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ARITMÉTICA Semana2
ARITMÉTICA Semana2
ARITMÉTICA Semana2
Aritmética
TEORÍA DE CONJUNTOS
La palabra conjunto es un término no definido, sin embargo, dicha palabra nos da la idea
de una colección de objetos que tienen una característica común.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
A = { a; e; i; o; u } A = { x / x es una vocal }
Cardinal de un Conjunto
Clases de Conjuntos
Conjuntos Iguales(=): Dos conjuntos son iguales, si tienen los mismos elementos.
Conjunto Potencia de M: Es aquel conjunto formado por todos los subconjuntos del
conjunto M. Se denota por P(M).
Ejemplo: Si M = {1; 2; 3} P (M) = { {1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; M; Φ}
Vea que se cumple que: # [P (M)] = 23 = 8
Conjuntos Comparables
Dos conjuntos son comparables, cuando al menos uno de los conjuntos contiene al otro.
Aritmética
EJERCICIOS
1. En el aula “A” de 30 alumnos de una institución educativa, se formó el grupo de
estudio “Los Aritméticos”, integrado por 3 varones y 3 mujeres. Indique el valor de
verdad en cada caso.
I. Si Ana es del grupo de estudio, entonces no pertenece al aula “A”.
II. Si María es del aula “A”, entonces existe un varón como integrante del grupo.
III. Si todas las mujeres forman parte del grupo, entonces existe una mujer en el
grupo.
IV. Si por lo menos un varón es parte del grupo, entonces existe una mujer en el
grupo.
V. Siempre se podrá formar una pareja mixta dentro del grupo.
A) FVVVV B) FVFVV C) VFVFV D) VFFVV
Solución:
I) F II) V III) V IV) V V) V
Rpta.: A
2. Jorge, estudiante del CEPREUNMSM (local central), crea un grupo de estudio en el
WhatsApp con alumnos de otros locales para compartir información académica.
Para ello publica un reto que debe ser resuelto correctamente como requisito para
formar parte del grupo. Dado el conjunto M ;1;0;; y P(M) su conjunto
potencia. Indique los valores de verdad de:
I. M M
II. M P(M) P(M)
III. 0;1 P(M) 0;1 P(M)
Si Pedro es aceptado en dicho grupo, ¿cuál fue su respuesta?
A) FVF B) VFF C) VVF D) FFV
Solución:
𝑀 = {∅; 1; 0; {∅}}
I. V ˄ V = V
II. V ∆ V = F
III. V→ F= F
Rpta.: B
3. Si la edad de la profesora Milagros y la de su hijo Raúl están representados por la
cantidad de todos los subconjuntos posibles de los conjuntos
3x 5 x 1 x
M x / x 20 y R / . Determine la suma de
4 3 3
dichas edades.
A) 17 B) 20 C) 25 D) 33
Solución:
3x 5
M x / x 20 1;5;9;13;17
4
x 1 x x3 x 1
R /
3 3 3 3 3
R
#P(M) #P(R) 25 1 33
Rpta.:D
4. María tiene diferentes tipos de flores, Juana tiene un tipo más que María. Con
respecto a la cantidad de maneras diferentes que María y Juana tienen para formar
ramos de flores, podemos decir que:
Solución:
n= número de flores que tiene María.
m= número de flores de Juana: m=n+1
Cant. ramos de flores que puede formar María: 2n 1
Cant. ramos de flores que puede formar Juana: 2m 1 2n1 1 2 2n 1 1
Rpta.: C
5. De un grupo de amigos que asistió a una fiesta, se sabe que el número de mujeres
excede en 3 al número de varones y la cantidad de parejas mixtas que se pueden
formar es 18. Si las mujeres nunca van a los servicios higiénicos solas y siempre lo
hacen entre ellas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ir las mujeres a los
servicios higiénicos?
A) 57 B) 30 C) 14 D) 60
Solución:
Sean:
M: El conjunto de mujeres presentes en el grupo
H: El conjunto de hombres presentes en el grupo
X: El número de maneras diferentes que las mujeres pueden ir a los SSHH.
Por dato tenemos:
#(MxH) = # (M) # (H) = 18 …(I)
Además: # (M) = # (H) + 3 … (II)
De (I) y (II): # (M) = 6 ; # (H) = 3
Luego, 26 6 1 57
Rpta.: A
A) 21 B) 25 C) 18 D) 27
Solución:
M : 2 3x 1 23 1 x 8 M 1;2;3;4;5;6;7;8
1 2x 1
L: 0 x 7 5 L 1;2;3;4;5
3 3
T M L 6;7;8
7. Juana diariamente realiza moños para ello entrelaza cintas de diferentes colores. Si
el día de ayer se le acabaron dos de las cintas y el día de hoy observa que el
número total de moños que puede realizar disminuyó en 384, ¿cuántas cintas de
diferentes colores tenía el día de ayer?
