GEOMETRÍA Y

UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN

TRIGONOMETRÍA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA
CEPU CICLO I- 2023

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

I. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS a m
=
b n q
TEOREMA DE THALES ( L1 L2 L3 )
a q
b
L1 L2 L3
b n
a m

TEOREMA DEL INCENTRO Y CUATERNA ARMÓNICA

Teorema del incentro

c (I: incentro)
d
a b c
a m
b d
I
a c n Cuaterna armónica
= (a)(d)= (b)(c)
b d c a d
=
m a+b b c
COROLARIOS DE THALES ( L1 L2 ) =
n c

L1 L2 L1 TEOREMA DE MENELAO

b a m n
a b

n b c
m n
L2 m
a
a m a m p
= =
b n b n (a)(b)(c) = (m)(n)(p)
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
TEOREMA DE CEVA

a m
= b
b n q q m

a b
a n

n p c
m
(a)(b)(c) = (m)(n)(p)

1
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

II. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PROPIEDADES ADICIONALES

b T
T: punto de tangencia
ck a
ak
b c
a c
=
a b
c b d
q a q a
b bk

CASO ÁNGULO – LADO – ÁNGULO (ALA) d

n m x 2 = ab
b a q
a b a b x

a b
=
m n q
a
b
CASO LADO – ÁNGULO – LADO (LAL)

ab
m=
a+b
ak
a b
a
a a m
b bk

CASO LADO – LADO – LADO (LLL) T: punto de tangencia

x 2 = ab

ak ck b

a c x
a

b bk T

TEOREMAS
a a m
=
a m b n
m = m
b n
n
a a m
n

b n
b b

2
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

PROBLEMAS RESUELTOS 03. En la figura ABCD y DEF son polígonos

01. En la figura se muestran tres semicírculos y regulares. Si AD=DF y PE=12. Calcule BP
AO=3(BC). Calcule “x”
B C
E
P
P
x
F

A D F
A O B C

A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 26
A) 4 B) 2 C) 6 D) 3 E) 5
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
B C
x E
P P 12
x
F

A 3a O B a C A 2a D a H a F

9 3a x 2a
Prop. = = 3  x = 3. Thales: = = 2  x = 24 .
x a 12 a
02. Según el gráfico, AE=2 y EC=7, calcule AB 04. Una empresa nueva está buscando un logo
B para la espalda de sus uniformes y el pecho de los
mismos, los modelos son proporcionales. ¿Cuánto
mide el lado x del logo menor?

4
A E C
9 9
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3 2 6

RESOLUCIÓN 7,5 x

B A) 3 B) 4 C) 5 D) 4,5 E) 3,5

RESOLUCIÓN
a
x
7,5 9
Semejanza: =  3x = 2(7,5) = 15  x = 5 .
x 6
a
A 2 E 7 C

Prop. x2 = 2(9)=18  x = 3 2 .

3
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

05. Si AB=12 y BP=8, calcule BC. (P es punto de RESOLUCIÓN

tangencia)
B 3a E a C
B
3

F
x
C

A
A 4a D

P 3a 3 3 3
Semejanza: =  =  x = 4.
4a x 4 x

A) 3 B) 4 C) 5 D) 4,2 E) 4,8 07. En la figura, hallar AB

RESOLUCIÓN B 2 C

a
12 a
x

C 8
A 8 D
A
a A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
m
P RESOLUCIÓN

B 2 C
T. bisectriz interior:
a 12 3
= =  a = 3k y m = 2k
m 8 2
x
Prop.
a+ m 8
= 
5k 8 5 8
=  = a
a x 3k x 3 x
a
 5x = 24  x = 4,8 . A 8 D

06. En la figura ABCD es un rectángulo y

2 x
AD=4(EC). Calcule x ABC ADB: =  x 2 = 16  x= 4 .
x 8
B E C

F
x

A D

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

PROBLEMAS PROPUESTOS 04.En la figura, MN=1m y OM=2m. Calcule AB.

01.En un partido de fútbol del PSG, Messi ubicado B

A) 5m
en el punto M le hace un pase rasante a Neymar B) 5,5m  
C) 6m
ubicado en el punto N como muestra la figura. Si D) 7m
AB = 30 m, CD = 40 m y MN = 55 m, ¿qué E) 7,5m
distancia recorrerá el balón ubicado en N para que
llegue al punto P? (M, N y P son puntos colineales). O M
A C
N
120m

M D
05.Un puntero láser incide sobre un espejo plano
N 90m como se muestra en la figura. La distancia
P horizontal que avanza una hormiga que se
encuentra en el punto C es 3,5 m, en ese instante
es cuando el rayo de luz reflejado lo incide. Si
7(PB)=3(PC), halle AB.
A B C D A B

A) 30 m B) 32 m C) 33 m
D) 35 m E) 40 m

02.Una pieza de madera es cortada a través de la Espejo P

marca representada por la línea segmentada como
se muestra en la figura. Si 3AP=6PB=4BC=36cm.
Halle la longitud de la marca sobre la cual se
cortó.
B
D C
P
A) 2 m B) 1,5 m C) 3 m
D) 1,75 m E) 2,5 m

06.Según en gráfico, ¿a qué distancia se encuentra

q q el cóndor del punto E?
A Q C

A) 8 cm B) 5 cm C) 7 cm
D) 6 cm E) 4 cm
q
03.Un semáforo que mide 2 m proyecta una
sombra de 10 m, y al mismo tiempo la pared del
edificio proyecta una sombra de 80 m como se q
muestra en la figura. Halle la longitud de la altura E
de la pared.
100 m 800 m

A) 200 m B) 300 m C) 400 m

D) 450 m E) 600 m

07.En un triángulo rectángulo, recto en B, se traza

AB BC 14
la bisectriz interna BF tal que: + =
AF FC 5
Calcule r/R siendo r y R el inradio y circunradio del
triángulo ABC.
A) 13 m B) 14 m C) 15 m A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5
D) 16 m E) 18 m D) 4/5 E) 1

5
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

PROBLEMAS PROPUESTOS 04.En la figura, MN=1m y OM=2m. Calcule AB.

01.En un partido de fútbol del PSG, Messi ubicado B

A) 5m
en el punto M le hace un pase rasante a Neymar B) 5,5m  
C) 6m
ubicado en el punto N como muestra la figura. Si D) 7m
AB = 30 m, CD = 40 m y MN = 55 m, ¿qué E) 7,5m
distancia recorrerá el balón ubicado en N para que
llegue al punto P? (M, N y P son puntos colineales). O M
A C
N
120m

M D
05.Un puntero láser incide sobre un espejo plano
N 90m como se muestra en la figura. La distancia
P horizontal que avanza una hormiga que se
encuentra en el punto C es 3,5 m, en ese instante
es cuando el rayo de luz reflejado lo incide. Si
7(PB)=3(PC), halle AB.
A B C D A B

A) 30 m B) 32 m C) 33 m
D) 35 m E) 40 m

02.Una pieza de madera es cortada a través de la Espejo P

marca representada por la línea segmentada como
se muestra en la figura. Si 3AP=6PB=4BC=36cm.
Halle la longitud de la marca sobre la cual se
cortó.
B
D C
P
A) 2 m B) 1,5 m C) 3 m
D) 1,75 m E) 2,5 m

06.Según en gráfico, ¿a qué distancia se encuentra

q q el cóndor del punto E?
A Q C

A) 8 cm B) 5 cm C) 7 cm
D) 6 cm E) 4 cm
q
03.Un semáforo que mide 2 m proyecta una
sombra de 10 m, y al mismo tiempo la pared del
edificio proyecta una sombra de 80 m como se q
muestra en la figura. Halle la longitud de la altura E
de la pared.
100 m 800 m

A) 200 m B) 300 m C) 400 m

D) 450 m E) 600 m

07.En un triángulo rectángulo, recto en B, se traza

AB BC 14
la bisectriz interna BF tal que: + =
AF FC 5
Calcule r/R siendo r y R el inradio y circunradio del
triángulo ABC.
A) 13 m B) 14 m C) 15 m A) 1/5 B) 2/5 C) 3/5
D) 16 m E) 18 m D) 4/5 E) 1

5
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

08.Para evitar la caída de un poste de alumbrado 11.Carlitos aprovechando el diseño de su ventana

público se colocan cuerdas tensadas triangular coloca una varilla metálica con base en
representadas por AB y BC como se muestra en la A y apoyada en H, coloca un pedestal por encima
figura, tal que FI//AC. Si I es incentro del triángulo de la ventana para colocar maceteros, como se
ABC, AB=6 m, BC=4 m y AC=8 m, halle BF. observa en la figura. Si AH=3HQ y MN=40cm.
Halle NC.

B
B q Q

H
F
I

A C M N
D

A) 6 m B) 7/2 m C) 10/3 m
D) 5 m E) 9/2 m q
A P C
09.En la figura se muestra la vista posterior de un
portarretrato de forma paralelográmica ABCD A) 120 cm B) 110 cm C) 240 cm
apoyado en los puntos E y F sobre la mesa D) 130 cm E) 80 cm
mediante los soportes representados por EC, BF y
AP tal que EC//AP. Si AE=24 cm, DF=6 cm y 12.En el gráfico, AB=2(BC) y 2(CM)=5(BM).
AB=20 cm, halle el perímetro del portarretrato. Calcular “x”.
C
A) 37°
B) 53° x
C) 45°
D) 60°
E) 75°

45
A B

13.En una parte de un almacén, acomodan dos

cajas con caras cuadradas de diferente tamaño,
A) 66 cm B) 64 cm C) 68 cm
D) 70 cm E) 72 cm
como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el lado de
la cara del cajón pequeño que se encuentra en la
10.Dos columnas, la de mayor tamaño mide 6m, parte superior?
están unidas por cables de acero. Calcule la altura C
de la otra columna, si la distancia del suelo a la
intersección de los cables es de 2m.

3m
columna cables

A 7m B

A) 4 m B) 2,8 m C) 2,5 m A) 73 cm B) 49 cm C) 54 cm
D) 3 m E) 3,5 m D) 63 cm E) 70 cm

6
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

08.Para evitar la caída de un poste de alumbrado 11.Carlitos aprovechando el diseño de su ventana

público se colocan cuerdas tensadas triangular coloca una varilla metálica con base en
representadas por AB y BC como se muestra en la A y apoyada en H, coloca un pedestal por encima
figura, tal que FI//AC. Si I es incentro del triángulo de la ventana para colocar maceteros, como se
ABC, AB=6 m, BC=4 m y AC=8 m, halle BF. observa en la figura. Si AH=3HQ y MN=40cm.
Halle NC.

B
B q Q

H
F
I

A C M N
D

A) 6 m B) 7/2 m C) 10/3 m
D) 5 m E) 9/2 m q
A P C
09.En la figura se muestra la vista posterior de un
portarretrato de forma paralelográmica ABCD A) 120 cm B) 110 cm C) 240 cm
apoyado en los puntos E y F sobre la mesa D) 130 cm E) 80 cm
mediante los soportes representados por EC, BF y
AP tal que EC//AP. Si AE=24 cm, DF=6 cm y 12.En el gráfico, AB=2(BC) y 2(CM)=5(BM).
AB=20 cm, halle el perímetro del portarretrato. Calcular “x”.
C
A) 37°
B) 53° x
C) 45°
D) 60°
E) 75°

45
A B

13.En una parte de un almacén, acomodan dos

cajas con caras cuadradas de diferente tamaño,
A) 66 cm B) 64 cm C) 68 cm
D) 70 cm E) 72 cm
como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el lado de
la cara del cajón pequeño que se encuentra en la
10.Dos columnas, la de mayor tamaño mide 6m, parte superior?
están unidas por cables de acero. Calcule la altura C
de la otra columna, si la distancia del suelo a la
intersección de los cables es de 2m.

3m
columna cables

A 7m B

A) 4 m B) 2,8 m C) 2,5 m A) 73 cm B) 49 cm C) 54 cm
D) 3 m E) 3,5 m D) 63 cm E) 70 cm

6
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

14.En el grafico A, F y C son puntos de tangencia. 18.Un juego de vajillas esta expuesto para su
AP AE EB GC venta, Carlitos se da cuenta de la siguiente
Halle , si: = = .
PC 3 5 2 relación, CA=50, EB=40 y PC=30. Calcule DU si
las medidas se dan en cm. (T es pto. de tangencia)
A) 8/3 C
B) 7/4
G
C) 9/5
A) 10
D) 21/8
B) 12
E) 17/9 P C
F C) 20
D) 24
E
B E) 18

P
E U

15.En un parque de forma triangular ABC, se A B T C D

construye las veredas representados por AD, BM y
CE concurrentes en una pileta ubicada en el punto 19.Un equilibrista mediante una soga tensa intenta
O como se muestra en la figura, tal que M es punto ir desde la azotea de un edificio de “a” metros de
medio de AC. Si AB=12 m y AC=18 m, halle EB. altura hacia la azotea de otro edificio de “b”
metros de altura. Si al avanzar un tercio del tramo
A) 4,5 m total sufre una aparatosa caída, halle la altura
B) 4,1 m
C) 4,8 m desde la que cayó el equilibrista.
D) 5,6 m
E) 6,4 m

B
P
16.Las medidas de los lados de una vela, en forma
de triángulo ABC, son números enteros y
consecutivos. Calcular su perímetro sabiendo que b a
la medida del mayor ángulo es el doble de la
medida del menor.

B
A) 12
B) 15 a + 2b a + 2b a+b
A) m B) m C) m
C) 13 3 2 2
D) 18
2a + b 2a + b
E) 21 D) m E) m
2 3

20.En un triángulo ABC, donde AC = BC se traza

C
A la ceviana CP tal que AP = 2(PB), luego se traza
AH⟘CP, si el ángulo ACB, mide 48°, halle la
medida del ángulo PHB.
17. En el exterior y relativo al lado BC de un B
triángulo ABC se ubica el punto E tal que BE//AC, A) 24°
en AE se ubica el punto D tal que B) 48°
m ABD = m DAC = m DCB. Si BE=18 y AC=8, C) 44°
D) 56° P
calcule BC. E) 66°
H
A) 14 m
B) 15 m
C) 25 m
D) 12 m
E) 13 m

7 A C
GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Práctica 05

14.En el grafico A, F y C son puntos de tangencia. 18.Un juego de vajillas esta expuesto para su
AP AE EB GC venta, Carlitos se da cuenta de la siguiente
Halle , si: = = .
PC 3 5 2 relación, CA=50, EB=40 y PC=30. Calcule DU si
las medidas se dan en cm. (T es pto. de tangencia)
A) 8/3 C
B) 7/4
G
C) 9/5
A) 10
D) 21/8
B) 12
E) 17/9 P C
F C) 20
D) 24
E
B E) 18

P
E U

15.En un parque de forma triangular ABC, se A B T C D

construye las veredas representados por AD, BM y
CE concurrentes en una pileta ubicada en el punto 19.Un equilibrista mediante una soga tensa intenta
O como se muestra en la figura, tal que M es punto ir desde la azotea de un edificio de “a” metros de
medio de AC. Si AB=12 m y AC=18 m, halle EB. altura hacia la azotea de otro edificio de “b”
metros de altura. Si al avanzar un tercio del tramo
A) 4,5 m total sufre una aparatosa caída, halle la altura
B) 4,1 m
C) 4,8 m desde la que cayó el equilibrista.
D) 5,6 m
E) 6,4 m

B
P
16.Las medidas de los lados de una vela, en forma
de triángulo ABC, son números enteros y
consecutivos. Calcular su perímetro sabiendo que b a
la medida del mayor ángulo es el doble de la
medida del menor.

B
A) 12
B) 15 a + 2b a + 2b a+b
A) m B) m C) m
C) 13 3 2 2
D) 18
2a + b 2a + b
E) 21 D) m E) m
2 3

20.En un triángulo ABC, donde AC = BC se traza

C
A la ceviana CP tal que AP = 2(PB), luego se traza
AH⟘CP, si el ángulo ACB, mide 48°, halle la
medida del ángulo PHB.
17. En el exterior y relativo al lado BC de un B
triángulo ABC se ubica el punto E tal que BE//AC, A) 24°
en AE se ubica el punto D tal que B) 48°
m ABD = m DAC = m DCB. Si BE=18 y AC=8, C) 44°
D) 56° P
calcule BC. E) 66°
H
A) 14 m
B) 15 m
C) 25 m
D) 12 m
E) 13 m

7 A C