PLANTEO DE ECUACIONES *17 ”A” es excedido por “B” en veinte.

→ ......................................
El arte de plantear ecuaciones consiste en interpretar y transformar
enunciados en el lenguaje literal (vernáculo) a un lenguaje matemático. Es *18 “X” es mayor en 10 que “Y”
decir:
→ ......................................
Lenguaje Lenguaje *19 ”A” es mayor que “B”en 20.
Literal Transformar matemático
→ ......................................
Es uno de los temas más importantes en la resolución de problemas
establecer para ello una o más ecuaciones con el empleo de símbolos,
variables y operaciones. LOGARITMOS

Ejemplos: DEFINICIÓN: El logaritmo de un número N en base b es el exponente x al que

Traducir en cada caso del lenguaje literal al lenguaje matemático. hay que elevar b para obtener N.

*1 El triple de un número, aumentado en su cuarta parte. Logb N = x  bx = N,

→ ......................................
*2 El triple de un número aumentado en su mitad. además, N>0, b>0  b1
→ ......................................
*3 El cuadrado de un número, aumentado en cinco. Ejemplos ilustrativos:

→ ...................................... a) log2 8 = 3 porque 23 = 8

*4 El cuadrado de un número aumentado en cinco . b) log5 625 = 4 porque 54 = 625

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→ ...................................... c) log 100 = 2 porque 102 = 100
*5 La suma cubos de dos números. d) log 1 000 = 3 porque 103 = 1 000
→ ......................................
*6 El cubo de la suma de dos números
Cuando se expresa al logaritmo en
base 10 (base decimal), puede
→ ...................................... prescindirse de escribir la base.
*7 La suma de tres números consecutivos.

→ ...................................... PROPIEDADES
*8 La suma de tres números pares consecutivos.
1. Logaritmo de un producto
→ ......................................
*9 La suma de tres números impares consecutivos. log b (AB) = log b A + log b B

→ ...................................... 2. Logaritmo de un cociente

*10 Gastó la cuarta parte de lo que no gastó.
log b (A  B) = log b A − log b B
→ ......................................
*11 Mi edad es tres sétimas partes de tu edad. 3. Logaritmo de una potencia:

→ ......................................
*12 “A” es cinco veces “B”. log b A n = n . log b A

→ ...................................... 4. Logaritmo de una raíz:

*13 “A” es cinco veces más que B.
log b A
log b n A =
→ ...................................... n
*14 “A” es cinco más que B.
5. Regla de Cadena:
→ ......................................
*15 “M” excede a “N” en diez.
log b a . log a c = log b c
→ ......................................
*16 El exceso de “M” sobre “N” es cuatro 6. Logaritmo de la base:

→ ...................................... log b b =1

1
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PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Elena repartió sus ahorros entre 15 mendigos. ¿Cuál es la

mínima cantidad de dinero que pudo haber aumentado a

lo que repartió para que cada mendigo reciba
exactamente S/. 10 más de lo que recibió?
A) 𝑆/.120 B) 𝑆/.140 C) 𝑆/.160
D) 𝑆/.130 E) 𝑆/.150 A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16

6) Se tienen dos velas de igual tamaño, pero de diferente

2) Con 195 soles se compraron chompas de 7; 8 y 13 soles,
calidad, el primero se consume en “a” horas y el segundo
respectivamente. ¿Cuántas chompas se compraron si en
en “b” horas (a>b), si se encienden simultáneamente.
total se compraron el máximo número de chompas y por
¿Dentro de cuánto tiempo la altura del más lento será “n”
lo menos se compró una de cada precio?
veces la altura del más rápido?
A) 23 B) 30 C) 24
𝑎𝑏(𝑛−1) 𝑎𝑏(𝑛−1) 𝑏(𝑛−1)
D) 26 E) 25 A) B) C)
𝑎𝑛−𝑏 𝑛−𝑏 𝑛−𝑏
𝑎𝑛−𝑏 𝑏(𝑛−1)
D) E)
𝑎𝑏(𝑛−1) 𝑎𝑛−𝑏
3) Con billetes de 100 soles y de 50 soles se pagó una deuda

