para ello, se trazan las
rectas tangentes a la cónica en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán
en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de
longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la
intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B 1 y B2. Siendo
O= (o1, o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B 1= (o1, o2+b) y B2=(o1,o2-b).
De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje
real (a) y la semidistancia focal (c):
ELEMENTOS
1. Focos: Son los puntos fijos y .
2. Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de
los focos.
3. Eje focal: principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
4. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento .
5. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
6. Vértices: Los puntos y son los puntos de intersección de la hipérbola con
el eje focal.
7. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a
los focos: y .
8. Distancia focal: Es el segmento de longitud .
9. Eje real: es es la distancia 2a entre vértices.
10. Eje mayor: Es el segmento de longitud .
11. Eje menor: Es el segmento de longitud .
Los puntos y se obtienen como intersección del eje imaginario con la
circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio .
12. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

13. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:

14. Relación entre los semiejes:
Una definición formal indica que considerados dos puntos (F1 y F2) que se denominan
focos, la hipérbola es el conjunto de los puntos del plano en los cuales el valor absoluto
que se registra al considerar la diferencia de sus distancias a los focos (los
mencionados F1 y F2) es constante.
Además de los focos, en la hipérbola es posible reconocer otros elementos. Entre ellos
aparecen el eje focal (la recta que pasa por ambos focos), el eje secundario (la
mediatriz que une el segmento que va de un foco a otro), el centro (el punto de
intersección de estos ejes) y los vértices.
A continuación, veremos una breve definición de algunos de los conceptos
complementarios antes mencionados. Comencemos por asíntota, el nombre que recibe
una recta a la cual se acerca de forma continua la gráfica de una función dada; dicho
de otra manera, la distancia entre ambas tiende a cero, aunque se extienden de
manera indefinida. También se puede decir que su comportamiento es asintótico. Un
ejemplo de esto se puede observar en las funciones racionales.
También hemos hablado de generatriz, una línea que por su movimiento se aprecia
como una figura geométrica. Puede ser una línea curva (que genere elipsoides,
esferas, etcétera) o una recta (que gire con respecto a un eje de rotación para formar
superficies cilíndricas o cónica, entre otras). Uno de los conceptos más importantes en
este contexto es el de foco, el cual pertenece al ámbito de la geometría y se puede
vincular a una superficie o una curva. Se trata de un punto que no suele pertenecer a
éstos, aunque sí permite mantener ciertas distancias constantes con todos sus puntos.

En el tercer tipo de sección cónica podemos apreciar una hipérbola.

EXCENTRCIDAD
La excentricidad mide lo «abierta» que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia
focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad es siempre mayor que la
unidad.

Siendo a y c el semieje real y la semidistancia focal.

La excentricidad es mayor que 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una
recta partida. Cuando la excentricidad crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas
al eje no transverso, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más
abiertas.

La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la

fórmula:

La excentricidad es un parámetro que indica la abertura de la hipérbola. Este número,

en el caso de las hipérbolas, siempre es mayor que .
EJEMPLOS

 Hipérbola con excentricidad

 Hipérbola con excentricidad .Esta hipérbola recibe el nombre de

hipérbola equilátera pues sus asíntotas están dadas por

 Hipérbola con excentricidad

 Hipérbola con excentricidad
PRIMEROS USOS EN LA HISTORIA
El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo a cargo de Menecmo, nacido en
Grecia en el año 380 a. C. y especializado en las matemáticas y la geometría. El
contexto de tal hito fue su investigación acerca de la duplicación del cubo, un problema
que lo llevó a demostrar que se podía solucionar cortando una parábola con una
hipérbola, algo que más adelante confirmaron Proclo y Eratóstenes.
Si bien Menecmo usó la hipérbola en su trabajo, pasó alrededor de un siglo hasta que
alguien acuñara este término. Y fue el matemático y astrónomo griego Apolonio de
Perge, quien lo incluyó en su tratado titulado Cónicas, uno de los escritos más
importantes de la época.
ECUACIÓN

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:

En la hipérbola horizontal:

Siendo (x, y) un punto de la cónica, (o1, o2) el centro y a y b el semieje real y el semieje
imaginario.
Si la hipérbola horizontal tiene su centro en el origen, O = (0, 0), su ecuación es:

En la hipérbola vertical:

Si la hipérbola vertical tiene su centro en el origen, O = (0, 0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general:

Siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que

los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.
En la hipérbola horizontal, el signo menos le corresponde a C y en la vertical, le
corresponde a A.
Asíntotas de la hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola horizontal (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se
aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las
asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.
Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y
el semieje imaginario (b).

Siendo a y b el semieje real y el semieje imaginario.

Cuando el centro de la hipérbola horizontal está en el punto (o1, o2), las ecuaciones de
las dos asíntotas serán.

Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola vertical con centro en el origen:

Pero las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola vertical con el en el punto (o1, o2):

La excentricidad mide lo «abierta» que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia

focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad es siempre mayor que la
unidad.

Siendo a y c el semieje real y la semidistancia focal.

La excentricidad es mayor que 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una
recta partida. Cuando la excentricidad crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas
al eje no transverso, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más
abiertas.
La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la
fórmula:
CONCLUSIÓN
Para finalizar con este trabajo aprendimos que una hipérbola es un lugar geométrico de
dos puntos, y a la diferencia de los puntos fijos se les llama focos. Que la hipérbola
tiene muchos elementos entre ellos está el centro, focos, ejes, radios, etc. Descubrimos
que sus funciones fueron importantes para la Teoría de la Relatividad Especial de
Einstein en las ecuaciones de transformación relacionadas a diferentes marcos de
referencia, que nos sirve para descubrir el movimiento ondulatorio de los líquidos y los
sólidos elásticos. Y así mismo que una ecuación hiperbólica se puede demostrar o más
bien expresar de diferentes maneras.