Teorema de Schwartz

TEOREMA DE SCHWARTZ.
INTRODUCCIÓN
¿QUE ES UNA DERIVADA PARCIAL?
En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a
una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles
en cálculo vectorial y geometría diferencial.
La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las
siguientes notaciones equivalentes:
Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud es función de diversas variables ( , , , ), es decir:
Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta
tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la
incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Supongamos que es una función de más de una variable, es decir una función real de variable
vectorial. Para el caso,
Un gráfico de z = x2 + xy + y2. Queremos encontrar la derivada parcial en (1, 1, 3) que deja a y constante; la
correspondiente línea tangente es paralela al eje x.
Es difícil describir la derivada de tal función, ya que existe un número infinito de líneas tangentes
en cada punto de su superficie. La derivación parcial es el acto de elegir una de esas líneas y
encontrar su pendiente. Generalmente, las líneas que mas interesan son aquellas que son
paralelas al eje x, y aquellas que son paralelas al eje y.
Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.
Una buena manera de encontrar los valores para esas líneas paralelas es la de tratar las otras
variables como constantes mientras se deja a variar sólo una. Por ejemplo, para encontrar la línea
tangente de la función de arriba en (1, 1, 3) que es paralela el eje x, tratamos a la variable y como
constante. El gráfico de la función y el plano y = 1 se muestran a la derecha. A la izquierda, vemos
cómo se ve la función, en el plano y = 1. Encontrando la línea tangente en este gráfico,
descubrimos que la pendiente de la línea tangente de ƒ en (1, 1, 3) que es paralela al eje x es tres.
Que escribimos:
en el punto (1, 1, 3),
o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."
TEOREMA DE SCHWARTZ
(Derivadas parciales de orden superior)
En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también

conocido como teorema de Schwartz o teorema de la igualdad de las derivadas cruzadas es
una condición suficiente de la igualdad de las derivadas parciales cruzadas de una función de
varias variables. El teorema establece que si las derivadas parciales cruzadas existen y son
continuas entonces son iguales.
ENUNCIADO GENERAL:
Sea : , A un conjunto abierto, tal que existen las segundas derivadas cruzadas
y son continuas en A.
Entonces para cualquier punto se cumple que:
ENUNCIADO EN DOS VARIABLES:
Sea
una función de dos variables, definida en un conjunto abierto del plano . si existen las
segundas derivadas cruzadas y son continuas en ( ) estas son iguales, es decir:
.
Demostración
Sea
Y sean , reales tales que . Lo

cual es posible, ya que es un abierto de .
Se definen dos funciones y
,
,
de modo que:
.
,
Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:
,
y análogamente:
,
con , , por comodidad de escritura

pero sin perder generalidad, se suponen .
Luego haciendo tender y a se logra la tesis.

Veremos ahora un ejemplo en el que las derivadas cruzadas no son iguales por que la
función f(x ,y) no tiene derivadas cruzadas continuas en (0,0)
Calcular las derivadas cruzadas de la siguiente función en (0,0) por definición:
xy . x2 - y2 si (x ,y) (0,0)
x2 + y2
f(x,y) =
0 si (x,y) = (0,0)
Por definición de derivada parcial cruzada de segundo orden :
f (h,0) - f(0,0)
 f (0,0) = lim
2
y y (A)
x y h0 h
Pero como no conocemos los valores de las derivadas que aparecen en el numerador del
cociente debemos calcularlas:
h k . h 2 – k2 - 0
f (h,0) = lim f (h,k) - f (h,0) = lim h 2 + k2 = h
y k0 k k0 k
f (0,0) = lim f (0,k) - f (0,0) = lim 0 - 0 =0

y k0 k k0 k
Reemplazando los valores obtenidos en la fórmula (A), nos queda:
 2 f (0,0) = lim h - 0 = 1
x y h0 h
Proponemos al alumno que calcule la  2 f (0,0) de manera similar y obtendrá como

y x
resultado el valor - 1, demostrando así que las derivadas cruzadas no son iguales .
EJEMPLOS:
1)
Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el

valor de fxy(-1,2)
Solución
Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:
Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta
Finalmente, fxy(-1,2)=12-40=-282
2)

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TEOREMA DE SCHWARTZ.

Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud es función de diversas variables ( , , , ), es decir:

Este es un corte del gráfico a la derecha de y = 1.

en el punto (1, 1, 3),

o como "La derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1, 3) es 3."

En matemáticas y más concretamente en cálculo diferencial el teorema de Clairaut, también

Entonces para cualquier punto se cumple que:

ENUNCIADO EN DOS VARIABLES:

segundas derivadas cruzadas y son continuas en ( ) estas son iguales, es decir:

Y sean , reales tales que . Lo

Se definen dos funciones y

Aplicando dos veces el teorema de Lagrange:

con , , por comodidad de escritura

Luego haciendo tender y a se logra la tesis.

Calcular las derivadas cruzadas de la siguiente función en (0,0) por definición:

Por definición de derivada parcial cruzada de segundo orden :

f (0,0) = lim f (0,k) - f (0,0) = lim 0 - 0 =0

Reemplazando los valores obtenidos en la fórmula (A), nos queda:

Proponemos al alumno que calcule la  2 f (0,0) de manera similar y obtendrá como

Encontrar las derivadas parciales segundas de y calcular el

Primero calculemos las derivadas parciales primeras con respecto a x y a y:

Y derivando cada una de estas con respecto a x y a y, resulta

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