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Ecuaciones Diferenciales Iegenvalores Reales y Repetidos
Ecuaciones Diferenciales Iegenvalores Reales y Repetidos
Ecuaciones Diferenciales Iegenvalores Reales y Repetidos
dx
=2 x−4 y
dt
dy
=x+ 6 y
dt
(
1 6 0 λ 1 )( )(
A−λI = 2 −4 − λ 0 = 2− λ −4
6−λ )
El determinante de la matriz anterior es:
|2−λ1 −4
6− λ | 2
= ( 2−λ )( 6−λ )−(−4 )= λ −8 λ+ 16=0, tenemos una binomio al cubo (
2
λ−4 ¿ =0 , despejando λ−4=0. por lo tanto λ=4
Determinar las raíces, que en este caso son: λ 1=λ2 =¿4
λ 1=4 ,(A−4 I )
A−4 I= (21 −4
6
−4 ) ( )(
1 0 −2 −4
0 1
=
1 2 )
(−2 −4
1 2
K =0 ,
1 )
−2 −4 k 1
2 k2
=0( )( )
-2k1 -4k2 =0
k1 = -2 k2
Proponer k2 = 1, k1 = -2
( ) ( )
4t
−2e
X 1 = −2 e 4 t = 4t
1 e
Como sólo existe sólo un eigenvector, debemos calcular el otro eigenvector a través de la relación:
( A-4I)P=K
⟹ (
−2 −4
1 2 )( ) (
p1 −2 p1−4 p2
p2
=
p1 +2 p 2
=
−2
1 )( )
Hacemos p2= 1
( ) ( ) ( )
4t 4t
−2 4 t −1 4 t −2 te −e
X2= te + e = 4t 4t
1 1 t e +e
X =C1 X 1 +C 2 X 2=C1
e (
−2e 4 t
4t +C 2 ) (
−2 t e 4 t −e 4 t
4t
t e +e
4t = )(
−2 C 1 e 4 t + C2 (−2 t e 4 t −e 4 t )
C1 e +C 2 ( t e +e )
4t 4t 4t )
EJEMPLO DE CASO 3. EIGENVALORES COMPLEJOS
dx
=−x−2 y
dt
dy
=5 x− y
dt
A−λI = ( 15 −2
−1 ) (0 λ ) ( 5
−
λ 0
=
1− λ −2
−1−λ )
El determinante de la matriz anterior es:
|1−λ5 −2
−1−λ | 2
=( 1− λ ) (−1−λ )−(−2 ) ( 5 )=λ + 9=0 , λ=± 3 i
En este caso , α= 0, β= 3.
A-3iI= (15 −1 ) ( )(
−2 −3 i 1 0 = 1−3 i
0 1 5
−2
−1−3 i )
(
⟹ 1−3 i
5
−2 K=0⟹
−1−3 i ) (1−3i
5
−2 k1
−1−3 i k 2)( )
=0
( 1- 3i)k1 – 2k2 =0
5k1 – ( 1+3i)k2 =0
k 2= ( 12 − 32 i) k 1
1 3
Hacemos k1 = 1 , por lo tanto k 2= − i
2 2
( )
1
K=
()
k1
k2
= 1 3
− i
2 2
( )
1
El conjugado del vector K, es K = 1 3
+ i
2 2
( )( )
1 1
1 3 + 1 3
()
− i + i 1
K+K 2 2 2 2
B1 = = = 1
2 2
2
( )( )
−1 1
−1 3 + 1 3
( )
+ i + i 0
i 2 2 2 2
B2= (−K + K )=i = −3
2 2
2
(( ) ( ) ) ( )
1 0 cos 3 t
X 1 = 1 cos 3t− −3 sen 3 t = 1 3
cos 3 t+ sen 3 t
2 2 2 2
( ) () )( )
0 1 sen 3 t
X 2 = −3 cos 3 t− 1 sen 3 t = −3 1
cos 3 t+ sen 3 t
2 2 2 2
( ) ( )
cos 3 t sen 3 t
X =C1 1 3 +C2 −3 1
cos 3t + sen 3 t cos 3 t+ sen 3 t
2 2 2 2
Entonces:
x= C1 cos 3t + C2 sen 3t
1
y= ( ( C −3C 2 ) cos 3 t+ ( 3C 1 +C2 ) sen 3t )
2 1
APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
MODELO DEPREDADOR-PRESA
Supongamos que dos especies animales interactúan en un mismo ecosistema, donde la primera
solo come plantas y la segunda se alimenta de la primera. En otras palabras, una es especie es
depredador y la otra es presa.
