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    Matematica 2

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    El documento presenta 6 problemas de cálculo integral. Resuelve cada problema paso a paso utilizando reglas como la suma, potencias, sustitución y geometría para evaluar las integrales definidas. También encuentra valores promedio, desplazamientos y distancias totales.

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    Descripción original:

    Integrales definidas

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    1) Evalúe las siguientes integrales definidas

    ∫ ( x 3 +4 ) dx
    a)

    2
    2
    b)
    ∫ ( 10+ 4 x−3 x 3 ) dx
    2

    a) ∫24x3+4dx

    Aplicar la regla de la suma:    ∫f(x)±g(x)dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx

    =∫24x3dx+∫244dx

    ∫24x3dx=60

    ∫24x3dx

    Aplicar la regla de la potencia

    ∫24x3dx
    a+1
    x
    Aplicar la regla de la potencia:    ∫xadx=  ,      a≠−1
    a+1
    3 +1
    x 4
    =[ ]2
    3+1
    x3 +1 x4
    Simplificar  :      
    3+1 4

    x a+1
     
    a+1
    Sumar: 3+1=4

    x4
    =  
    4

    x4 4
    =[ ]2
    4
    Calcular los límites:    60

    ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=limx→ b−(F(x))−limx→ a+(F(x))


    4
    x
    limx→ 2+(  )=4
    4
    x4
    limx→ 2+(  )
    4
    Sustituir la variable
    4
    2
    =  
    4
    4
    2
    Simplificar  :    4
    4
    24
     
    4
    Factorizar 4:    22

    Factorizar 4=22

    24
    = 2 
    2
    4
    2 2
    Cancelar 2  :    2
    2

    24
    2 
    2
    a
    x a−b
    Aplicar las leyes de los exponentes:     =x
    xb
    4
    2 4−2
    2  =2
    2
    =24−2

    Restar: 4−2=2

    =22

    22=4

    =4
    4
    x
    limx→ 4− (  )=64
    4
    4
    x
    limx→ 4− (  )
    4
    Sustituir la variable

    =444 
    4
    4
    Simplificar  :    64
    4
    4
    4
     
    4
    Eliminar los términos comunes: 4

    =43

    43=64

    =64

    =64−4

    Simplificar

    =60

    ∫244dx

    Integral de una constante:    ∫adx=ax

    = [4x]42

    Calcular los límites:    8

    ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=limx→ b−(F(x))−limx→ a+(F(x))

    limx→ 2+(4x)=8

    limx→ 2+(4x)

    Sustituir la variable

    =4· 2

    Simplificar

    =8

    limx→ 4− (4x)=16

    limx→ 4− (4x)

    Sustituir la variable

    =4· 4

    Simplificar

    =16

    =16−8

    Simplificar

    =8
    =60+8

    Simplificar

    =68
    2
    b) ∫ ( 10+ 4 x−3 x 3 ) dx
    2

    ∫10+4x−3x3dx
    2
    2

    Cuando los límites son iguales, la integral es igual a 0


    ∫ a
    a
    f(x)dx=0, a≠∞

    =0

    2) Dibuje la región cuya área está dada por la integral definida. A continuación, use una fórmula
    geométrica para evaluar la integral (a> 0, r > 0).
    8
    x
    a)∫ dx
    0 4

    1 1
    A= bh= ( 8 ) ( 2 )=8
    2 2
    8

    ∫ 4x =8
    0

    ∫ √ r 2−x 2 dx
    −a

    1 2
    A= π r
    2
    a
    1 2
    A=∫ √ r −x dx=¿ π r ¿
    2 2

    −a 2

    3) Evalúe la integral utilizando los siguientes valores


    4 4 4

    ∫x 3
    dx=60 ,∫ xdx=6 ,∫ dx=2
    2 2 2
    4 4 4
    A) ∫ ( x 3 + 4 ) dx=¿ ∫ x 3 dx+ 4 ∫ dx =60+4 ( 2 )=68 ¿
    2 2 2

    4 4 4 4
    B) ∫ (10+4 x−3 x ) dx=10∫ dx+ 4 ∫ x dx−3∫ x 3 dx=10 ( 2 ) + 4 ( 6 ) −3 ( 60 )=−136
    3

    2 2 2 2

    4) Encuentre la integral definida de la función algebraica. Utilice una herramienta de graficación


    para comprobar el resultado.
    −1

    a)∫ u−
    −2
    ( 1
    u2 )
    du

    ) [ ] ( )( )
    −1 4

    (
    2
    1 u 1 1 1
    ∫ u− 2 du= + = −1 = 2− =−2
    u 2 u 1 2 2
    −2

    π
    4
    sec 2 0
    b)
    ∫ tan2 0+1 d 0
    0

    π π
    4 2 4 π

    ∫ sec 2
    0
    d 0=∫ d 0= [ 0 ] 04 =
    π
    4
    0 tan 0 0

    5) Encuentre el valor medio de la función en el intervalo dado y todos los valores de x en el


    intervalo para los cuales la función es igual a su valor promedio

    a) f ( x )=cosx , 0 , [ ]
    π
    2
    π

    [ ]
    2 π
    1
    ∫ cos x dx= π2 sinx 2 = 2π
    ( )
    π
    2
    −0 0 0

    2
    π
    2
    cos x=¿ ¿
    π
    x ≈ 0.881
    b) f ( x )=4 x 3−3 x 2 , [ 0,1 ]
    1
    1 1
    ∫
    1−0 0
    ( 4 x 3−3 x 2 ) dx=¿ [ x 4−x 3 ] 0=0 ¿

    =0
    3 2
    4 x −3 x =0

    x 2 ( 4 x−3 ) =0
    3
    x=0 ,
    4
    6) La función de la velocidad, en pies por segundo, está dada para una partícula que se mueve a lo
    largo de una línea recta. Encuentre (a) el desplazamiento y (b) la distancia total que la partícula
    recorre en el intervalo dado.
    2
    v ( t )=t −t−12 ,1 ≤ t ≤ 5
    5
    Desplazamiento¿ ∫ ( t −t−12 ) dt
    2

    [ ] (
    5

    )( ) ( )
    3 2
    t t 125 25 1 1 −56 56
    ¿ − −12 t = − −60 − − −12 = pies a la izquierda
    3 2 1 3 2 3 2 3 3
    4 5
    (b)Total distancia recorrida ¿ ∫ (−t + t+12 ) dt +¿∫ ( t −t−12 ) dt ¿
    2 2

    1 4

    [ ][ ]
    4 5
    −t 3 t 2 t 3 t2
    ¿ + + 12t + − −12 t
    3 2 1 3 2 4

    ¿ ( −643 + 8+48)−( −13 + 12 + 12)+( 1253 − 252 −60)−( 643 −8−48)


    − +( ) −(
    3 ) 3
    104 73 −185 −104 79
    ¿ = ft
    3 6 6

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