EJERCICIO 1 y 2

EJERCICIO 1
1
I =∫ dx
(x−1) √ x 2 +7 x+ 10
Frente este ejercicio, el desarrollo de la solución no está en una sola prescripción, sino, que
existen más de un método para dar solución a este ejercicio propuesto. Dentro de estos
encontramos al “Método del cambio de variable” y “método por sustitución trigonométrica”.
Pero, en esta oportunidad se desarrollará por un método enseñado en la semana N°8, que es el
Método por sustitución de Euler, en el cual nos manifiesta lo siguiente:
Si se tiene una integral de la forma:
∫ R (x , ¿ √ax 2 +bx +c )dx ¿

Se optará por hacer una sustitución solamente a la raíz, resaltando que, la raíz puede
encontrarse en el numerador o denominador, dependiendo de lo siguiente.
 Si ax 2 +bx +c , es factorizable, se expresa del siguiente modo:

2
ax +bx +c=a( x−α )( x−β)
√ ax 2 +bx +c=t ( x−β ) β : raiz menor
 Si ax +bx +c , tiene ∆ <0, se procede a:
2
√ ax +bx +c= √ a x−t

2
t−√ a x
{
√ a x +t
 Si ax 2 +bx +c , tiene a< 0 y c >0 , se procede a hacer la siguiente sustitución:

√ ax 2 +bx +c=√ c +tx
Por lo que, en este ejercicio se optara por el caso 1, así:
2
x + 7 x+10=(x +2)(x +5)
√(x +2)(x+ 5)=t ( x +2 ) t= √

x 2+7 x +10
x +2
Elevando al cuadrado
2 2
(x +2)(x+5)=t (x +2)
Simplificando
2
x +5=t ( x +2)
Despejando la variable x, se obtiene lo siguiente:
2 2
x +5=t x +2 t
2 2
x−t x=2 t −5
2 2
x (1−t )=2t −5
2
2t −5
x= 2
1−t
Derivando implícitamente:
4 t ( 1−t 2 )−(−2 t)(2 t 2−5)

dx= 2 2
dt
(1−t )
Reduciendo términos semejantes, se obtiene:
3 3
4 t−4 t +4 t −10t
dx= 2 2
dt
(1−t )
−6 t
dx= 2 2
dt
(1−t )
Ahora reemplazando en la integral propuesta se tiene:
1
I =∫ dx
(x−1) √ x 2 +7 x+ 10
1 −6 t
I =∫ . dt
( )( )
2 2
2
2 t −5 2 t −5
2
(1−t )
2
−1 t 2
+2
1−t 1−t
Desarrollando, reduciendo y ordenándolo la expresión, nos queda:
1 −6 t
I =∫ . dt
( )( )
2 2
2
2 t −5 2 t −5
2
(1−t )
2
−1 t 2
+2
1−t 1−t
6 1
I =−∫ . dt
( )( )
2 2
2
2 t −5−1+t
2 2
2t −5+2−2t
2
(1−t )
2 2
1−t 1−t
6
I =−∫ 2
dt
(3 t −6)(−3)
2
I =∫ 2
dt
(3 t −6)
2 1
I= ∫
3 t −2
2
dt
Finalmente, aplicamos una de las fórmulas básicas de integración y expresamos la solución en

función de la variable x, donde nos quedaría de la siguiente manera:
2 1
I= ∫
3 t −2
2
dt
2 1
I= .
3 2 √2
ln
t−√ 2
t +√ 2
+C
| |
| |
√ x 2+7 x +10 −√ 2
1 x +2
I= ln +C
3 √2 √ x +7 x +10 +√ 2
2
x +2
I=
1
3 √2
ln
| √ x 2 +7 x+10−√ 2(x +2) +C
√ x 2 +7 x +10+√ 2(x+ 2) |
EJERCICIO 2
1
I =∫ dx
√5−8 x−x 2
Para la solución a esta integral, se procederá con el mismo método aplicado anteriormente por
lo que, esta vez usaremos el caso 3, por lo consiguiente:
2 2
5−8 x−x ; a< 0 y c >0 , ax +bx +c
Por ello, la sustitución por el método de Euler es:
√ 5−8 x−x =tx +√5 t=

2 √ 5−8 x−x 2− √ 5
x
Elevando al cuadrado en ambos miembros, con el fin de simplificar y luego despejar la variable
x, se obtiene lo siguiente:
2
5−8 x−x 2=(tx+ √ 5)
5−8 x−x =t x +2 √ 5 tx+5

2 2 2
−8 x−x =t x +2 √ 5 tx
2 2 2
−8−x=t x +2 √ 5 t
2
−x−t x=2 √ 5 t+8

2
−x (1+t )=2 √ 5 t +8
2
−(2 √ 5 t+8)
x= 2
1+t
Derivando implícitamente:
−2 √ 5 ( 1+ t 2 ) −2t (−( 2 √ 5 t+8 ))

dx= 2 2
dt
(1+ t )
2 2
−2 √ 5−2 √ 5t +4 √5 t +16 t
dx= dt
(1+t 2 )2
2
2 √5 t +16 t−2 √5
dx= dt
(1+ t 2 )2
Ahora, reemplazando en la integral propuesta:
1
I =∫ dx
√5−8 x−x 2
2
1 2 √ 5t +16 t−2 √ 5
I =∫ . dt
( )
2 2
−(2 √ 5 t+ 8) (1+ t )
t 2
+ √5
1+t
2
1 2 √ 5 t +16 t−2 √ 5
I =∫ . dt
( )
2 2
−2 √ 5 t −8 t+ √ 5+ √ 5 t (1+t )
2 2
2
1+t
2
1 2 √ 5t +16 t−2 √ 5
I =∫ . dt
−√ 5 t −8 t+ √ 5
2 2
(1+t )
2
I =−2∫
1
.
√ 5t +8 t−√ 5 dt
√5 t + 8t− √5
2 2
(1+t )
1
I =−2∫ 2
dt
1+t
Finalmente, aplicando una de las Fórmulas básicas de integración y expresándolo en términos
de la variable x, nos queda de la siguiente manera:
I =−2 arcotan ( t ) +C
I =−2 arcotan ( √5−8 x−x 2−√5

x ) +C

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EJERCICIO 1

Si se tiene una integral de la forma:

∫ R (x , ¿ √ax 2 +bx +c )dx ¿

 Si ax 2 +bx +c , es factorizable, se expresa del siguiente modo:

√ ax +bx +c= √ a x−t

 Si ax 2 +bx +c , tiene a< 0 y c >0 , se procede a hacer la siguiente sustitución:

√(x +2)(x+ 5)=t ( x +2 ) t= √

4 t ( 1−t 2 )−(−2 t)(2 t 2−5)

Desarrollando, reduciendo y ordenándolo la expresión, nos queda:

Finalmente, aplicamos una de las fórmulas básicas de integración y expresamos la solución en

√ 5−8 x−x =tx +√5 t=

5−8 x−x =t x +2 √ 5 tx+5

−x−t x=2 √ 5 t+8

−2 √ 5 ( 1+ t 2 ) −2t (−( 2 √ 5 t+8 ))

I =−2 arcotan ( √5−8 x−x 2−√5

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