Entonces, sean x(t) y y(t) las poblaciones de depredadores y presas en cualquier momento, t. Si no
hubiera presas, se podría esperar que los depredadores disminuyeran de acuerdo a la ecuación:
Por otro lado, cuando haya presas en un ecosistema es lógico imaginar que la cantidad de
interacciones por unidad de tiempo entre ambas especies es simultáneamente proporcional a sus
poblaciones x e y; en otras palabras, es proporcional al producto xy. Así, cuando hay presas, hay
alimento para los depredadores, los cuales aumentan en cantidad en el ecosistema a una tasa
bxy>0. Así, al sumar esta tasa a la ecuación anterior se obtiene un modelo demográfico para estos
depredadores:
Por otro lado, cuando no existen depredadores y las reservas de alimento son ilimitadas, las presas
aumentan con una rapidez proporcional al número de especímenes existentes en el momento t.
Así:
Pero, cuando hay depredadores, el modelo demográfico para las presas es la ecuación anterior
menos cxy; c>0; esto es, disminuyen según qué tan rápido son devorados:
dy/dt = dy -cxy
Por tanto, las ecuaciones dx/ dt = -ax+ bxy , dy/ dt = dy – cxy forman un sistema de ecuaciones
diferenciales no lineales:
Donde a,b,c y d son constantes positivas. Este es un famoso sistema de ecuaciones que recibe el
nombre de modelo depredador -presa de Lotka- Volterra.
A excepción de las dos soluciones constantes x(t)= o, y(t)=0 y x(t)= d/c, y(t)= a/b, este sistema no
lineal no se puede resolver en términos de funciones elementales, sin embargo, sí es posible
analizar estos sistemas con software en forma cuantitativa y cualitativa.
Ahora, además de las dos especies referidas antes, consideremos que también existen dos
especies animadas distintas que ocupen el mismo ecosistema, no como depredador y presa, sino
como competidores en el uso de los mismos recursos, como alimentos y espacio vital. Cuando
falta una especie, supongamos que la razón de crecimiento demográfico de cada especie es
En vista de que las dos especies compiten, otra hipótesis podría ser que cada una se ve menguada
por la influencia ( o existencia) de la otra población. Así, un modelo de las dos poblaciones es el
sistema lineal:
dx/ dt = ax – by
dy/ dt = cy - dx
Mecánica Newtoniana
Un paracaídista cae junto con su paracaídas, partiendo desde el reposo, de una distancia y 0 . el
peso total es w en N. Sobre el sistema actúa una fuerza debida a la resistencia del aire que es
proporcional a la velocidad. Si la caída es vertical, determine:
a) La ecuación de movimiento
b) La ecuación con los siguientes datos W= 98 N y k= 10 kg/s.
c) La distancia recorrida por el paracaidista al tiempo t.
SOLUCIÓN:
F= mg – kv
d2 y dy
m =mg−k
dt 2
dt
d 2 y k dy
+ =g
d t m dt
2
λ2 + λ/s=0
Resolvemos la ecuación característica:
λ1 = - 1/s, λ2 = 0
Yh = c1e-t/s + c2
Y1 = e-t/s , y2 = 1
Y´1= - e-t/s / s, y´2 = 0
|| |
e−t / s 1
y
W= 1
|
y ´1
y2
y ´2
= −1 −t / s
s
e
1 −t / s
= e
0 s
t t
y 2 h(t ) 9.8 m/ s
2
u=−∫ dt =−∫ dt =−9.8 m /s ∫ e dt=(−9.8 m ) e s + 9.8 m
t/s
W 1 −t / s
e 0
s
−t
m
(9 . 8 2 )( e s ) t
y 1 h(t ) s
v=∫ dt =∫ dt=9.8 m/ s ∫ dt =9.8 m/ s
W 1 −t / s
e 0
s