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    Este documento presenta 4 ejercicios de álgebra resueltos. El primero encuentra el coeficiente de x8 en un polinomio. El segundo demuestra una identidad sobre sumas de cuadrados. El tercero evalúa una suma de fracciones parciales. Y el cuarto resuelve una ecuación cuadrática.

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    de 3

    Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación.

    Universidad de Santiago de Chile.


    Álgebra I para MBI.

    Nombre: Sección:

    POR 2

    1.- Encuentre el coeficiente que acompaña a x8 en el desarrollo de :


    1
    (x2 + )(x3 + 2)18
    x
    Solución: Utilizando el teorema del binomio tenemos
    n  
    21 3 18 2 1 X 18 18−k 3k
    (x + )(x + 2) = (x + ) 2 x (0, 5pt)
    x x k=1 k
    n   n  
    X 18 18−k 3k+2 X 18 18−k 3k−1
    = 2 x + 2 x
    k=1
    k k=1
    k

    por lo tanto para encontrar el coeficiente del término x8 vemos el valor de k en cada sumatoria,
    para la primera tenemos que 3k + 2 = 8 y ası́ k = 2, para la segunda suma tenemos 3k − 1 = 8,
    con esto k = 3(0,5 pt). Ası́ el coeficiente es
       
    18 16 18 15
    C8 = 2 + 2
    2 3
     
    15 18! 18!
    = 2 2+
    2!16! 3!15!
    2 15
    = 3 ∗ 17 2

    (0,5 pt)

    2.- Demostrar que, para todo n ∈ N, se cumple que:


    n
    X n(4n2 − 1)
    (2k − 1)2 =
    k=1
    3

    1
    Solución:
    n
    X n
    X
    (2k − 1)2 = 4k 2 − 4k + 1
    k=1 k=1
    Xn n
    X n
    X
    2
    = 4 k −4 k+ 1(0, 5pt)
    k=1 k=1 k=1
    n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)
    = 4 −4 +n
    6 2
    n
    = (2(2n2 + 3n + 1) − 6(n + 1) + 3)
    3
    n(4n2 − 1)
    = (1, 0pt)
    3
    Observación, el ejercicio se puede realizar usando el principio de inducción, la asignación de
    puntajes queda a criterior del revisor.

    3.- Determine el valor de la siguiente sumatoria:


    10
    X 18
    j=2
    (3j − 5)(3j + 1)

    Solución: Aplicando fracciones parciales podemos separar la suma en


    10 10
    X 18 X 1 1
    = 3 − (0, 5pt)
    j=2
    (3j − 5)(3j + 1) j=2
    3j − 5 3j + 1
    10
    X 1 1 1 1
    = 3 − + −
    j=2
    3j − 5 3j − 2 3j − 2 3j + 1
    10 10
    X 1 1 X 1 1
    = 3 − +3 − (0, 5pt)
    j=2
    3j − 5 3j − 2 j=2
    3j − 2 3j + 1
     
    1 1 1 1
    = 3 − + −
    3 ∗ 2 − 5 3 ∗ 10 − 2 3 ∗ 2 − 2 3 ∗ 10 + 1
     
    1 1 1 1
    = 3 − + −
    1 28 4 31
    1539
    = (0, 5pt)
    434

    4.- Resuelva la siguiente ecuación:


    z 2 + 4iz = 4 + i.

    2
    Solución: Reescribimos y utilizamos ecuación cuadratica, ası́

    z 2 + 4iz = 4 + i
    z 2 + 4iz − (4 + i) = 0
    p
    −4i ± (4i)2 + 4(4 + i)
    z = (0, 5pt)
    √ 2
    −4i ± 2 −4 + 4 + i
    =
    √ 2
    = −2i ± i
    1+i
    = −2i ± √ (0, 5pt)
    2

    Con soluciones √ √
    1 + (1 − 2 2)i −1 − (1 + 2 2)i
    z1 = √ z2 = √
    2 2
    (0,5 pt)

    Tiempo: 100 minutos.

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