TRABAJO N°2

INTEGRALES DOBLES

Presentado por:
Diego Alejandro Urbina Molina

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA

SANTANDER-UFPS
TECNOLOGIA EN PROCESOS INDUSTRIALES
1980984
CUCUTA, NORTE DE SANTANDER
2021
 TRABAJO N°2
INTEGRALES DOBLES

Presentado por:
Diego Alejandro Urbina Molina-

Presentado a:
Fabio Cárdenas

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA

SANTANDER-UFPS
TECNOLOGIA EN PROCESOS INDUSTRIALES
1980984
CUCUTA, NORTE DE SANTANDER
2021
Integrales dobles

En esta sección vamos a trabajar con integrales DEFINIDAS, para funciones de dos variables
sobre regiones planas, llamadas integrales dobles. Realizaremos el cálculo de estas integrales
sobre una región dada en el plano y el resultado sería un NUMERO.

Integral doble en un rectángulo

Pensemos en una función de dos variables f: R ⊂ R2 → R, cuyo dominio es un rectángulo

cerrado R con lados paralelos a los ejes coordenados. El rectángulo R puede describirse en
términos de dos intervalos cerrados [a,b] y [c,d], que representan a sus lados a lo largo de los
ejes x e y, respectivamente. Esto es,

R = {(x,y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} o R = [a,b] × [c,d]. (Dibuje el rectángulo

Ren el plano xy).

Supongamos que f(x,y) ≥ 0 en R, de manera que su grafica es una superficie en R3 que está
arriba del rectángulo R. Consideremos ahora, la región sólida, S, de R3, limitada por: el
rectángulo R (como “piso”), los cuatro planos verticales x = a, x = b, y = c e y = d (como
“paredes”) la superficie de la gráfica de f (como “techo”). Nuestro objetivo es hallar el volumen
del solido S. Así como en una variable, se comenzó el estudio de integrales aproximando el
´área bajo la curva y = F(x) de una función F(x) ≥ 0 en el intervalo [a,b], en dos variables
aproximaremos el volumen bajo la superficie z = f(x,y) de una función f(x,y) ≥ 0 en el rectángulo
R.

¿Cómo encaramos la aproximación del volumen de S? El primer paso es dividir el rectángulo R

en sub rectángulos, para lo cual, comenzaremos subdividiendo los intervalos [a,b] y [c,d]. Por
ejemplo, dividiremos el intervalo [a,b] en n sub intervalos, numerados con i = 1,2,··· ,n, de igual
ancho ∆ y el intervalo [c,d] en m sub intervalos, numerados con j = 1,··· ,m, también de
igual ancho ∆ . ¿Ver Figura? Luego R queda dividido en nm sub rectángulos, que
llamaremos Rij. ¿cuál es el ´área de cada sub rectángulo?

Figura 2: Sub división del rectángulo R en n · m sub rectángulos de área ∆A = ∆x∆y cada uno
Tomemos un punto “de muestra” cualquiera, que llamaremos (x∗ij,yij∗ ), en cada sub rectángulo
Rij y aproximemos la parte del solido S que está arriba de Rij con un paralelepípedo (o
“columna”) de base Rij y altura f(x∗i ,yj∗). ¿Qué volumen tiene esta “columna”? ¿Sabemos
calcularlo? El volumen de cada columna está dado por f(x∗ij,yij∗ )∆A.
Si realizamos este procedimiento de aproximación para los nm subrect´angulos y sumamos los
volúmenes de todas las nm “columnas”, obtendremos una aproximación del volumen total del
solido S:

n m

Snm = XXf(x∗ij,yij∗ )∆A

i=1 j=1
Esta suma se llama suma doble de Riemann (comparar con la suma de Riemann para una
función de una variable).

EJEMPLO 1: Estimar el volumen del solido que se encuentra arriba del rectángulo R =
[0,2]×[−1,1] y debajo del paraboloide elíptico z = 16−x 2−2y2. Para ello, dividir R en cuatro
subrect´angulos iguales y elegir el punto “de muestra” como la esquina superior derecha de
cada sub rectángulo Rij.

El primer paso para la aproximación es subdividir el rectángulo R. Para ello dividimos primero
cada uno de los intervalos [0,2] y [−1,1], en dos sub intervalos del mismo ancho. R queda así
subdividido en 4 subrect´angulos: R11, R12, R21 y R22, con área ∆A = 1 cada uno. Elegimos como
punto “demuestra” la esquina superior derecha de cada R ij, esto es:
,
. Calculamos la correspondiente suma de Riemann para la
función
f(x,y) = 16 − x2 − 2y2 (que resulta positiva sobre R):

Con 4 subrect´angulos, la aproximación al volumen del solido es V ≈ 48. Al aumentar el número

de subdivisiones considerando n y m cada vez más grandes, la aproximación mejorara. Pruebe
con n = m = 4 ¿Qué aproximación al volumen del solido obtuvo? Si el valor exacto del volumen
es V = 52,¿mejor´o la aproximación?
En este ejemplo, si tenemos en cuenta la simetría de la función, f(x,y) = f(x,−y) para todo (x,y) ∈
R2, observamos que el volumen del solido sobre R = [0,2] × [−1,1] es 2 veces el volumen del
solido sobre [0,2] × [0,1]. Podríamos haber trabajado entonces sobre el rectángulo más
pequeño y luego hacer V [0,2]×[−1,1] = 2V[0,2]×[0,1]. Utilice este resultado y aproxime el volumen
pedido, calculando la suma de Riemann para f sobre [0,2] × [0,1] con 4 subrect´angulos.
Compare con la aproximación obtenida previamente.

En general, cuando f(x,y) ≥ 0 sobre R, podemos expresar el volumen del solido que se
encuentra bajo la gráfica de f y arriba del rectángulo R como:
n m

V = l´ım XXf(x∗ij,yij∗ )∆A n,m→∞ i=1

j=1

Esta expresión induce la siguiente definición de integral doble de una función de dos variables
sobre un rectángulo:

DEFINICION:
La integral doble de una función de dos variables f, sobre el rectángulo R es

si este límite existe.

Si f es una función continua en R, se puede demostrar que el límite de la definición anterior
existe y el resultado es un número real.

Notemos que la definición anterior es aplicable a cualquier función de dos variables, sin
importar su signo. Ahora bien, cuando f(x,y) ≥ 0 en R, la integral doble RRR f(x,y)dA, representa
el volumen V del solido que se encuentra arriba del rectángulo R y debajo de la superficie z =
f(x,y), y puede escribirse:
ZZ V =
f(x,y)dA
R

Integrales dobles iteradas

Sabemos por lo visto en Análisis I, que evaluar una integral de una variable utilizando
directamente su definición en base a sumas de Riemann es una tarea difícil, y en este sentido,
el Teorema Fundamental del Calculo (TFC) proporciona un método más simple para calcularla.
La evaluación de integrales dobles a partir de su definición es incluso más difícil, pero veremos
en esta sección una forma práctica que en general nos permitirá calcularlas.

Supongamos que f(x,y) es una función continua de dos variables, definida en el rectángulo R =
[a,b]×[c,d]. Pensemos ahora en la siguiente integral . ¿Qué significa? Esta notación
quiere decir que la variable x queda fija mientras f(x,y) se integra con respecto a y, desde y = c
hasta y = d. Observemos que nos da una expresión que depende de x. Si ahora
integramos ´esta con respecto a x, desde x = a
hasta x = b, obtenemos

Esta expresión se conoce como integral iterada (iterar significa repetir, volver a hacer un
proceso: en este caso la iteración consiste en integrar una vez y luego volver a integrar otra vez
más). En general, la escribiremos:

donde queda indicado que primero integramos con respecto a y, desde c hasta d, y luego con
respecto a x, desde a hasta b.

De manera similar, tenemos la integral iterada

indicando que primero integramos con respecto a x, desde a hasta b, y luego integramos la
expresión resultante con respecto a y, desde c hasta d.