A) 9 B) 7 C) 8 D) 6
Solución:
2n(A ) 1 2n(A )2 1 384
2n(A )2 22 1 384 n(A) 2 7 n(A) 9
Rpta.: A
I. x,y M; x 2 y 2 10
II. x M, y M; x 1 4y
2 2
III. z M, x,y M; x y 2z
IV. x M, y M; x 2 y 2
A) 7 B) 2 C) 3 D) 6
Solución:
I) (F) II) (V) III) (V) IV) F
Total verdaderos: 2
Rpta.: B
9. Carlos tiene 5 amigos más que Pedro, además los amigos de Carlos no son amigos
de Pedro. Si Carlos y Pedro deciden salir a pasear con un grupo de dos o más de
sus amigos por separado, entonces el número de formas diferentes que puede salir
a pasear Carlos excede al de Pedro en 243. ¿Cuántos amigos tiene Pedro?
A) 4 B) 5 C) 3 D) 6
Solución:
# Amigos de Carlos = x+5
# Amigos de Pedro = x
Por dato:
2 x 5
x 5 1 2x x 1 243
Solución:
87
# graduados = 28 1 8 = 219
2
Rpta.: A
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. César desea asistir a una fiesta infantil con sus amigos, por ello le pide propina a su
padre; este le propone el siguiente ejercicio. Si L ;4;6;4; y P(L) es el
conjunto potencia de L.
I. n(P(L)) 16 4 L
II. 6; L P(L)
III. 6;6 P(L) 4 L
IV. 4 P(L) P(L)
V. 6 P(L) 4;4 P(L)
Por cada valor verdadero correctamente hallado le entrega S/5 y por cada Falso
correctamente hallado, S/3. Si César resolvió correctamente el ejercicio, ¿cuántos
soles recibió?
A) 25 B) 21 C) 15 D) 23
Solución:
𝐿 = {∅; 4; 6; {4}} entonces
V ˄ V =V
V ↔ V=V
V∆ F = V
V→V =V
F F =F
César recibió: 4(5)+1(3) = 23 soles
Rpta.: D
2. En una reunión de amigos, se propone formar comisiones con por lo menos dos
integrantes, para organizar la fiesta de fin de año. Si se pueden formar 26
comisiones diferentes, ¿cuántos amigos asistieron a la reunión?
A) 1 B) 2 C) 5 D) 10
Solución:
# Amigos: n
# comisiones 2n 1 n 26
entonces n 5
Rpta.: C
A) 7 B) 5 C) 8 D) 6
Solución:
A) 92 B) 84 C) 90 D) 85
Solución:
a2 b2
M : a b 16, a b 6 a 11, b 5 73
2
L 73;cd;c d cd 73, c 7, d 3
5. María participa en un examen de selección para obtener una beca de estudios, para
ello debe responder correctamente los enunciados dados. Si se tiene el conjunto
M x / x x 2 6 5x , ¿cuál o cuáles de los siguientes enunciados
son verdaderos?
I. x M / x 5 6
II. x M / x 2 1 5
III. x M / x3 1
Solución:
M x /
x
x 2 6 5x
M x / x
x 2 6 5x 2;3
Luego,
I) V II) F III) F
Rpta.: A
6. Susana tiene cierta cantidad de frutas, todas diferentes, si para preparar jugo surtido
que tenga por lo menos tres frutas, existen 219 maneras diferentes, ¿cuántas frutas
tiene Susana?
A) 7 B) 9 C) 10 D) 8
Solución:
# Frutas diferentes: n
n(n 1)
# con dos o más frutas 2n 1 n
2
219
n8
Rpta.: D
Solución:
0 x 3 1 x3 1 28
26 25
#(M) 26 # subconj bin 325
2
Anita tiene 325 caramelos.
Rpta.: B
A) 6 B) 12 C) 8 D) 15
Solución:
# Pinturas básicos: n
n(n 1)
# variedades de colores 2n 1 n 42
2
n6
Rpta.: A
A) 4 B) 1 C) 2 D) 3
Solución:
n(P(L)) n(P(J)) 318
2n(L) 1 2n(J) 1 318
24k 23k 320 23k 2k 1 64 5
k 2, n(L) 6, n(J) 8
n(L) n(J) 2
Rpta.: C
10. Las cantidades de golosinas que tienen las amigas Alexia, Edith y María coinciden
con los cardinales de los conjuntos P(), P(P()) y P(P(P())) respectivamente. Si P
es el conjunto potencia, ¿cuántas golosinas tienen entre las tres amigas?