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de 2800 soles. El número de billetes de 50 soles excede en 7) Encuentre un número de 3 cifras consecutivas
8 al número de billetes de 100 soles. Si los billetes que descendentes de tal manera que cumpla: “La
tenemos de 100 soles los contáramos como billetes de 50 semidiferencia del cubo de lo que le falta al dígito de las
soles, y viceversa, ¿Qué cantidad de dinero tendríamos? centenas para ser 6 con el cubo del dígito de las unidades,
A) 𝑆/.4500 B) 𝑆/.2900 C) 𝑆/.3200 es menor en 5 que el doble del cuadrado del exceso de la
D) 𝑆/.3800 E) 𝑆/.4200 suma de sus cifras sobre 3. De como respuesta la suma de
cifras de dicho número.
4) Un caminante ha recorrido 1000 metros, unas veces A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15
avanzando, otras retrocediendo. Si solo ha avanzado 350
metros, ¿Cuántos metros recorrió retrocediendo? 8) En un autobús se observa que hay 56 personas de las
A) 300𝑚 B) 425𝑚 C) 325𝑚 cuales 22 están sentadas. Los varones que están
D) 280𝑚 E) 345𝑚 sentados son tantos como las damas que están paradas,
y la cantidad de damas que están sentadas es la mitad de
5) Diez personas se forman en círculo. Cada uno escoge un los varones que están parados. ¿Cuántos varones hay en
número y revela el número escogido a sus vecinos. Cada el autobús?
persona toma el promedio de los dos números de sus A) 40 B) 26 C) 38 D) 42 E) 34
vecinos y lo dice en voz alta. La figura muestra los
promedios dados en voz alta por cada una de las personas 9) Sean “a” y “b” números de dos dígitos donde b>a, además
(no muestra el número que cada persona escogió a+b menor que 100, el producto de los números tiene 4
originalmente). ¿Cuál es el número que escogió la persona cifras y empieza con 1. Si se borra el 1 lo que queda es a+b.
que dio el promedio 9? ‘Cuánto vale “a”?. De como respuesta la suma de sus
cifras.
APT. MATEMÀTICA – SEMANA 10 2
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A) 14 B) 15 C) 10 D) 13 E) 5 se le suma lo que salió en el tercer dado y se obtiene 763.

¿Cuánto salió en cada dado?
10) Un ciego entró en una tertulia de señoras; quedó un A) 5; 1 y 3 B) 4; 2 y 6 C) 2; 3 y 4
momento a la escucha y luego dijo: D) 2; 1 y 6 E) 3; 1 y 4
- “Saludo a las 24 damas aquí presentes”
- “No somos 24”, le respondió una de ellas. 15) Se compra un terreno rectangular. Si tuviera 3 metros más

- “Pero si fuésemos cuatro veces más de las que somos, de largo y 4 metros más de ancho costaría S/. 192 más,

seríamos tantas más de 24 como tantas menos somos en pero si tuviera 4 metros de largo y 3 metros menos de

este momento”. ancho, tendría 158m2 menos. ¿Cuáles son las dimensiones

¿Cuántas señoras había en la tertulia? del terreno, si el metro cuadrado cuesta S/. 1?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 A) 20m y 30m B) 10m y 20m C) 10m y 40m

D) 20m y 21m E) 21m y 22m

11) En las cajas “P”, “Q” y “R” hay 54 manzanas en total, si de

la caja “P” se trasladan a “Q” tantas manzanas como hay 16) Un vendedor de frutas tiene un cierto número de

en ¡, y de la caja Q se trasladan a “R” el doble de manzanas naranjas, las cuales quiere disponer de modo que se tenga

que hay en R, las tres cajas resultarían con el mismo un cuadrad. Si el cuadrado fuera compacto, sobrarían 88

número de manzanas. ¿Cuántas manzanas había naranjas, pero si el centro estuviera vacío podría colocar

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inicialmente en la caja “P”? cuatro naranjas más en cada columna y fila exterior, sin

A) 33 B) 29 C) 34 D) 36 E) 13 que sobre ninguna. Si se sabe que para llenar el cuadrado

vacío se necesitan 144 naranjas, calcule el número de

12) Si un litro de leche pura pesa 1032 gramos. Calcule la naranjas que tenía en total.

cantidad de agua que tiene 11 litros de leche adulterada, A) 815 B) 816 C) 817

los cuales pesan 11,28 kg. D) 818 E) 820

A) 3lt B) 4lt C) 3,26lt D) 2,25lt E) 2lt

17) En una fiesta, un grupo de personas se saludan de la forma

13) Una señora va al mercado a comprar tomates; para siguiente: cada vez que se saludan dos varones se dan un

comprar 5 kg le falta “a” soles, pero si hubiera llevado “b” apretón de manos; pero cada vez que se saludan dos

soles más habría comprado 2 kilos más y aun le hubiera mujeres o una mujer y un varón, se dan un beso en la

sobrado “a” soles. ¿Cuánto dinero llevó al mercado dicha mejilla. Si en total hubo 21 apretones de manos y 34

señora? besos. Calcule la diferencia entre el número de varones y

A)
𝑏+𝑎
B) 𝑎 C)
𝑏 mujeres en dicha fiesta.
2 𝑎
5𝑏−12𝑎 𝑏+𝑎 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
D) E)
2 3

18) Tres velas de una misma calidad y diámetro con duración

14) Se arrojan tres dados. El número que salió en primero se
para 2h, 4h y 6h, respectivamente, se prenden
multiplica por 2 y se le suma 5, a este resultado se le
simultáneamente; repentinamente se apagó el primero
multiplica por 5, luego se le suma lo que salió en el
observándose que lo consumido hasta ese momento por
segundo dado, y a todo se le multiplica por 10, finalmente
los tres era 90cm; 1.5 h después la altura de la mayor era

APT. MATEMÀTICA – SEMANA 10 3

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la mitad de lo consumido por los otros dos. ¿Cuál era la 23) Una persona con S/. 326 interviene en un juego:

altura de la primera y tercera vela inicialmente?

A) 24 y 72cm B) 64 y 192cm C) 88 y 264cm
D) 32 y 96cm E) 12 y 36cm

19) Pedro puede ahorrar S/. 100 diariamente; pero cada vez
Este juego consiste en que si acierta en la zona A le dan S/. 20,
que sale con Angélica solo ahorra S/. 35 y cuando sale con
pero si acierta en la B o C debe entregar S/. 10 o S/. 2
Roxana solo ahorra S/. 25. ¿En cuántos días como mínimo
respectivamente.
podrá ahorrar exactamente S/. 490; si se sabe que nunca Si después de 12 juegos, el número de veces que recibió es
sale con ambas? mayor al número de veces que entregó dinero. Determine
A) 7 B) 9 C) 10 D) 8 E) 11 cuántas veces acertó en A si dicha persona se retiró con S/. 500.
A) 6 B) 7 C) 8 D)9 E) 10

20) Se dispone de S/. 100 para comprar 36 productos que

cuesta S/. 1, S/. 4 y S/. 12 comprándose por lo menos tres 24) Un hospital atiende 300 pacientes por día, a partir de las

productos de cada precio. ¿Cuántos productos cuyo valor 9am, si cada 15 minutos salen 11 pacientes atendidos. ¿A

es S/. 4 compró? qué hora el número de pacientes que faltan atender

A) 3 B) 9 C) 10 D) 5 E) 18 divide exactamente al número de pacientes atendidos?

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A) 3:15 p.m. B) 3:00 p.m. C) 4:30 p.m.

21) Cinco veces el producto de las edades de Ronaldo y Walter D) 2:45 p.m. E) 2:15 p.m.

es igual a 11 veces más que la suma de dichas edades.

Cinco veces el producto de las edades de Walter y Alfredo 25) Adolfo se dirige al mercado y compra la misma cantidad

es igual a 18 veces la suma de dichas edades, y 13 veces el en dinero de plátanos, naranjas y manzanas, comprando

producto de las edades de Ronaldo y Alfredo es igual a 35 en total 55 frutas. El precio de una naranja excede en S/.

veces más que la suma de sus edades. ¿En cuánto excede 1 al precio de un plátano, el precio de una manzana

la edad de Alfredo a la edad de Walter? excede en S/. 1 al precio de una naranja. Si el número de

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 naranjas excede al número de manzanas en tantos

plátanos, como se puedan comprar con S/. 5. Calcule el

22) Tres velas de diámetros diferentes y de longitudes 70, 65 número de plátanos y manzanas que compró Adolfo. De

y 60cm, están fijos a soportes de alturas desiguales, como respuesta su diferencia.

situados sobre un mismo plano horizontal. Se encienden A) 15 B) 20 C) 25 D) 15 E) 12

las velas al mismo tiempo y se observa que cuando el más

largo ha disminuido en 10cm, las tres llamas están a la 26) En una comunidad existen 1000 alumnos que son

misma altura. Sabiendo que estas tres velas se consumen atendidos por 19 personas entre maestros y maestras.

por completo en 28. 26 y 40 horas respectivamente, y que Cada maestro atiende 30 alumnos más que cada maestra.

el soporte de la vela más larga mide 40cm de altura, halle Últimamente se decidió aumentar en 8 alumnos más la

las alturas de los otros soportes. clase de cada maestra, reduciéndose así la de los

A) 46 y 47cm B) 45 y 47cm C) 51 y 52cm maestros. ¿A cuántos niños atiende ahora cada maestro?

D) 32 y 34cm E) 45 y 46cm A) 70 B) 59 C) 40 D) 69 E) 58

APT. MATEMÀTICA – SEMANA 10 4

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27) Si te doy lo que a ti te falta para tener lo que yo tengo, y 33) Al multiplicar dos números reales positivos, uno de los

tú me das todo lo que te pido, que es lo que me falta para cuales es superior al otro en 10 unidades, un escolar erró
tener el doble de lo que tú tienes; resulta que lo mío es a disminuyendo en 4 la cifra de las decenas de dicho
lo tuyo como 5 es a 4. ¿En qué relación se encontraban lo producto. Sin embargo, realizó bien la comprobación,
que teníamos inicialmente? para lo cual divide el producto obtenido por el menor de
11 11 11
A) B) C) los factores y obtiene 39 de cociente y 22 de resto. Halle
10 7 9
11 11 la suma de los factores.
D) E)
3 5
A) 70 B) 71 C) 72 D) 73 E) 74