EJEMPLO 2: Evaluar las siguientes integrales iteradas: (a) ; ( b)

(a) Primero hacemos , o sea que la variable x queda fija mientras x 2y se integra con
respecto
a y, desde y = 1 hasta y = 3:

Ahora integramos esta expresión con respecto a x, desde x = 0 hasta x = 2:

(b) En este caso, primero hacemos :

Notemos que, en el ejemplo previo, se obtuvo la misma respuesta cuando integramos primero
con respecto a y, que cuando integramos primero con respecto a x. El siguiente teorema
indica, efectivamente, que, bajo ciertas condiciones, las dos integrales iteradas dan el mismo
valor numérico, es decir que el orden de integración no altera el resultado. Este teorema
proporciona además un método para evaluar una integral doble expresándola como integral
iterada (en cualquier orden):

Teorema de Fubini para integrales dobles:

Si f : R ⊂ R2 → R es una función continua en el rectángulo R = {(x,y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d},
entonces

En general el Teorema de Fubini se satisface aún bajo condiciones más débiles: basta con
suponer que la función f está acotada en R, es discontinua solo en un número finito de curvas
suaves y existen las integrales iteradas.

El Teorema de Fubini nos permite entonces calcular la integral doble sobre un rectángulo una
función continua, mediante integrales iteradas, esto es, integrando con respecto a una
variable a la vez y además en cualquier orden de integración, lo que es muy conveniente
como veremos en los siguientes ejemplos.

RR
EJEMPLO 3: Calcular la integral doble R(1 + 6xy2)dA, donde R = [0,2] × [−1,1]

Para calcular la integral doble sobre el rectángulo R utilizaremos el teorema de Fubini y

como este teorema nos permite elegir el orden, utilizaremos la siguiente integral iterada:
Calcular integrando primero respecto de la variable x, y verificar que se obtiene el mismo
resultado.

EJEMPLO 4: Calcular RRR y sen(xy)dA, donde R = {(x,y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ π}

Si primero integramos con respecto a x, obtenemos

ZZ ZπZ2
y sen(xy)dA = y sen(xy)dxdy

sen(2
= 0

Notar que, para evaluar la primera integral, necesitamos dar una primitiva para una
función del tipo k sen(kx). En cambio, si hubiéramos integrado primero respecto de la
variable y, hubi´eramos necesitado una primitiva para y sen(xy) con respecto a y, es decir
una función de la forma: polinomio (en y) por función trigonométrica, que requiere
integración por partes. ¡Claramente en este ejemplo conviene integrar primero respecto de
x!

EJEMPLO 5: Calcular el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos
coordenados, el plano x = 3 y el cilindro parabólico z = 4 − y2. Esboce el grafico del sólido.

Como f(x,y) = 4−y2 resulta positiva sobre el rectángulo R = [0,3]×[0,2], el volumen puede
obtenerse como la integral doble de la función f sobre R. Como en el primer octante z ≥ 0,
se debe cumplir z = 4 − y2 ≥ 0, esto es |y| ≤ 2. Si primero integramos con respecto a x,
obtenemos
 Evalué el volumen integrando primero respecto de y. ¿Obtuvo el mismo valor?

Integral doble en una región plana general

En el caso de integrales definidas en una variable la región de integración es un intervalo,
pero en dos variables la situación es más rica y hay mayor variedad de regiones para
considerar. Hasta ahora estudiamos integrales dobles sobre rectángulos; en esta sección
definiremos la integral doble sobre una región D más general.

Supongamos que D es una región acotada, es decir que existe un rectángulo R tal que D ⊂
R. Definimos entonces una nueva función F, con dominio en el rectángulo R, de la siguiente
forma:

Entonces, si la integral doble de F sobre R existe (notar que es una integral sobre un
rectángulo), definimos la integral de f sobre D como:

donde la segunda es una integral sobre un rectángulo que ya sabemos calcular. Por otra parte,
la definición es “natural” (razonable) ya que F(x,y) = 0 cuando (x,y) se encuentra fuera de D y
por lo tanto “no aporta nada” a la integral. Notemos que no importa el rectángulo R que
consideremos, el único requisito es que R contenga a D.

Nos preguntamos, ¿qué pasa cuando f(x,y) ≥ 0? La integral doble RRD f(x,y)dA ¿es el volumen
del solidó que se encuentra arriba de D y debajo de la gráfica de f? Es fácil darse cuenta que sí.
¡Observemos que f(x,y) ≥ 0 implica que F(x,y) ≥ 0 también, y la RRR F(x,y)dA (integral sobre un
rectángulo) es entonces el volumen del solido que se encuentra arriba de R y debajo de la
gráfica de F, pero ambos sólidos tienen el mismo volumen!

