Límites y Derivadas
Límites y Derivadas
Límites y Derivadas
LÍMITES Y DERIVADAS
Bibliografía:
1. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería – Kreyszig 10ma. Edición, capítulo 13: 13.2-13.3
2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería 2, Cálculo Vectorial, Análisis de Fourier y
Análisis Complejo – Dennis Zill & Jacqueline Dewar 3ra. Edición, capítulo 9: 9.4-9.5
3. Variable Compleja – Murray Spiegel, 2da Edición, capítulo 2: 2.9-2.14,capítulo 3
y v
z f(z)
zo δ ϵ
l
x u
LÍMITES
Para el cálculo de los límites, se aplican las mismas propiedades de
los límites de funciones reales.
i z
Ejemplo 1: Calcular el límite de la lím z e 3
siguiente expresión, i z 3 1
z e 3
f ( z ) f ( zo )
f ' ( zo )
z zo
u ( x x, y ) iv ( x x, y ) u ( x, y ) iv ( x, y )
f ' z lím
x 0 x
u ( x x, y ) u ( x, y ) v( x x, y ) v( x, y )
f ' z lím i lím
x 0 x x 0 x
ECUACIONES DE CAUCHY - RIEMANN
u v
f' z i
x x
Ahora se sigue la segunda trayectoria con ∆𝑥 = 0 y ∆𝑧 = 𝑖∆𝑦.
u ( x, y y ) iv ( x, y y ) u ( x, y ) iv ( x, y )
f ' z lím
y 0 iy
u ( x, y y ) u ( x, y ) v( x, y y ) v( x, y )
f ' z lím i lím
y 0 iy y 0 iy
v u
f ' z i
y y
Como 𝑓′(𝑧) es única, entonces se deberá cumplir que:
u v v u Se denominan ecuaciones
x y x y de Cauchy – Riemann.
ECUACIONES DE CAUCHY - RIEMANN
u 1 v v 1 u
r r r r
1
Ejemplo 3: Determine la derivada de la función 𝑓 𝑧 = 𝑧 utilizando las
ecuaciones de Cauchy – Riemann.
2 v 2u 2v 2u
y 2
yx x 2
xy
Al igualar las segundas derivadas cruzadas se obtiene las
ecuaciones de Laplace para las funciones 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦).
2
u 2
u 2
v 2
v
2u 2 2 0 2v 2 2 0
x y x y
Como la función 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦), a las funciones 𝑢 𝑥, 𝑦 y
𝑣(𝑥, 𝑦) se les denomina funciones armónicas.