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Sebastian Tarea Calculo
Sebastian Tarea Calculo
Sebastian Tarea Calculo
FACULTAD DE INGENIERIA
2023
INTRODUCCION
éste en 1786. Luego, Luis XVI lo instaló en el Louvre, donde se dice que fue el favorito
de María Antonieta.
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INDICE
INTRODUCCION ................................................................................................ 2
INDICE ................................................................................................................ 3
1. CAPITULO I ............................................................................................... 4
2. CAPITULO II .............................................................................................. 8
3. CONCLUSIONES ..................................................................................... 16
4. BIBLIOGRAFIA ........................................................................................ 17
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1. CAPITULO I
Son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa
uno sin restricciones de “n+1” variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas.
con n variables a uno sin restricciones de “n+k” variables, donde “k” es igual al número
El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo, condicionado
con “k” restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin
variables.
condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes
mínimo de una función multivariable F(x, y..) cuando hay alguna restricción en los valores
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Esta técnica solo se aplica a restricciones que se ven así:
TEOREMA DE LAGRANGE
ecuación restricción g (x, y) = 0. Si “f” y “g” tienen primeras derivadas parciales continuas
existe un número real “λ” tal que Δf (x0, y0) = λ Δ g (x0, y0)
es alguna constante.
de entrada es bidimensional la
representa g( x, y ) = c proyectada
El objetivo es encontrar el
Paso 1: introduce una nueva variable λ y define una nueva función L como sigue:
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Esta función L se llama el "lagrangiano", y a la nueva variable λ se le conoce como
un "multiplicador de Lagrange".
Paso 3: considera cada solución, las cuales se ven algo como (X0 , Y0,…. Λ0)
Sustituye cada una en F. O más bien, primero quita la componente Λ0, después
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2. CAPITULO II
INTEGRALES MULTIPLES
Casi de la misma manera que el intento para resolver el problema de área condujo
∑ 𝑓 (𝑥𝑖∗ )∆
𝑖=1
de f de a hasta b:
𝑛
𝑏
∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗ ) ∆𝑥
𝑎 𝑛→∞
𝑖=1
𝑏
como la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación, y ∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 se
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VOLUMENES E INTEGRALES DOBLES
un rectángulo cerrado
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦). Sea S el sólido que yace arriba de R y debajo de la gráfica f, es decir,
Al dibujar líneas paralelas a los ejes coordenados por los puntos finales de estos
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∗ ∗
Si se elige el punto muestral (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) en cada 𝑅𝑖𝑗 , entonces se puede aproximar
a la parte S que ya hace arriba de 𝑅𝑖𝑗 mediante una caja rectangular (o “columna”) con
∗ ∗
base 𝑅𝑖𝑗 y altura 𝑓(𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ). El volumen de esta caja es la altura de la caja multiplicada
Esta suma doble significa que para cada subrectángulo se evalúa f en el punto
elegido y se multiplica por el área del subrectángulo, y luego se suman los resultados.
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La intuición dice que la aproximación dada en (3) es mejor cuando m y n crecen
Se usa la expresión de la ecuación para definir el volumen del solido S que yace
debajo la gráfica de f y arriba del rectángulo R. los límites del tipo que aparece en la
ecuación ocurren con frecuencia, no solo para hallar volúmenes, sino también diversas
situaciones, como incluso cuando f no es una función positiva. Así, se hace la siguiente
definición.
𝑚 𝑛
∗ ∗
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim ∑ ∑ 𝑓 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )∆𝐴
𝑚,𝑛→∞
𝑅 𝑖=1 𝑗=1
Si existe el límite.
El significado del límite preciso es la definición anterior es que para todo numero
𝑚 𝑛
∗ ∗
| ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim ∑ ∑ 𝑓 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )∆𝐴| < 𝜀
𝑚,𝑛→∞
𝑅 𝑖=1 𝑗=1
De hecho, la integral doble de f existe siempre que f “no sea demasiado discontinua”. En
particular, si f esta acostada [esto es, hay una constante M tal que | 𝑓 (𝑥, 𝑦)| ≤ 𝑀 para
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toda (x,y) en R], y f es continua ahí, excepto en un numero finito de curvas suaves,
subrectángulo 𝑅𝑖𝑗 , pero si se elige que sea esquina superior derecha de 𝑅𝑖𝑗 [a saber,
𝑚 𝑛
∗ ∗
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = lim ∑ ∑ 𝑓 (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 )∆𝐴
𝑚,𝑛→∞
𝑅 𝑖=1 𝑗=1
Si 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≤ 0, entonces el volumen V del solido que yace arriba del rectángulo R
𝑉 = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
Se llama la suma de Riemann doble y se emplea como una aproximación del valor
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REGLA DEL PUNTO MEDIO
Los métodos que se emplearon para aproximar integrales simples (regla del punto
medio, regla del trapecio, regla de Simpson) tienen contrapartes para integrales dobles.
Aquí se considera la regla del punto medio para integrales dobles. Esto se dice que se
usa una suma de Riemann doble para aproximar la integral doble, donde el punto
∗ ∗
muestra (𝑥𝑖𝑗 , 𝑦𝑖𝑗 ) en 𝑅𝑖𝑗 se elige como el centro (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) de 𝑅𝑖𝑗 . En otras palabras, 𝑥𝑖 es
𝑚 𝑛
VALOR PROMEDIO
es
𝑏
1
𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥
𝑏−𝑎 𝑎
1
𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐴(𝑅)
𝑅
Si 𝑓 (𝑥, 𝑦) ≥ 0, la ecuación
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𝐴(𝑅) × 𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚 = ∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝑅
Dice que la caja con base R y altura 𝑓𝑝𝑟𝑜𝑚 tiene el mismo volumen que el sólido
INTEGRALES ITERADAS
Si 𝑓 es continua en el rectángulo
𝑏 𝑑 𝑑 𝑏
∬ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫ ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑎 𝑐 𝑐 𝑎
𝑅
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APLICACIONES EN EL CAMPO LABORAL
física e ingeniería, tales como promedios, masas, centro de masas, momentos de inercia,
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3. CONCLUSIONES
la salud.
hospitalaria.
el sector de la salud.
Las matemáticas son fundamentales dentro del mundo de las ingenierías permite
desarrollar la lógica y la destreza mental entender lo que nos rodea, plantear soluciones
a problemas, describir fenómenos y sobre todo nos ayudan a buscar alternativas que
Para concluir el siguiente trabajo se puede adicionar que las integrales sobre
rectángulos son muy importantes ya que las aplicamos en nuestro entorno y en muchas
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4. BIBLIOGRAFIA
Recursos electrónicos
✓ https://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange
✓ https://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicadores_de_Lagrange
✓ http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=32
6&Itemid=199
✓ http://www.ub.edu/matheopt/optimizacion-economica/optimizacion-con-
restricciones-de-igualdad
✓ http://policonomics.com/es/lagrangiana/
Referencias bibliográficas
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