En general, es posible que F tenga discontinuidades en los puntos de la frontera de D (¿cuándo

esto no ocurriría?, ¿cómo sería f en ese caso?). Sin embargo, si f es continua en D y además la
frontera de D es una curva “bien comportada”, se puede demostrar que la integral doble de F
sobre R existe y por lo tanto RRD f(x,y)dA existe. Estudiaremos a continuación, regiones de
integración D que tienen este “buen comportamiento”: las clasificaremos en regiones de tipo I y
regiones de tipo II. Hay regions del Plano que

son de ambos tipos (“muy bien comportadas”), y otras que no son de ninguno de estos dos
tipos... veremos cómo proceder en estos casos.
Regiones planas de tipo I y tipo II
• Una región plana es de tipo I si se encuentra entre las gráficas de dos funciones continuas de
la variable x, esto es:
D I ={( x , y) :a ≤ x ≤ b , g 1( x )≤ y ≤ g 2( x )}

donde g1 y g2 son funciones continuas de x en [a, b]. ¿Ver Figura?

Por ejemplo, la región del plano xy limitada por las curvas y = x, y = x2 y las rectas
verticales x = 3 y x = 4, es una región de tipo I, ¿en qué intervalo de x? Un círculo de radio
1 centrado en el origen, es una región de tipo I en el intervalo [−1 ,1]. ¿Cuáles son las
funciones g1(x) y g2(x)? La región encerrada entre dos círculos concéntricos centrados en
el origen con radios 1 y 2, respectivamente, no es una región de tipo I; ¿por qué? La
región encerrada entre el eje x y la funci´on g(x) = [x] (funci´on “parte entera”) en el
intervalo [1,3], no es de tipo I, pero sí es unión de dos regiones de tipo I, ¿cuáles son?
Dibujelas.

Figura 3: Algunos ejemplos de regiones de tipo I

Supongamos entonces que D es una región de tipo I, ¿cómo encaramos en este caso el c
´alculo de la integral doble sobre la región D? Siguiendo la definición, eligiéremos un
rectángulo R que contenga a D (¿existirá?) y luego definimos F, que coincidirá con f en D
y se anulara fuera de D. Aplicando finalmente la definición:
ZZ ZZ
f(x,y)dA = F(x,y)dA
D R

Si aplicamos el Teorema de Fubini en la última integral (explique porque podemos

hacerlo), tenemos:

Si tenemos en cuenta que F(x,y) = 0 si y < g1(x) ´o y > g2(x) (¿por qué?), podemos escribir:
 donde hemos tenido en cuenta que F(x,y) = f(x,y) en D, o sea cuando g1(x) ≤ y ≤ g2(x). O
sea que finalmente podemos escribir una integral doble sobre una región D de tipo I, como
una integral iterada:

Integral doble en regiones de tipo I:

Sea f : DI ⊂ R2 → R una funci´on continua en una región DI de tipo I,

¿ {(x , y ): a≤ x ≤ b , g 1( x)≤ y ≤ g 2( x )}

donde g1 y g2 son funciones continuas en [a,b], entonces

• Una región plana es de tipo II si se encuentra entre las gráficas de dos funciones continuas
de la

variable y, esto es:

D II={(x , y ): c ≤ y ≤ d , h1( y)≤ x ≤h 2( y)}

donde h1 y h2 son funciones continuas en [c,d]. Ver Figura?

Figura 4: Algunos ejemplos de regiones de tipo II

Procediendo de manera similar a lo que hicimos con las regiones de tipo I, se puede
demostrar para las regiones de tipo II un resultado semejante:

Integral doble en regiones de tipo II:

Sea f : DII ⊂ R2 → R una funci´on continua en una región DII de tipo II,

DII = {(x,y) : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}

donde h1 y h2 son funciones continuas en [c,d], entonces

 EJEMPLO 6: Hallar RRD(x3y + cosx)dA, donde D es el triángulo en el plano xy con
vértices 0) y (

Observemos que el triángulo D es una región de tipo I:

y también es una región de tipo II:

Entonces, podemos calcular la integral doble integrando primero con respecto a y (D = DI

como región de tipo I) ´o primero con respecto a x (D = DII como región de tipo II). Para
ilustrar el procedimiento, lo haremos de las dos formas:
(a) Consideremos D = DI:

Notar que en el c´alculo anterior, necesitamos aplicar “integración por partes” para hallar
una primitiva para xcosx.
(b) Consideremos ahora D = DII:

Como era de esperar, considerando a D de tipo I ´o de tipo II, llegamos al mismo resultado. En
cuanto al grado de dificultad de los cálculos, si bien fue semejante en ambos casos, notemos
que cuando consideramos D = DI fue necesario aplicar “integración por partes”.
Este ejemplo nos muestra la conveniencia de observar un poco las integrales antes de decidir
el orden de las integrales iteradas. Esta observación comprende tanto la región a integrar,
como el integrando. Notar, por ejemplo, que la RR xdA sobre un círculo D centrado en el origen,
da 0 por simetría.
Recordemos que cuando f(x,y) ≥ 0 sobre la región D, la integral doble es el volumen del solidó
que está por arriba de la región D y por debajo de la gráfica de f. En los dos ejemplos
siguientes usaremos integral doble para calcular el volumen de un solidó.

EJEMPLO 7: Determinar el volumen del solidó acotado por arriba por el cilindro
parabólico z = x2 y por debajo por la región del plano xy encerrada por la parábola y = 2 −
x2 y la recta y = x.

Figura 5: Región del plano encerrada por la parábola y = 2 − x2 y la recta y = x

Veamos primero qué tipo de región es D: ¿si observamos la Figura?? notamos que D es
una región de tipo I y también de tipo II, ¿por qué? En este caso, por ser más simple,
consideraremos a D como región de tipo I. Necesitamos los puntos de intersección entre
la recta y = x y la parábola y = 2 − x 2 para poder definir a la región D. Así vemos que,
reemplazando y = x en la ecuación de la parábola, queda x = 2 − x 2, que tiene 2
soluciones, x = 1 y x = −2. Como y = x, los puntos de intersección son (1,1) y (−2,−2).
Entonces D = {(x,y) : −2 ≤ x ≤ 1,x ≤ y ≤ 2 − x 2}, y evaluamos las siguientes integrales
iteradas:

EJEMPLO 8: Halle el volumen del tetraedro limitado por los

planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 y z = 0. ¿Ver Figura?
 Figura 6: (a) Tetraedro en el primer octante (b) Región de integración D en el plano xy

Comenzamos haciendo una representación gráfica del solidó en R3. La base del tetraedro
es un triángulo en el plano xy, ¿cuáles son las rectas que lo limitan? Son las rectas del
plano xy determinadas cuando los planos de las “paredes” y el plano del “techo” cortan el
plano del “piso”, esto es, i) el plano xz corta al xy en el eje y, o sea en la recta x = 0, ii) el
plano x = 2y, corta al xy en la recta x = 2y, iii) el plano x + 2y + z = 2 corta al xy en la recta
x + 2y = 2. O sea que D es el triángulo limitado por las rectas x = 2y, x + 2y = 2 y x = 0.
Vemos que el solidó se encuentra por arriba del triángulo D y por debajo del plano z = 2 −
x − 2y.

Si ahora integramos nos queda:

Como ya hemos mencionado, en algunos casos puede ser conveniente invertir el orden
de la integración; por ejemplo, cuando la integral es muy difícil e intentamos ver si en el
orden inverso la dificultad es menor. ¿cómo invertir el orden de integración? Mostraremos
un ejemplo simple:

EJEMPLO 9: Graficar la región de integración para la integral

 Escribir una integral equivalente con el orden de integración inverso.

La región de integración es D = D I = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x}. Al trazar el grafico de la

región D, vemos que D está limitada por las curvas y = x 2 e y = 2x entre x = 0 y x = 2.
Para encontrar los límites de integración en el orden inverso, es decir cuando integramos
primero respecto de x y luego respecto de y (esto es, D = D II), podemos hacer lo siguiente:
imaginamos una recta horizontal que “atraviese” la región de izquierda a derecha.
Notamos que la recta “entra” en
√
y “sale” en x = y. Luego hacemos que y varíe desde y = 0 hasta y = 4. La
integral entonces queda:

El valor común de estas dos integrales es 8. Hacer las dos integrales como ejercicio.

Propiedades de los integrales dobles

RR
Sean f y g funciones de dos variables y supongamos que existen las integrales dobles D

f(x,y)dA y RRD g(x,y)dA, donde D es una región plana general. Entonces se cumple:

RR RR RR RR
1. D [f(x,y) + g(x,y)]dA = D f(x,y)dA + D g(x,y)dA 2. D

cf(x,y)dA = cRRD f(x,y)dA, donde c ∈ R es una constante.

3. Si f(x,y) ≥ g(x,y) para todo (x,y) ∈ D:

ZZ ZZ
f(x,y)dA ≥ g(x,y)dA
D D

4. Si D = D1 ∪ D2, donde D1 y D2 no se intersecan salvo quizás en sus fronteras, entonces

ZZ ZZ ZZ
f(x,y)dA = f(x,y)dA + f(x,y)dA
D D1 D2

5. Si integramos la función constante f(x,y) = 1 sobre una región D, obtenemos el área de D.

Z Z1dA = A(D)
D
 6. Si m ≤ f(x,y) ≤ M para todo (x,y) ∈ D, entonces
ZZ mA(D) ≤
f(x,y)dA ≤ M A(D)
D

Integral doble en coordenadas polares

Supongamos que se pretende calcular RRD xy dA, donde D es la porción, en el primer cuadrante,
de la corona circular de radio interior 2 y radio exterior 5. Algunas regiones del plano, como
esta D, son descriptas más fácilmente usando coordenadas polares en lugar de coordenadas
cartesianas (repasar lo visto en la Guía 1 – Sección 8.1). Por otro lado, una función de dos
variables definida para puntos P del plano puede también tener una expresión más simple si se
escriben x e y en términos de r y θ. En uno u otro caso, conviene operar en coordenadas
polares. Veamos entonces cómo se calcula una integral doble en este sistema de
coordenadas.

Empezamos por recordar la noción del denominado “rectángulo polar” o sector de corona
circular, visto en el Ejercicio 10 de la Guía 1:
R={( r ,θ):a ≤r ≤ b , α ≤ θ≤ β }
cuya área está dada por

.
Como ejemplo, el sector de corona circular entre los radios 2 y 3, y entre los ángulos es el
conjunto
; notar que, en coordenadas cartesianas, esta misma región se
escribe (grafique e indique si se trata de una región de
tipo I, o de tipo II, o de tipos I y II a la vez, o ni I ni II).
Una función f de dos variables puede darse en términos de las coordenadas polares, através de
la composición:
f (x (r ,θ) , y (r ,θ))=f (rcos θ , r sen θ) .

Como ejemplo, la función que indica la distancia de un punto al origen, f (x , y )= p x 2+ y 2, resulta

simple-mente f (rcos θ , r sen θ)= p(rcos θ) 2+(rsen θ) 2=r .
Con estos ingredientes, aplicamos la idea de sumas de Riemann al c´alculo de una integral
definida de una función de dos variables, sobre una región del plano con forma de “rectángulo
polar”.
Para ello, dividimos la región R en nm “subrect´angulos polares” dando una sub división del
radio en n tramos iguales de largo ∆ , y una sub división del ángulo en m partes cada una
de las cuales subtiende un arco de ∆ . ¿Cuál es el área de cada subsector de corona
circular Rij, entre ri y ri +∆r, y entre θj y θj + ∆θ? ¿Ver Figura?
 Figura 7: Sub división del sector de corona circular determinado por r ∈ [a,b], θ ∈ [α,β].

Aplicando la expresión dada más arriba para el área de un sector de corona, tenemos
.
Dado que ∆r es muy pequeño (tomando n suficientemente grande), se puede despreciar el
termino cuadrático, y resulta
∆Aij = ri ∆r∆θ

Observar que es razonable que aparezca el factor ri, pues para ∆r y ∆θ fijos, los subsectores Rij
más alejados del origen tienen área mayor.
Dentro de cada subsector Rij, elegimos un punto de muestra, que estará caracterizado por un
radio rij∗ y un ángulo θij∗ . Luego, la suma de Riemann doble en coordenadas polares queda

n m
Snm = XXf(rij∗ cosθij∗ ,rij∗ senθij∗ ) rij∗ ∆r∆θ

i=1 j=1

que, en el límite para n y m tendiendo a +∞, da la integral buscada.

