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Conjuntos, Operaciones y
Relaciones entre Conjuntos
Semana 4

Propósito: Aplica las nociones básicas de conjuntos para resolver problemas relacionados a
conjuntos.

Rolando Vilca Pacco

 Conjuntos e intervalos ucontinental.edu.pe

Un conjunto es una colección de objetos, y estos objetos se llaman elementos del conjunto.

Notación: Es usual denotar los conjuntos con letras mayúsculas. A, B, X, Y, …

Los elementos de los conjuntos se representan con letras minúsculas. a, b ,x , y, …
Determinación de Conjuntos:

𝐴 = 1,2,3,4,5,6,7 𝐵 = (0; 8)

𝐴 = 𝑥/𝑥, 𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑦 0 < 𝑥 < 8 𝐵 = 𝑥/ 0 < 𝑥 < 8

𝐴 = 𝑥/𝑥, 𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑦 1 ≤ 𝑥 ≤ 7

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 Relaciones entre Conjuntos ucontinental.edu.pe

Inclusión de Conjuntos: Se dice que el conjunto A es parte del conjunto B o que está incluido en B, si
todos los elementos de A están en B.
B
Notación: 𝐴 ⊂ 𝐵 Se lee “A esta incluido en B” A

Es decir: 𝐴 ⊂ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥∈𝐵

La relación de Inclusión se utiliza entre

conjuntos y no entre elemento y conjunto
Propiedades:
1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo 𝐴 ⊂ 𝐴
2. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto 𝜙 ⊂ 𝐴
3. Si un conjunto está incluido en otro, y éste en un 3ro, entonces el primer conjunto está incluido en el 3ro
Conjunto Potencia: Es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado P(A)
𝐴 = 𝑎, 𝑏
𝑃(𝐴) = 𝑎 ; 𝑏 ; 𝑎, 𝑏 ; 𝜙 𝑃 𝐴 = 2𝑛 𝑆𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠
Cardinal de un Conjunto: Es el número de elementos que tiene un conjunto Así:
𝑛 𝐴 =2
𝑛 𝑃(𝐴) = 4 Rolando Vilca Pacco
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Ejercicio: Dado el conjunto: M= {(x + 1 )2/ -8 ≤ 2x ≤ 4, x ε Z} Calcula el número de elementos del conjunto M

Solución: −8 ≤ 2𝑥 ≤ 4
−4 ≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥 = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2}

𝑀 = {9, 4, 1, 0, 4, 9}
𝑀 = {0, 1, 4, 9}
𝑛(𝑀) = 4

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 Conjuntos e intervalos
Ejercicios 1. Escribir simbólicamente
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a) R es un subconjunto de T
b) x es un elemento de Y
c) El conjunto vacío
d) M no es un subconjunto de S
b T
a) Si decimos R es un subconjunto de T R Simbólicamente escribimos RT
a

Y
b) Si decimos x es un elemento de Y x Simbólicamente escribimos xY

A
c) El conjunto vacío Simbólicamente es A =  también A = { }

M S M S
d) Si decimos M no es un subconjunto de S a ó bien b a c
b

Simbólicamente escribimos MS

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Ejercicios 2. Escribir por extensión los conjuntos:

C = {x : x es una letra de la palabra “fallar”}
D = { x : x2 - 2 = 0 }
E = { x : x2 = 9  x - 3 = 5 }

C = { f, a, l, r }

D = { x : x2 - 2 = 0 } Se buscan los valores de x que verifican la ecuación

𝑥2 = 2
𝑥1 = 2  𝑥2 = − 2 entonces: 𝐷 = 2, − 2

E = { x : x2 = 9  x - 3 = 5 } Se buscan los valores de x que verifiquen ambas condiciones

𝑥1 = 9 = 3  𝑥2 = − 9 = −3 y 𝑥1−2 = 8

En consecuencia E = 

Los valores que verifican una de las condiciones, no verifican la otra y viceversa
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Ejercicios 3. Indicar en cada caso si la proposición es verdadera o falsa:

i) { 1, 4, 3 } = { 3, 4, 1 }
ii) { 3, 1, 2 }  { 1, 2, 3 }
iii) 1  { 1, 2 } 1  { 1, 2 } Porque es un elemento del conjunto
iv) { 4 }  { { 4 } } { 4 } Es un elemento del conjunto { { 4 } }
v) { 4 }  { { 4 } }
vi)   { { 4 } }

VVVVFV

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Ejercicios 4. En los siguientes diagramas de Venn, sombree:

a) W - V b) Vc  W c) V  Wc d) Vc - Wc

U U U U

V W V W V W V W

U U U U

V W V W V W V W

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Ejercicios 5. En los siguientes diagramas de Venn, sombree:

a) W - V b) Vc  W c) V  Wc d) Vc - Wc
U U U U

V W V W V W V W

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Ejercicios 6. Dados tres conjuntos A, B y C cualesquiera y un conjunto D disjunto con los anteriores, dibujar su diagrama de
Venn y rayar las siguientes zonas:
a) (A  B) - C
b) (A  B) - C
c) (A - C)  B
d) (A - C)  B
e) (A  B  C)  D
a) A  B - C b) A  B - C c) (A - C)  B
U U U
A B A B A B
D D D

C C C
d) (A - C)  B e) (A  B  C)  D
U U
A B A B
D D

C C Rolando Vilca Pacco

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Es un subconjunto de números reales sin huecos en su

interior.

Intervalos acotados de números reales:

Sean a y b números reales con a < b.
Notación de Tipo de Notación de Gráfica
intervalo intervalo desigualdades

𝑎, 𝑏 Cerrado 𝑎≤𝑥≤𝑏
a b

𝑎; 𝑏 Abierto 𝑎<𝑥<𝑏
a b

𝑎; 𝑏 Semi abierto 𝑎≤𝑥<𝑏 a b

𝑎; 𝑏 Semi abierto 𝑎<𝑥≤𝑏 a b

Los números a y b son extremos de cada intervalo.

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Intervalos NO acotados de números reales:

Sean a y b números reales.
Notación de Tipo de Notación de Gráfica
intervalo intervalo desigualdades

𝑎; ∞ Cerrado 𝑥≥𝑎
a

𝑎; ∞ Abierto 𝑥>𝑎
a

−∞; 𝑏 Cerrado 𝑥≤𝑏

b
−∞; 𝑏 Abierto 𝑥<𝑏
b
Cada uno de estos intervalos tiene exactamente un extremo, a o b.

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Intervalos Acotados

Notación de Notación de Representación

Desigualdad Intervalo gráfica Ejemplo
Semirrecta cerrada
x  [ 4 ; ∞[
𝑥≥𝑎 x  [ a ; [ • Todos los mayores que
a 4, incluyendo el 4.
Semirrecta cerrada
𝑥≤𝑎 x  ]-  ; a] • x  ]-∞ ; 4 ]
Todos los menores que
a 4, incluyendo el 4.
Semirrecta abierta
𝑥>𝑎 x ] a ; [ x  ]4 ; ∞[
 Todos los mayores que
a 4. NO incluye el 4.
Semirrecta abierta
𝑥<𝑎 x  ]-  ; a[ x  ]-∞ ; 4[

a Todos los menores que
4, NO incluye el 4.
Nota 𝑎; 𝑏 = ‫𝑏 ;𝑎 = ۧ𝑏 ;𝑎ۦ‬

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Intervalos acotados de números reales:

Notación de Notación de Representación

Desigualdad Intervalo gráfica Ejemplo

Intervalo Cerrado
• • x  [ 3 ; 8]
a  x  b x  [ a ; b] a b Incluye los límites.
Intervalo Abierto
a < x <b x  ]a ; b [   x  ]3 ; 8 [
a b No incluye los límites.
Intervalo Semiabierto o Semicerrado
a < x  b x  ]a ; b] 
• x  ]3 ; 8 ]
a b Abierto por la izquierda.
No incluye el 3.
Intervalo Semiabierto o Semicerrado
x  [a ; b[ •
a  x < b a

b
x  [3 ; 8[
Abierto por la derecha.
No incluye el 8.
Nota 𝑎; 𝑏 = ‫𝑏 ;𝑎 = ۧ𝑏 ;𝑎ۦ‬

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 Operaciones con Conjuntos ucontinental.edu.pe

𝑨 ∪ 𝑩 Unión de A con B. Contiene todos los elementos de A más todos los elementos de B.
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 𝜖 𝐴 ó 𝑥 𝜖 𝐵}

Ejemplo: A=[-4;2[ y B=[-3;3[. Calcular 𝐴 ∪ 𝐵

𝐴∪𝐵

-4 -3 2 3
𝐴 ∪ 𝐵 = [−4; 3[

𝑨 ∩ 𝑩 Intersección de A con B. Contiene todos los elementos que son comunes a A y a B.

