F1 y F2 son los focos de la hiprbola. La recta que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal.

Los puntos donde la curva interseca al eje focal se llaman vrtices V1 y V2 de la hiprbola. El segmento de la recta que tiene como extremos los vrtices de la hiprbola se llama eje transverso V1V2. El punto medio del eje transverso es el centro de la hiprbola.

La recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hiprbola es el eje normal. La distancia entre los focos F1F2 se denomina distancia focal. Los segmentos del eje normal B1B2 se denomina eje conjugado; B1 y B2 son los extremos del eje conjugado. Las rectas diagonales del rectngulo auxiliar son las asntotas de la hiprbola. Cada uno de lo segmentos del eje transverso, cuyos extremos son el centro de la hiprbola, y cada uno de los vrtices se llama semieje transverso. Cada segmento del eje conjugado, cuyos extremos son el centro de la hiprbola y cada uno de los extremos del eje conjugado, se llama semieje conjugado.

Se considera cuando el centro de la hiprbola se encuentra en el origen.

TEOREMA 1: Si el eje focal coincide con el eje X, y los focos en los puntos (c,0) y (-c,0).

V(-a,0)

V(a,0)

x y  2 !1 2 a b
Si el eje focal coincide con el eje Y, y los focos en los puntos (0,c) y (0,-c).

F (-c,0)

X F (c,0)

(eje focal)

Y (eje focal)
F(0,c)
V(0,a)

y 2 x2  2 !1 2 a b

C(0,0)

V(0,-a)

F(0,-c)

a = Distancia de un vrtice a un foco b = Distancia del centro a un extremo del eje conjugado c = Distancia del centro a cada foco a, b y c estn ligados en la relacin: Y

c2 ! a2  b2

b
V V

X F

(eje focal)

a c

a c

Formulas de los componentes de la hiprbola

La excentricidad esta dada por:

Y la longitud del lado recto:

c a b e! ! a a

>1

2b 2 a

Excentricidad: mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hiprbola.

ASINTOTAS

ASINTOTA Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asintota de la curva.

ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA
Ecuacion de la hiperbola: b x a y =a b Despejamos Y para obtener las rectas de la asintota y obtenemos:

Frecuentemente se desea investigar lo que ocurre en una ecuacion cuando una de las varoiables aunmenta numericamente sin limite o al infinito. Si unpunto de la hiperbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abcisa X aumenta numericamente sin limite, el radical de la ecuacion ( ) se aproxima mas a la unidad y llega a ser cero y la ecuacion tiende a la forma:

Y= +- b/a(X)

Y esto representa las rectas:

Y= - b/a (x)

*Para cuando los valores son en el segundo cuadrante.

PROBLEMA:
Hallar la ecuacion de la hiperbola que pasa por el punto (6, ) Tiene su centro en el origen, su eje transverso esta sobre el eje X y una de sus asintotas es x-5y=0

Consideremos la hiprbola especial cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud . Entonces a = b ; y la ecuacin b x-a y = ab toma la forma mas sencilla x-y=a. (1) Debido a la igualdad de sus ejes, la hiprbola (1) se llama hiprbola equiltera. Por el teorema 2 , las asntotas de la hiprbola equiltera 1 son las rectas x-y=0 y x + y=0 Como estas rectas son perpendiculares , resulta que sus asntotas de una hiprbola equiltera son perpendiculares entre si.

Por esta razn la hiprbola equiltera se llama hiprbola rectangular. Una forma particularmente simple y til de la ecuacin de la hiprbola equiltera es : x y=k ( )

En donde k es una constante cualquiera diferente de cero. demostrada la curva ( ) tiene por asntotas a los ejes coordenados, y que, si k es positivo la grafica es como se ve en la figura 98.

SI dos hiprbolas son tales que el eje transverso de cada una es idntico al eje conjugado de la otra, se llaman hiprbolas conjugadas . Cada hiprbola es entonces la hiprbola conjugada de la otra , y tambin se dice que cada hiprbola es conjugada con respecto a la otra .

Si la ecuacin de una hiprbola es:

x a

y b

(1) =1

entonces , de acuerdo con la definicin la hiprbola conjugada de ( 1 ) tiene por ecuacin :

y b

x a

( ) =1

Evidentemente , la ecuacin ( ) puede obtenerse de la ecuacin (1) cambiando simplemente el signo de uno de los miembros de la ecuacion(1) .

El par de hiprbolas conjugadas (1) y ( ) , junto con sus asntotas , se han trazado en la figura 99

Cuando su eje focal es paralelo a al eje Y su ecuacin es:

Para cada hiprbola , se puede encontrar la longitud del centro a cada foco : c= la distancia del centro a cada foco a= es la longitud del semieje transverso b= las del semieje conjugado

Para cada hiprbola la longitud del lado recto es , y la excentricidad e est dada por la relacin:

Si los coeficientes A y C diferentes en el signo, la ecuacin: Representa una hiprbola de ejes paralelos a los coordenados, o un par de rectas q se cortan.

TEOREMA 6: Las ecuaciones de las tangentes a la hiprbola b x - a y =a b

De pendiente m son:

PROPIEDADES DE LA HIPERBOLA
TEOREMA 5: La ecuacin de la tangente a la hiprbola. b x - a y =a b En cualquier punto de la punto de la curva P1(X1,Y1) b X1X a Y1Y= a b

TEOREMA 6: Las ecuaciones de las tangentes a la hiprbola b x - a y =a b

De pendiente m son: