Conceptos Básicos Del Álgebra

Facultad Ingeniería
Razonamiento y Representación Matemática
Potenciación.
Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el
exponente. De lo anterior se define:
Teoremas ( propiedades de la potenciación)
1. a m ∙ an =am +n
a 0=1
.
Yon Cárdenas Moscote

Radicación
Operación que permite hallar un valor que multiplicado tantas veces como lo indica el índice, dé el valor que se encuentra
dentro del radical, el cual recibe el nombre de radicando. Para lo anterior se define:
Teoremas
Los teoremas de los exponentes también se aplican a radicales, ya que se expresan como exponentes fraccionarios.

Simplificación
Procedimiento que consiste en expresar un radical en su forma más simple. Para simplificar un radical, el exponente
de la base debe ser mayor que el índice del radical.
Suma y resta
Estas operaciones se pueden efectuar si y sólo si el índice del radical y el radicando son iguales (radicales semejantes).


Multiplicación.
Multiplicación de radicales con índices iguales. Cuando los índices de los radicales son iguales, se multiplican los
radicandos y de ser posible se simplifica el resultado.
√n a ∙ √n b ∙ √n c=√n a ∙ b ∙ c
Ejemplos
a.
√ 5 ∙ √ 6=√ 30
b.
√ 6 ∙ √2 ∙ √3=√ 36= √6 2=6
c.
(2 √ 4) ⋅(3 √ 10)=6 √ 4 ∙ √ 10=6 √ 40=6 √ 5 ∙2 =12 √ 5
3 3 3 3 3 3 3 3
Multiplicación de radicales con índices diferentes. Para multiplicar radicales con índices diferentes se busca un índice común, que resulta del
mínimo común múltiplo de los índices de los radicales y recibe el nombre de “mínimo común índice”.
Ejemplos
Efectúa √ 3 ∙ √3 7
El mínimo común índice es 6, entonces los índices de los radicales se convierten a dicho índice
a.
2x 3
√3 3 ∙ 3 x √2 7 2=√6 27 ∙ √6 49=√6 1323
b.
√ 2∙ √4 8= √ 22 ∙ √4 8= √4 4 ∙ √4 8=√4 32=√ 2∙ 24 =2 √4 2
2x 2 4
Ejercicios
División
División de radicales con índices iguales. Para efectuar la división se aplica el siguiente teorema:
√
√n a = n a
√n b b
Ejemplos
a.
b.
√3 3 √
√3 15 = 3 15 = 3 5
3
√
10 √63 10 √ 7 ∙ 3 10∙ 3 √ 7 30 √ 7
2
= = = ∙ =( 15 ) ∙1=15
√28 √ 7 ∙22 2 √7 2 √7
División de radicales con índices diferentes. Se transforman los radicales a un índice común y después se realiza
la división.

Ejercicios
Realiza las siguientes operaciones
Racionalización
Racionalizar es representar una fracción en otra equivalente que contenga una raíz en el numerador, cuyo numerador o denominador sea un número
racional respectivamente.
d
Racionalización del denominador. Dada una expresión de la forma n , se racionaliza de la siguiente manera:
√ am
d
=n
d
∙
√a = d ∙ √ a = d ∙ √ a
n n−m n n−m n n−m
=
d ∙√ a
n n−m
=
d n n−m
√a
√a
n m
√ am √n a n−m √n am+ n−m √n a n a a

Racionalización de un denominador binomio.
Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio (a ± b)

y alguno o ambos elementos tienen una raíz cuadrada, se multiplica por el conjugado del binomio (a ± b) .
c c ( a∓b ) c ( a ∓b )
= ∙ =
(a ± b) (a ± b) ( a∓b ) a2 −b2
Ejemplos
Racionalice la expresión
2
1+ √ 3
Solución
2 2 1−√3 2 ( 1− √ 3 ) 2 ( 1−√ 3 ) 2 2 √ 3
= ∙ = = = − =−1+ √ 3
1+ √ 3 1+ √ 3 1−√3 12− ( √ 3 )2 −2 −2 −2

Ejercicios
Racionalización de un numerador. Dada una expresión de la forma

√n am , el numerador se racionaliza de la siguiente forma:
d
√n am = √n am ∙ √n a n−m = √n a n−m+m = √n an = a
d d √n a n−m d √n an−m d √n an−m d √n a n−m
Ejemplos

Racionalización de un numerador binomio. Para racionalizar un numerador binomio que contenga 1 o 2 raíces cuadradas en el numerador, se
efectúa el mismo procedimiento que se empleó para racionalizar un denominador

Álgebra
Rama de las matemáticas que trata a las cantidades de manera general.
Expresiones algebraicas
Se conoce así a la combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de
suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etcétera.
Ejemplo
7 m+2 n+9 En esta expresión 7 , 2 y 9 son constante y m , n son variables

Término algebraico. Es un sumando de una expresión algebraica y representa una cantidad. A todo término algebraico se le denomina monomio y
consta de: coeficiente, base(s) y exponente(s).
Ejemplos
Términos semejantes. Dos o más términos son semejantes cuando los mismos exponentes afectan a las mismas bases.
Reducción de términos semejantes
Para simplificar expresiones que involucren términos semejantes, se suman o restan los coeficientes.

Ejercicios

Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene al sustituir a las literales o letras con sus respectivos valores numéricos y entonces se
realizan las operaciones indicadas.
Ejercicios

Lenguaje algebraico
Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos.
Ejemplos
Expresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico.
Ejercicios

Polinomios

Expresión algebraica que consta de varios términos algebraicos.
Suma
En la suma los polinomios se escriben uno seguido del otro y se reducen los términos semejantes.
Ejercicios
Resta
En esta operación es importante identificar el minuendo y el sustraendo, para posteriormente realizar la reducción de
términos semejantes.
Ejemplo
Ejercicios
Signos de agrupación
Los signos de agrupación se utilizan para indicar que las cantidades en su interior se deben considerar como una sola. Los signos son:

Ejercicios

Multiplicación
Para realizar esta operación es conveniente recordar las reglas de los signos.
Monomio por monomio
Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las bases


Ejercicios
Polinomio por monomio
Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el monomio o viceversa, como lo ilustran los siguientes
ejemplos:

Ejercicios

Polinomio por polinomio
Para multiplicar polinomios por polinomios, se siguen los pasos indicados en los siguientes ejemplos:
Ejercicios
División
La regla de los signos de esta operación:
Regla de los signos
Ley de los exponentes para la división

En la división los exponentes de las bases iguales se restan.
m
a m−n
n
=a
a
Monomio entre monomio
Cuando se dividen monomios, primero se realiza la división de los coeficientes y después se aplica la ley de los exponentes para las bases. Si la
división de los coeficientes no es exacta, entonces se deja especificada; si las bases no son iguales, entonces se deja expresado el cociente.
Ejercicios

Polinomio entre monomio
Se divide cada término del polinomio entre el monomio, como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejercicios

Realiza las siguientes divisiones
Polinomio entre otro polinomio
Para realizar esta operación se siguen los siguientes pasos:

Ejercicios


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Razonamiento y Representación Matemática

Teoremas ( propiedades de la potenciación)

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

√ 6 ∙ √2 ∙ √3=√ 36= √6 2=6

Yon Cárdenas Moscote

Realiza las siguientes operaciones

Yon Cárdenas Moscote

Racionalización de un denominador binomio.

Para racionalizar una fracción cuyo denominador es un binomio (a ± b)

Yon Cárdenas Moscote

Racionalización de un numerador. Dada una expresión de la forma

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

7 m+2 n+9 En esta expresión 7 , 2 y 9 son constante y m , n son variables

Reducción de términos semejantes

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

Expresa oraciones de lenguaje común en términos algebraicos.

Expresa las siguientes oraciones del lenguaje común al lenguaje algebraico.

Yon Cárdenas Moscote

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Monomio por monomio

Al multiplicar monomios, primero se multiplican los coeficientes y después las bases

Yon Cárdenas Moscote

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Polinomio por monomio

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

Regla de los signos

Ley de los exponentes para la división

Yon Cárdenas Moscote

Polinomio entre monomio

Yon Cárdenas Moscote

Realiza las siguientes divisiones

Polinomio entre otro polinomio

Para realizar esta operación se siguen los siguientes pasos:

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

Yon Cárdenas Moscote

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