A) 7 B) 2 C) 3 D) 6
Solución:
#P() #P(P()) #P(P(P())) 1 2 4 7
Rpta.: A
Solución:
I. FALSO: La formación de granizo se realiza por solidificación de gotas de agua,
las cuales se van agrupando hasta formar el granizo.
II. FALSO: Para que la condensación (cambio de gas a líquido) ocurra, la sustancia
debe experimentar un descenso de temperatura.
III. VERDADERO: Una bolilla de naftalina pasa al estado gaseoso por sublimación.
Rpta.: B
Solución:
Corrosión de una lata de aluminio C. Químico
Pulverización de una tableta de aspirina C. Físico
Desintegración del Uranio C. Nuclear
Explosión de la nitroglicerina C. Químico
Licuación del gas metano C. Físico
Rpta.: C
8. La energía térmica (calor) se define como la energía transferida desde un punto más
caliente a otro más frío como consecuencia de una diferencia de temperatura. Al
respecto, determine la temperatura final, en °C, de un bloque de cobre de 200 g
luego de perder 2340 J, si su temperatura inicial fue de 55 °C.
𝐽
(Dato: c. e.𝐶𝑢 = 390 𝑘𝑔°𝐶 )
A) 25 B) 85 C) 35 D) 65
Solución:
−𝐐 = c. e.× m × ∆T
J
−𝟐𝟑𝟒𝟎𝐉 = 390 × 0,2 kg × (T𝑓 − 55)°C
kg °C
T𝑓 = 25°C
Rpta.: A
A) 45 B)56 C)68 D) 60
Solución:
+𝐐𝒈𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐 = −𝐐𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒐
+ c. e. × m × ∆T = − c. e.× m × ∆T
400 × (T𝑒𝑞 − 20) = − 600 × (T𝑒𝑞 − 80)
4T𝑒𝑞 − 80 = − 6T𝑒𝑞 + 480
T𝑒𝑞 = 56 °𝐶
Rpta.:B
Solución:
𝐸 = 𝑚 × 𝑐2
9 × 1014 𝐽 = 𝑚 × (3 × 108 𝑚/𝑠)2
14
𝑘𝑔 × 𝑚2
9 × 10 = 𝑚 × 9 × 1016 𝑚2 /𝑠 2
𝑠2
𝑚 = 1,0 × 10−2 𝑘𝑔 ≡ 0,01 𝑘𝑔
Rpta.:B
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. Gasolina.
II. Gas Helio.
III. Tinta de un bolígrafo.
IV. Concreto.
V. Sacarosa.
Solución:
Gasolina M. Homogénea
Gas Helio Elemento
Tinta de un bolígrafo M. Homogénea
Concreto M. Heterogénea
Sacarosa Compuesto
Rpta.: C
A) 5 y 2 B) 6 y 1 C) 4 y 3 D) 7 y0
Solución:
Propiedades Físicas Propiedades Químicas
Sólido
Blanco plateado Arde en el aire
Se funde a 649 °C
Hierve a 1105 °C En contacto con forma un
Densidad sólido blanco
Rpta.: A
A) 5 y 0 B) 2 y 3 C) 4 y 1 D) 3 y2
Solución:
Cambio Físico Cambio Químico
Tritura un trozo
Enciende un cerillo
de azufre
Combustión del azufre generando gases
Disuelve NaOH
en agua se combina con agua para formar un ácido
Rpta.: D
Solución:
+𝐐𝒈𝒂𝒏𝒂𝒅𝒐 = −𝐐𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒐
+ c. e. × m × ∆T = − c. e. × m × ∆T
𝑐𝑎𝑙
1 × 100 g × (18,3 − 15)°C = −c. e. × 50 g × (18,3 − 75)°𝐶
𝑔°𝐶
𝑐𝑎𝑙
1 × (−330) = −c. e.× (2835)
𝑔°𝐶
𝑐𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑙
c. e. = 0,116 = 1,16 × 10−1
𝑔°𝐶 𝑔°𝐶
Rpta.: D
Solución:
𝐸 = 𝑚 × 𝑐2
1 𝑘𝑔
𝐸 =4𝑔× × (3 × 108 𝑚/𝑠)2
1000 𝑔
𝐸 = 0,004 𝑘𝑔 × 9 × 1016 𝑚2 /𝑠 2
1𝑇𝐽
𝐸 = 3,6 × 1014 𝐽 → 𝐸 = 3,6 × 1014 𝐽 × = 360 𝑇𝐽 ≡ 3,6 × 102 𝑇𝐽
1012 𝐽
Rpta.: B
Aritmética
EJERCICIOS
1. José completó correctamente el siguiente cuadro, con los símbolos “” o “” en la Fila
1 y con los símbolos “” o “” en la Fila 2 y Fila 3 según corresponde:
I ' 5; I '
Fila 1 5
Fila 2 ; 2
Fila 3
21
Si por cada “” recibió 2 puntos, por cada “” recibió 1 punto y por el resto de símbolos
no recibió puntaje, ¿cuántos puntos obtuvo José?