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 𝜖 𝐴 𝑦 𝑥 𝜖 𝐵}

Ejemplo: A=[-4;2[ y B=[-3;3[. Calcular 𝐴 ∩ 𝐵

𝐴∩𝐵

-4 -3 2 3
𝐴 ∩ 𝐵 = [−3; 2[
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 Operaciones con Conjuntos ucontinental.edu.pe

𝑨 − 𝑩 Diferencia A menos B. Contiene todos los elementos que están en A, pero que no se encuentran en B.
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 𝜖 𝐴 𝑦 𝑥 ∉ 𝐵}

Ejemplo: A=[-4;2[ y B=[-3;3[. Calcular 𝐴 − 𝐵

𝐴−𝐵

-4 -3 2 3
𝐴 − 𝐵 = [−4; −3[
Nota: 𝐀 − 𝐁 ≠ 𝑩 − 𝑨

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 Operaciones con Conjuntos ucontinental.edu.pe

𝑨´ Complemento de A. Contiene todos los elementos que no se encuentran en A. También puede definirse como
ℝ-A.
𝐴′ = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∉ 𝐴}

Ejemplo: A=[-4;2[ Calcular 𝐴′

𝐴′ 𝐴′

-4 2
𝐴′ = ] − ∞; −4[ ∪ [2; +∞[

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 Operaciones con Conjuntos ucontinental.edu.pe

𝑨𝑩 A diferencia simétrica de B. Contiene todos los elementos que pertenecen a A-B o B-A.
𝐴∆𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ∈ 𝐴 − 𝐵 ˅ 𝑥 ∈ B - A}

Ejemplo: A=[-4;2[ y B=[-3;3[. Calcular 𝐴∆𝐵

𝐴∆𝐵 A∆𝐵

-4 -3 2 3
𝐴∆𝐵 = [−4; −3[ ∪ [2; 3[

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Ejercicios 01 ucontinental.edu.pe

Exprese cada intervalo en términos de desigualdades y, a continuación, grafique el intervalo.

-1 2

1,5 4

∞
-3

Hallar uniones e intersecciones de intervalos y grafique los conjuntos

𝑎) (1; 3) ∩ 2; 7 𝑏) (1; 3) ∪ 2; 7

1 2 3 7 1 2 3 7

𝑅𝑝𝑡. [2; 3) 𝑅𝑝𝑡. (1; 7]

2≤𝑥<3 1<𝑥≤7
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Ejercicios 07 Encuentre el conjunto indicado si 𝐴 = 1,2,3,4,5,6,7 𝐵 = 2,4,6,8 𝐶 = 7,8,9,10

𝑎) 𝐴∪𝐵 𝑒) 𝐴∩𝐵 Obs. Son números Naturales
𝑏) 𝐵∪𝐶 𝑓) 𝐵∩𝐶
𝑐) 𝐴∪𝐶 𝑔) 𝐴∩𝐶
𝑑) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ C ℎ) 𝐴∩𝐵∩C

Solución
𝑒) 𝐴 ∩ 𝐵 𝑑) ( 𝐴 ∪ 𝐵) ∩ C

𝐴 = 1,2,3,4,5,6,7 𝐴∪𝐵
𝐴 ∩ 𝐵 = 2,4,6
𝐵 = 2,4,6,8 𝐴 = 1,2,3,4,5,6,7
𝐴 ∪ 𝐵 = 1,2,3,4,5,6,7,8
𝐵 = 2,4,6,8
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ C
1,2,3,4,5,6,7,8 ∩ 7,8,9,10

𝐴 ∪ 𝐵 ∩ C = 7,8

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Ejercicios 08
Encuentre el conjunto indicado si 𝐴 = 𝑥|𝑥 ≥ −2 𝐵 = 𝑥|𝑥 < 4 𝐶 = 𝑥| − 1 < 𝑥 ≤ 5 𝐷 = 𝑥|𝑥 > 5
𝑎) 𝐴 ∩ 𝐶 𝑏) (𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐷

Solución
𝑎) 𝐴 ∩ 𝐶 𝑏) (𝐴 ∩ 𝐶) ∩ 𝐷

(−1; 5] ∩ 𝐷
-2 -1 5

-1 5
𝑅𝑝𝑡. (−1; 5]
−1 < 𝑥 ≤ 5 𝑅𝑝𝑡. 

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Ejercicio 09. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la parte sombreada?

C 𝑎) 𝐴 − 𝐶 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 − 𝐴 ∩ 𝐵
B 𝑏) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)
A 𝑐) (𝐴 − 𝐶) ∩ (𝐶 − 𝐴)
𝑑) (𝐴 △ 𝐶) ∩ 𝐵
𝑒) 𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐶)

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 Práctica Calificada N° 01 ucontinental.edu.pe

1. Encuentre el conjunto indicado si

𝑎) 𝐴 ∪ 𝐶 𝑏) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ C 𝑐) 𝐴 ∩ 𝐶 𝑑) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ C)
2. Encuentre el conjunto indicado si

𝑎) 𝐵 ∩ 𝐶 𝑏) 𝐴 ∩ 𝐵 𝑐) (𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵 𝑑) (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ 𝐵
3. Exprese el intervalo en términos de desigualdades y, a continuación, grafique el intervalo.
a) d)
b) e)
c) f)

4. Grafique el conjunto y exprese el resultado como intervalo y desigualdad

a) d)
b) e)
c) f)

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