03 Potencias y Raices 2020 PDF

PREUNIVERSITARIO
MATEMÁTICA
DANNY PERICH C
POTENCIAS Y RAÍCES
POTENCIAS
Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base (el factor que se repite) y
el exponente (veces que se repite el factor).
an = a • a • a • ...
Signos de una potencia (+)par = + (+)impar = + (-)par = + (-)impar = -
Multiplicación y división de potencias de igual base

Para multiplicar (dividir) potencias de igual base, se suman (restan) los exponentes y se conserva la base.
Potencias de exponente cero

Toda potencia de exponente cero es igual a 1, con excepción de 0 0, la cual no está definida.
a0 = 1
Potencia de exponente negativo
Se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.
Potencia elevada a potencia

Se conserva la base y se multiplican los exponentes.
Multiplicación (División) de potencias de igual exponente

Se multiplican (dividen) las bases y se conserva el exponente.
Ejercicios.
1. 4 −2 + 2 −3 − 2 −4 =
1 1 1
A) B) C) D) -8 E) -6
8 4 6
2. Si 3 x + 3 − x = P , entonces 9 x + 9 − x es igual a:
A) P2 B) P2 + 2 C) P2 – 2 D) P2 – 1 E) 3P
NÚMEROS IRRACIONALES (Q*): Son aquellos números decimales infinitos no periódicos. Los números
 = 3,141592…, √2 = 1,414213… son ejemplos de números irracionales.
RAÍCES: Potencias de exponente fraccionario.
Suma y resta de raíces. Solamente pueden sumarse (o restarse) dos o más raíces cuando son raíces
semejantes; es decir, si son raíces con el mismo índice e igual cantidad subradical.
Por ejemplo 3√2 + 5√2.
Multiplicación de raíces del mismo índice. Se multiplican las cantidades subradicales y se conserva el
índice
√a ∙ √b = √ab
3 3
Ejercicio. a2x + 2  ax + 1 =
6
A) a3x + 3 B) a3x + 3 C) a3x D) a x + 3 E) a x + 1
Multiplicación de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Otra posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz en potencia y resolver de este modo.
m n
Ejercicio. Si a, b, n y p son números reales positivos, entonces √a2 ∙ √a3 es igual a
𝑚𝑛
mn mn mn
A) √a2n+3m B) 𝑎 5 C) √a5 D) √𝑎6 E) a5
División de raíces del mismo índice. Se dividen las cantidades subradicales y se conserva el índice de
la raíz.
n
√a n a
n
= √
√b b
Ejercicios.
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Si P y Q son números irracionales, entonces P  Q es un número irracional.

II) Si P y Q son números irracionales, entonces (P + Q) es un número irracional.
P
III) Si P es un número irracional y Q es un número entero positivo, entonces es un número
Q
irracional.
A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguna de ellas.
2 7 + 14
2. Al simplificar la expresión resulta:
7
A) 2 3 B) 2 + 14 C) 2 + 2 D) 2 7 + 2 E) 4
División de raíces de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se dividen. Otra
posibilidad, al resolver ejercicios, es transformar cada raíz en potencia y dividir de ese modo.
Raíz de una raíz. Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva la
cantidad subradical.
n m nm
√ √a = √a
2
Ejercicio. =
3
2
3 3 6 6
A) 4 B) 2 C) 8 D) 2 E) 1
Simplificación de una raíz. Al simplificar una raíz debe considerarse si n es par o impar.
Si n es par, √𝑥 𝑛 = |𝑥|
𝑛
Si n es impar, √𝑥 𝑛 = 𝑥
𝑛
2
Ejercicio. Si x es un número real mayor que 1, entonces (√𝑥 + 1 − √𝑥 − 1) es igual a
A) 0 B) 2 C) 2x - √𝑥 2 − 1 D) 2x - 2√𝑥 2 − 1 E) 2x
Racionalización. Consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.
Esta se realiza, si el denominador es un monomio, amplificando la fracción irracional por este monomio, y
se amplifica por su binomio conjugado en caso de que el denominador sea un binomio irracional.
En caso en que la raíz del denominador sea del tipo √𝑎𝑚 , la fracción dada se amplifica por el irracional
𝑛
√𝑎𝑛−𝑚 .
𝑛
√2
Ejercicio. =
√2+√3
√3
A) √6 − 2 B) √3 − 2 C) 2 − √6 D) 2 − √3 E)
3

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Signos de una potencia (+)par = + (+)impar = + (-)par = + (-)impar = -

Multiplicación y división de potencias de igual base

Potencias de exponente cero

Potencia elevada a potencia

Multiplicación (División) de potencias de igual exponente

RAÍCES: Potencias de exponente fraccionario.

I) Si P y Q son números irracionales, entonces P  Q es un número irracional.

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

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