A) 14 B) 15 C) 21 D) 18
Solución:
Fila 1
Fila 2
Fila 3
2. Francisco tiene cierta cantidad de libros, todos diferentes. Si para escoger al menos 3
libros, existen 99 maneras diferentes, ¿cuántos libros tiene?
A) 8 B) 6 C) 5 D) 7
Solución:
Números de libros que tiene = n
# Maneras de escoger 3 o más libros = Total – (#Maneras con 0; 1 o 2 libros)
= # sub conj – #sub conj (vacío + unitarios + binarios)
99 = 2n – 1 – n – [n(n – 1)/2]
Por lo tanto: n = 7
Rpta.: D
I. 6 3;5;6;7
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
Solución:
I. V II. F III. V IV. F
Rpta.: C
4. Sea M = {; {3}; {3,3};2;3} y P(M) el conjunto potencia de M, ¿cuántos de los siguientes
enunciados son verdaderos?
I. P(M) P(M)
II. P(P(M)) {2:3} M
III. {3;3;3} M {3} P(M)
IV. P(M) P(P(M)) {2; {3}} M
V. {2; } P(M) {{3};3} P(M)
A) 1 B) 3 C) 2 D) 5
Solución:
M = {; {3};{3,3};2;3}
P(M) = {; {3};{{3};3};{2; }…..}
P(P(M)) = {;……..;P(M)}
I. V V ≡ V
II. V F ≡ F
III. V ∆ V ≡ F
IV. V V ≡ V
V. F F ≡ F
Rpta.: C
5. Rocío tiene 4 frutas más que Lourdes, todas las frutas que tienen ambas son distintas.
Ellas prepararán por separado, con sus respectivas frutas, jugos que contengan por
lo menos dos frutas, en iguales proporciones en gramos. Si el número de formas
diferentes que puede preparar Rocío excede al de Lourdes en 476, ¿cuántas frutas
tiene Lourdes?
A) 6 B) 3 C) 5 D) 7
Solución:
Sea: # frutas de Lourdes = n
2n 4
1 n 4 2n 1 n 476 2n 4 2n 480
2n 16 1 480
n 5
Rpta.: C
I. a2 + b2 = 13
II. 2a – 3 > 2
III. #2a, b, a2 + #[Subconjuntos propios de M] = 4
Solución:
M = 4a – 1; 3b – 2; 7
4a – 1 = 7; 3b – 2 = 7 a = 2, b = 3, Luego: VFF
Rpta.: A
3x 1 3x 1
7. Dados los conjuntos P
/ 0 x 3 y T
/0 x 3 x ,
2 2
¿cuántos elementos de P no pertenecen a T?
A) 1 B) 0 C) 2 D) 3
Solución:
3x 1 1 3x 1
P=
/ 0 x 3 como 0 x 3 entonces 5
2 2 2
Luego P = {1; 2; 3; 4; 5}
3x 1 3x 1 7
T= / 0 x 3 x como x = 1;2;3 entonces = 2; ;5
2 2 2
7
Luego T = {2; ;5}
2
Los elementos que pertenece a P pero que no pertenece a T son: 1;3;4
Número de elementos son: 3
Rpta.: D
8. Dado el conjunto T = 1, 2, 3, 4, 5, ¿ cuál o cuáles de los siguientes enunciados son
verdaderos?
I.
II.
III. X P T / card X 0
Solución:
I.
II. X P T / 4,5,0 X
III. T , cumple
V,xpues x X5
si x 4 para
Rpta.: D
Solución:
# (M) = n + 1 2n + 1 – 2 = 12n + 2 n = 5 # (M) = 6
# Subconjuntos binarios = 6(5)/2 = 15
I '
I
5;
'
Rpta.: A
A) 6 B) 7 C) 5 D) 9
Solución:
P y M son conjuntos comparables entonces se cumple que uno está incluido en el otro
Supongamos que P ⊂ M
Además #(P) = x y #(M) = x + 4
#subcon propios de (P) + #subcon propios de (M) = 542
2#P – 1 + 2#Q – 1 = 542
2X – 1 + 2x+4 – 1 = 542
x=5
x+4=9
Por lo tanto: #(M) = 9
Rpta.: D
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Vladimir completó correctamente el siguiente cuadro, con los símbolos “” o “”
3
2 0
1
5
1
2
1
1
2
3,1416
Si por cada “” recibe 15 soles; y por cada “”, solo 5 soles, ¿cuántos soles recibió
Vladimir?
A) 90 B) 105 C) 85 D) 95
Solución:
3
2 0
1
10/9 5
1
2
4/3 1
1
2
3,1416 3,1416
2. María tiene 6 perros y desea salir a pasear con un grupo de 3 o más de ellos. ¿Cuántas
opciones diferentes tiene de escoger dicho grupo?
A) 42 B) 41 C) 56 D) 57
Solución:
# días = total subconj − #días (lleva 0 perritos) − #días (lleva 1 perritos ) –
#días (lleva 2 perritos)
6.5
# días = 26 – 1 – 6 –
2
# días = 42 = 7.6
Tiene 42 opciones diferentes.
Rpta.: A
A) 9 B) 11 C) 8 D) 7
Solución:
#de temperas que compró: x
#de colores = 2x – 1 – x = 502
Por lo tanto, x = 9
Rpta.: A
A) 21 B) 15 C) 24 D) 18
Solución:
Para que los tres hijos de maría nacieran el mismo día significa que las edades de los
tres hijos son iguales además x e y son enteros positivos
xx = 27 entonces x = 3
x + y = 27 entonces y = 24
y – x = 21
Rpta.: A
5. Dado el conjunto M = {{{1}}; {2}; {}; } y P(M) es el conjunto potencia de M, ¿cuántos
de los siguientes enunciados son falsos?
I. P(M) II. {{}} P(M) III. {{1}} M
IV. {{2}} P(M) V. P(P(M) VI. {; {2}} P(M)
A) 2 B) 1 C) 3 D) 4
Solución:
I. P(M), es VERDADERO pues el conjunto es subconjunto de cualquier
conjunto, en particular del conjunto M.
II. {{}} P(M), es VERDADERO pues {} P(M).
III. {{1}} M, es FALSO, pues el objeto {{1}} aparece como elemento del conjunto M.
IV. {{2}} P(M), es VERDADERO, pues {{2}} M, debido a que {2} M.
V. P(P(M), es FALSO, pues el conjunto vacío es subconjunto de cualquier
conjunto, en particular de P(P(M)).
VI. {; {2}} P(M), es FALSO, pues {; {2}} M, debido a que los objetos ; {2} son
elementos del conjunto M.
Rpta.: C
6. Si se sabe que algunos futbolistas son atletas y todos los atletas son vegetarianos,
entonces se puede deducir que:
I. Todos los futbolistas son vegetarianos.
II. Si un futbolista no es vegetariano, no es atleta.
III. Algunos vegetarianos son futbolistas.
A) II y III B) Solo I C) Solo II D) I y III
Solución:
De los datos:
Vegetarianos
Futbolistas Atletas
x
Se deduce II y III.
Rpta.: A
7. Dados los conjuntos A, B, C, D y E tal que n(P(D)) n(P(E)) 40, n(E) n(D) ,
B X / X A , n(P(B)) 256 y C X / X D, X D . Halle el valor de
n(D) n(C) n(E) n(B) n(A) .
A) 48 B) 44 C) 29 D) 57
Solución:
n(P(D)) n(P(E)) 40 25 23 n(D) 5, n(E) 3
C = P(D) – {D} …Como n(D) 5 n(C) 25 1 31
Luego n(P(B)) 256 n(B) 8
B = P(A)… Entonces n(P(A)) 8 n(A) 3
Así n(D) n(C) n(E) n(B) n(A) 33 24 57
Rpta.: D
A) 3 B) 7 C) 9 D) 5
Solución:
Sea el número de delegados: n
# Sub.Bin.
n 1 n 6 n 4
2
2 1 4 6 5
4
Rpta.: D
A) 16 B) 15 C) 11 D) 13
Solución:
# alumnos: x
m – n = 350
x(x 1)(x 2) x(x 1)
– = 350
6 2
Por lo tanto, x = 15
Rpta.: B
10. De un grupo de socios se debe elegir una comisión de dos de ellos para la evaluación
de un nuevo proyecto. Si hay 276 opciones posibles de elegir dicha comisión y la
cantidad de varones excede en 14 a la cantidad de mujeres, ¿cuántas mujeres hay en
dicho grupo?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5
Solución:
Sea A el conjunto de amigos #(A) = n
N° subconj. binarios(A) = n(n – 1) / 2 = 276 n = 24
# mujeres = 5; # varones = 19
Por lo tanto, 5 mujeres
Rpta.: D
Aritmética
EJERCICIOS
A) 1 B) 4 C) 3 D) 2 E) 5
Solución:
U x /1 x 20 , V x U / x es primo
W x U / x es primo impar , S x U / x es par
I) W es subconjunto propio de V.
II) S V.
III) n(W) = n(V) -1.
IV) n(U) = n(V)+12.
V) La cantidad de elemntos que no pertenecen a V ni a S es 2.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
3. Lucy cuenta con monedas de varios países, una de cada país. Ella observa que
entregando dos monedas o más a su único hijo, lo puede hacer de 26 formas
distintas. ¿Cuántas monedas tiene Lucy?
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
Solución:
# Formas = 26 2n (1 n) n 5
Rpta.: C
2 x 1
4. Dados los conjuntos S N / 1 x 14 , T 2t Z / t 2 t 4 y
3
M { 5r / r S r T } . Halle el número de subconjuntos propios, no nulos de M .
A) 6 B) 2 C) 14 D) 0 E) 30
Solución:
De los datos se tiene:
2 x 1
S N / 1 x 14 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7 ,8
3
T 2t Z : t 2 t 4 2t Z : t 2 t 4 3, 2,..., 6, 7
M { 5r / r S r T } 5r / r 8 40
#(subconjuntos propios no nulos de M) 21 2 0
Rpta.: D
A) 13 B) 12 C) 8 D) 3 E) 6
Solución:
n T n P L 1 1023 n L 10,
n S n P L n(sub conjuntos unitarios de L) 1014
cifras(n S ) 1 0 1 4 6
Rpta.: E
A) 13 B) 7 C) 1 D) 8 E) 10
Solución:
Tenemos que:
x 2 1 10 x 3; como x y 7
x 3 y 10
Luego : y x máx 13
x 3 y 4
Rpta.: A
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
Solución:
Sea “ n ” la cantidad de variedades distintas de camote.
n(n 1)
2n 1 n 219 n 8
2
Rpta.: B
8. Juan tiene en su corral solo gallinas y gallos. El número de gallinas es mayor que el
número de gallos, además el número de subconjuntos formados con todas las
gallinas sumado con el número de subconjuntos formados con todos los gallos es
144. Si la venta de estas aves se realizará por parejas (un gallo y una gallina), ¿de
cuántas maneras diferentes puede vender Juan todas sus aves?
A) 24 B) 20 C) 28 D) 30 E) 35
Solución:
A) 12 B) 15 C) 9 D) 10 E) 13
Solución:
n F 2n G , 2n (F) - 2 n (G) 992= 2 n (G) 2 n (G) 1 25 (25 1)
entonces n(G) 5, n(F) 10.
Como tres excursionistas peretenecen a los 2 grupos
entonces hay un total de12 excursionistas.
Rpta.: A
5x 3
10. Sea el conjunto G Z / 8 x 12 x Z y L el conjunto formado por
6
todos los subconjuntos no nulos de G . Halle n L .
A) 15 B) 31 C) 3 D) 63 E) 7
Solución:
5x 3
G Z / 8 x 12 x Z
6
8 x 12 x Z x 7, 6, ,10,11,12 G 2,3,8
L P G n L n P G 1 23 1 7
Rpta.: E
EJERCICIOS PROPUESTOS
x L / 2 (2019) 2
x
I.
II. x L , y L : x y 8
III. x Q / x 2
x 6 0 L
I ) V, II) F III) V
Rpta.: A
2. Los niños Daniel y Camila tienen témperas, todas de diferentes colores. Daniel tiene
cuatro colores menos que Camila. Si ambos pintan por separado mezclando las
témperas en la misma proporción y de las distintas formas posibles, la suma entre
este número de formas de mezclar es 4330, ¿cuántos colores de témperas tienen
entre los dos niños?
A) 19 B) 21 C) 15 D) 16 E) 20
Solución:
Solución:
11.12 10.11.12
x 212 - 1+12 + = 3797
2 6
Rpta.: A
4. Sean F 2a 2 1; 4a 5 , G a b; 4b 1 y H b2 1; 7 ; si a 0, F es
I. n M 5
II. 3 ; 4 P M
III. P M
IV. 3; 1; 2 M
Solución:
F 2a 2 1; 4a 5
Como F es unitario, luego
2a 2 1 4a 5 a2 2a 3 0 a 3
Luego G 3 b; 4b 1 b2 1; 7 H b 4
Así M a;b a;1; 2a b; 2b 5 3;1;1; 4; 3 3;1; 4
Luego I )F , II )V, III) F, IV )F
Rpta.: D
A) 8 B) 10 C) 14 D) 7 E) 11
Solución:
Por dato :
n M 2n P
n M n P n M n P 2n P n P
2 1 2 1 4032 2 2 4032 2 2 4032
n P n P
2 2 1 4032 64 63 n P 6 n M 12,
si ambos comparten 4 elementos luego n T 14
Rpta.: C
A) 12 B) 8 C) 16 D) 14 E) 10
Solución:
x4
7. Si J Z / x 6 x 12 , determine el número de subconjuntos no binarios
2
de J .
A) 107 B) 5 C) 10 D) 22 E) 49
Solución:
De los datos se tiene:
x 6 x 12 x 6 x 12 J 1, 2,3, 4,5,8
n J 6 #Sub.conj.binarios (J) 15 #Sub.conj.no binarios. 26 15 49
Rpta.: E
8. S y J son los conjuntos formados por las edades de los dos sobrinos de Sofía y por
las edades de las tres hijas de José.
Si S J 2;m ; 2q 1;p ; 3n 20;14 ; 2;14 ; 7;12 ; 2;10 , halle el valor de
m n p q
A) 36 B) 33 C) 38 D) 35 E) 37
Solución:
2;14 S J 2 S 14 J
2;10 S J 2 S 10 J S 2,7 J 12;14;10 n S J 2 3 6
7;12 S J 7 S 12 J
entonces : n 9, m 12, p 10, q 4 m n p q 35
Rpta.: D
k 12
9.
Dado los conjuntos J j Z / j 2 16 10 j , K 3k 1/ k Z 3
k
13 y
M m / m K m J ; halle el número de subconjuntos unitarios de M .
A) 3 B) 1 C) 2 D) 7 E) 4
Solución:
J 2,8
K 3k 1/ k Z 1 k 6 5,8,11,14
M 5,11,14 #(subconj.unitarios de M) 3
Rpta.: A
I. x M / x 1 x 1 3
2
II. x M , x 0 x 3
III. x Q / x3 4 x2 3x 0 M
Solución:
I ) V, II) F y III) V
Rpta.: B
Aritmética
EJERCICIOS
1. Dado A = {2; {5}; {3;4}; 7; { {6} }; }, considere las siguientes proposiciones:
A) 16 B) 8 C) 24 D) 20 E) 12
Solución:
I. (V) porque 5 sí es elemento de A
II. (F) porque ni 3 ni 4 son elementos de A
III. (V) porque el 7 sí es elemento de A
IV. (V) porque el que es elemento es 6
V. (V) porque 3 no es elemento de A
VI. (F) porque 4 A y 5 A
A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E) 12
Solución:
4a + 1 = a + 2b – 2 = 3a + 4
a = 3; b = 6
Luego S= {6,6,3,3} = {3,6}, así n(S) = 2.
Por lo tanto: #subconjuntos no unitarios de S = 2 2 – 2 = 2
Rpta.: B
A) 16 B) 12 C) 8 D) 11 E) 9
Solución:
Sea A el conjunto de alumnos #(A) = n
N° subconj. binários(A) = n(n–1) / 2 = 190 n = 20
Por lo tanto: # mujeres = 12; #hombres = 8
Rpta.: C
4. Luego de terminar sus clases matutinas, Karina, pasa por el restaurante: “A comer
rico”, donde siempre presentan buffet criollo con 5 diferentes platos de fondo. Si
Karina decide almorzar allí, sirviéndose solo una vez, combinando los platos en la
forma que quiera, pero siempre en partes iguales. ¿de cuántas formas diferentes
puede servirse?
A) 15 B) 7 C) 31 D) 32 E) 63
Solución:
5. En una fiesta familiar participan solo mujeres y hombres, adultos. Si la suma de los
cardinales de los conjuntos potencias de hombres y mujeres es 80. ¿Cuántas
parejas mixtas de baile se pueden formar?