DEFINICION:
La integral doble de f en coordenadas polares sobre el sector de corona circular R (denotado
por Rxy cuando se expresa en coordenadas cartesianas, y por R rθ cuando se expresa en
coordenadas polares), es

si el limite existe.
OBSERVACION:
Notamos que, al integrar en coordenadas polares, aparece un factor r que multiplica a los
diferenciales dr y dθ para formar el elemento de área: dA = rdr dθ. Se puede demostrar (mire en
la bibliografía) que ese factor está directamente relacionado con el Jacobiano de la
transformación de coordenadas cartesianas (x,y) a coordenadas polares (r,θ):

Para ser precisos, el factor que aparece al sustituir las variables es el valor absoluto del
Jacobiano:
|J(r,θ)| = r.
(¡No se debe olvidar el valor absoluto, ya que eso asegura que el elemento de área sea
positivo!!)

NOTA ADICIONAL:
El factor |J| no resulta tan sorprendente, si recordamos que para una función de una variable, la
técnica de sustitución dice que . Esto es, cuando se escribe x en
términos de u, aparece un factor x (u) = du , que es el análogo a J(r,θ) = ∂x∂r ∂y∂θ − ∂x∂θ ∂y∂r (en valor
0 dx

absoluto). Recordar además que la sustitución implica redefinir el intervalo de integración.

Se puede probar un resultado más general, la llamada transformación (o cambio) de
coordenadas, de (x,y) a (u,v), para funciones de dos variables, que permite calcular una integral
doble como

donde se incluye el valor absoluto del Jacobino de la transformación: |J(u,v)| = |xuyv − xvyu|, y se
tiene en cuenta la redefinición de la región de integración de modo que (u,v) ∈ Ruz. ¡En ciertas
ocasiones esta transformación facilita los cálculos, ya sea porque simplifica la función a
integrar, o porque resulta más sencilla la región de integración, o por ambos motivos! Busque
algún ejemplo en la bibliografía y estúdielo.

Por último, en coordenadas polares es aplicable la noción de integrales iteradas, y también se

puede definir la integral doble para regiones polares generales en el plano. En este caso,
hablamos de regiones polares de tipos I ´o II, cuando se dan entre valores fijos del radio o del
ángulo, respectivamente. ¿Cómo definiría estas regiones? ¿cómo serían los gráficos típicos?

En el siguiente ejemplo resumimos los pasos a seguir para calcular una integral doble usando
coordenadas polares.
.
Aplicaciones de los integrales dobles
Discutimos en esta sección algunas aplicaciones físicas de las integrales dobles.

Valor promedio de una función de dos variables

Si x1,x2,··· ,xn son n números, su promedio está definido por [

(por ejemplo: la altura promedio de los alumnos del curso). Este concepto nos lleva a definir el
valor promedio de una función de una variable F en el intervalo [a,b] como

donde b−a es la longitud del intervalo de integración (como n era el número de elementos en el
caso discreto dado). Ejemplo: Densidad promedio de una varilla metálica.

Asimismo, para funciones de dos variables, f : D ⊂ R2 → R, decimos que el valor promedio de f

sobre D es:

RR
donde A(D) es el área de D. Teniendo en cuenta que A(D) = D dA, podemos escribir el valor
promedio como:

Ejemplo: Temperatura promedio de una placa bidimensional.

EJEMPLO 10: Hallar el valor promedio de f(x,y) = xsen2(xy) en D = [0,π] × [0,π]

Primero calculamos
 =

El valor promedio es

Calculo de la masa total y coordenadas del centro de masa de

una placa

En Análisis I, aplicando integrales de una variable pudimos calcular momentos y también el

centro de masa de una placa delgada o lámina de densidad constante. Ahora, el cálculo con
integrales dobles, nos permite considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que
la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad superficial en un punto (x,y) ∈ D está
dada por ρ(x,y), donde ρ(x,y) es una función continua.
Se demuestra que la masa total de la lámina es:
ZZm=
ρ(x,y)dA
D
en kg, si ρ esta dada en kg/m2.

Podemos también encontrar el centro de masa de una lámina con densidad ρ(x,y) en una
región D. Las coordenadas (xCM,yCM) del centro de masa son:

(en m) donde m es la masa total de la lámina.

EJEMPLO 11: Hallar el centro de masa del rectángulo [0,1] × [0,1] si la densidad de masa es
ρ(x,y) = ex+y

Calculemos primero la masa total:

 Ahora calcularemos la integral:

de modo que:

Se pueden intercambiar los papeles de y y x en todos estos cálculos, por lo que igual que
xCM.