28) Mi hermana decía: “La mitad de mis hermanos usan

34) En la agencia de investigaciones “Trukini” han de
anteojos”; sin embargo, yo veo que las dos terceras parte
resolver cierto número de misiones, pero disponemos de
de mis hermanos usan anteojos. Si mi hermana es hija
un número de agentes tal que, si encargamos una misión
única y mi nombre es Demetrio. ¿Cuántos miembros
a cada agente sobran “x” misiones; pero si damos “x”
conforman mi familia?
misiones a cada agente, se quedan “x” agentes sin
A) 9 B) 11 C) 5 D) 7 E) 8
misión. Si agentes y misiones suman menos de 15.
Indique cuántos agentes y misiones son en total.
29) Se tiene 3 toneles de vino, y repartiendo equitativamente
A) 15 B) 14 C) 13 D) 12 E) 11

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la mitad de lo que cada uno tiene entre los dos, se logra
tener 7, 8 y 9 litros respectivamente. ¿Cuántos litros tenía
35) En la CEPUNS estudian unicamente mujeres y em la
el más lleno?
academia CEIDUNS estudian unicamente varones. Um
A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20
día decidieron todos ir a bailar, las entradas cuestan a S/.
a para cada mujer y S/. b para cada varón (a y b son
30) ¿Qué número es tantas veces más que 6, como 36 es
enteros). Em total, las entradas costaron S/. 1 más que si
tantas veces dicho número?
todos los boletos de las mujeres hubiesen costado S/. b
A) 6 B) 4 C) 18 D) 12 E) 3
y la de los varones S/. a. El total de varones es mayor que
el total de mujeres y si bailan todos. ¿Cuántos de los
31) Un total de 1075 alumnos, se ha distribuido en salones
varones se quedan sin bailar?
que tienen capacidad para 43 y 22 alumnos solamente.
A) 1 B) 4 C) 10 D) 2 E) 3
¿Cuántos salones se han utilizado? Si todos los alumnos
han sido ubicados.
36) En el último congreso internacional sobre educación se
A) 43 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47
observó que algunos ponentes eran varones, otras
mujeres y algunos niños, quienes plantearon algunos
32) Qué Halle la mayor fracción tal que al aumentar en “x”,
al numerador y al denominador, la fracción queda temas sobre dicha realidad; al finalizar la reunión se
duplicada; pero si a la fracción se le resta 1/x resulta entregaron diplomas de diferentes instituciones a cada
disminuida en su mitad.
1 3 2 expositor: 77 diplomas a cada uno de los varones, 35 a
A) B) C)
3 5 5
4 13
cada mujer y 18 a cada niño por lo que se repartieron en
D) E)
3 17 total 973 diplomas. Se desea saber el número de
expositores mujeres, si el número de ponentes en la

APT. MATEMÀTICA – SEMANA 10 5

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reunión es el mínimo posible.

A) 6 B) 12 C) 13 D) 16 E) 11

37) Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y al vender 15

regalo 1. ¿Cuántas debo comprar para ganar 24

manzanas?
A) 192 B) 120 C) 180 D) 280 E) 620

38) Um granjero y su buena esposa están en el mercado para

negociar sus aves de corral por ganado, sobre la base de

que 85 pollos equivalen a um caballo más una vaca; y
que 5 caballos tienen el mismo valor que 12 vacas.
- esposa: “llevemos otros tantos caballos como los que
ya hemos elegido, entonces tendremos 17 caballos y
vacas que alimentar”
- esposo: “creo que deberíamos duplicar el número de
vacas que hemos elegido y así tendríamos en total 19

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vacas y caballos; y tendríamos la cantidad exacta de
pollos”.
¿Cuántos pollos llevaron al mercado el granjero y su
esposa?
A) 650 B) 240 C) 520 D) 950 E) 250

39) Si la altura “h” de un triángulo se aumenta en una

longitud “m”. ¿En cuánto debe disminuirse la base “b”

del triángulo original, de modo que el área del nuevo
triángulo sea la mitad del área del triángulo original?
𝑏𝑚 𝑏ℎ 𝑏(2𝑚+ℎ)
A) B) C)
ℎ+𝑚 2(ℎ+𝑚) 𝑚+ℎ
𝑏(𝑚+ℎ) 𝑏(2𝑚+ℎ)
D) E)
2𝑚+ℎ 2(ℎ+𝑚)

40) Halle un número primo, cuyo cuadrado sumado con los

cuadrados de los dos números impares siguientes

resulte un número de 4 cifras iguales.
A) 43 B) 41 C) 37 D) 45 E) 53

APT. MATEMÀTICA – SEMANA 10 6