A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 26
Solución:
Sea n(A) número de mujeres
n(B) número de hombres
la suma de los cardinales de los conjuntos potencias de A y B son:
n( A ) n( B )
2 2 80
entonces n(A)=6 y n(B) = 4
luego el numero de parejas mixtas de baile son:
n(A) x n(B) = 6x4 = 24
Rpta.: C
Solución:
# alumnos
Sección A: n
Sección B: n+3
Tenemos
11.10
2n+3 1 (2n 1) = 1792 n = 8 211 1 11 1981
2
Rpta.: A
Solución:
F= {(3 x+2) ∈ Z /−2≤ x <7}
−4 ≤3 x +2<23
F= {−4; −3; −2; −1, …;22}
G= {(3 x +2) /−2 ≤ x <7, x ∈ Z}
x: −2; −1; 0 ;1; 2; …;6
G= {−4; −1; 2 ;5, …;20}
(5 22)
suma de elementos de F= 18 243
2
Rpta.: E
A) 4 B) 2 C) 1 D) 8 E) 16
Solución:
2n(F) 16 24 n(F) 4
2n(G) 8 23 n(G) 3
Luego tendrá: 21 = 2
Rpta.: B
Calcular
A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 1
Solución:
(x Z x 5) x Z x 5
M {0,3;8;15;24}
Rpta.:C
EJERCICIOS PROPUESTOS
I. 1 P(A) II. 2; {1,2} P(A) III. {1} P[P( A)]
Solución:
I. V
II. F
III. F
Rpta.: C
2. Dados F= {a3; 2b4}, G= {4a; b-a; ab} y H= {2a; 4b}, se sabe que solo dos de ellos son
unitarios, siendo a y b números enteros positivos que toman los mismos valores
respectivos en los tres conjuntos. Determine el número de subconjuntos no vacíos
de P(G).
A) 255 B) 7 C) 15 D) 63 E) 3
Solución:
Como no existen a y b enteros positivos tal que G sea unitario, entonces F y H
son unitarios, luego a3 = 2b4 ; 2a= 4b a=2b
Luego: G = {32; –4; 32} = {32; –4} entonces #G=2, así #P(G)=4.
A) 36 B) 15 C) 45 D) 10 E) 28
Solución:
Sea
Rpta.: E
4. Rosa tiene 2 caramelos menos que Patty. Si cada una forma todos los subconjuntos
posibles con sus caramelos, la primera tendría 3072 subconjuntos menos que la
segunda. ¿Cuántos caramelos tienen entre las dos?
A) 22 B) 26 C) 32 D) 36 E) 18
Solución:
Entonces
Entonces
Total de caramelos:
Rpta.: A
Semana Nº 2 (Prohibida su reproducción y venta) Pág.82
36
UNMSM-CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2018-II
A) 36 B) 49 C) 64 D) 94 E) 63
Solución:
Sea el número de alumnos matriculados : x
# de subconjuntos de al menos dos elementos 2 x 1
x
x(x 1)
# de subconjuntos de al menos tres elementos = 2x – x – 1
2
Se tiene la diferencia
x(x 1)
2x x 1 2x x 1 91
2
x(x 1) 14 13 x 14
Entonces #(Varones) = #(Mujeres) = 7
# (Parejas Mixtas) = 7x7 = 49
Rpta.: B
6. Héctor se comprometió con sus vecinos del condominio “El Valle Escondido” en
llevar de paseo a los 7 canes que habitan en el condominio, pero cada mañana
llevaría un grupo diferente de por lo menos 2 canes. ¿Cuántas mañanas
transcurrirán hasta que Héctor cumpla lo prometido?
A) 127 B) 121 C) 128 D) 126 E) 120
Solución:
# de canes = n = 7
# subconj. Unitarios = 7
# Grupos con 2 o más canes = # Total Grupos – (# Grupos con 0 o 1 canes )
= # total subconj – #subconj (vacío + unitarios)
= 27 – [1 + 7] = 128 – 8 = 120
Rpta.: E
3x 5
7. Dados los conjuntos F = {2x + 3/x N; 2 x 6} y G = N ; 5 x 13 .
2
Determine el número de elementos comunes.
A) 5 B) 6 C) 1 D) 4 E) 3
Solución:
F= {7,9,11,13,15}
3x 5
G= N ; 5 x 13 5 < x < 13 15 < 3x < 39 10 < 3x – 5 < 34
2
3x 5
5< 17
2
A) 63 B) 31 C) 15 D) 23 E) 7
Solución:
Rpta.: B
Solución:
Tenemos -1 < x < 4 - 3 < 3x < 12
- 2< 3x + 1 < 13
S = 1;2;3;…;12} (S) = 12
((P(S)) = 212
Rpta.: A
10. Sean los conjuntos:
L = {3m + n ; 5n + m + 2 ; 2m + 4n },
T = { x / x = 3nk n – 1 k m + 1 } y
M=
A) 64 B) 25 C) 7 D) 32 E) 8
Solución: