Algebra Abstracta: Teoría y Aplicaciones: 1.2 Conjuntos y Relaciones de Equivalencia

26/6/2020 AATA Conjuntos y Relaciones de Equivalencia
Algebra Abstracta: Teoría y Aplicaciones

Thomas W. Judson
1.2 Conjuntos y Relaciones de Equivalencia

¶
Teoría de Conjuntos ¶
Un conjunto es una colección bien-de nida de objetos; es decir, está de nida de
manera que para un objeto x cualquiera, podamos determinar si x pertenece o
no al conjunto. Los objetos que pertenecen al conjunto se llaman elementos o
miembros. Denotaremos los conjuntos por letras mayúsculas, tales como A o X;
si a es un elemento del conjunto A, escribimos a ∈ A.
Un conjunto usualmente se de ne ya sea listando todos los elementos que

contiene entre un par de llaves o indicando la propiedad que determina si un
objeto x pertenece o no al conjunto. Podemos escribir
X = {x1 , x2 , … , xn }
para un conjunto que contiene los elementos x 1

, x2 , … , xn o
X = {x : x satisface P}
si cada x en X satisface cierta propiedad P . Por ejemplo, si E es el conjunto de

enteros pares positivos, podemos describir E escribiendo ya sea
E = {2, 4, 6, …} o E = {x : x es un entero par y x > 0}.
Escribimos 2 ∈ E cuando queremos decir que 2 está en el conjunto E, y −3 ∉ E

para decir que −3 no está en el conjunto E.
Algunos de los conjuntos más importantes que consideraremos son los

siguientes:
N = {n : n es un número natural} = {1, 2, 3, …};
Z = {n : n es un entero} = {… , −1, 0, 1, 2, …};
Q = {r : r es un número racional} = {p/q : p, q ∈ Z con q ≠ 0};
R = {x : x es un número real};

C = {z : z es un número complejo}.
abstract.ups.edu/aata-es/section-sets-and-equivalence-relations.html 1/15
Podemos encontrar varias relaciones entre conjuntos y realizar operaciones

entre ellos. Un conjunto A es un subconjunto de B, denotado A ⊂ B o B ⊃ A, si
todo elemento de A también es un elemento de B. Por ejemplo,
{4, 5, 8} ⊂ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
Trivialmente, todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Un conjunto B es un

subconjunto propio de un conjunto A si B ⊂ A pero B ≠ A. Si A no es un
subconjunto de B, escribimos A ⊄ B; por ejemplo, {4, 7, 9} ⊄ {2, 4, 5, 8, 9}. Dos
conjuntos son iguales, escrito A = B, si contienen los mismos elementos. Esto
es equivalente a que A ⊂ B y B ⊂ A.
Es conveniente tener un conjunto sin elementos. Este conjunto se llama

conjunto vacío y se denota por ∅. Notemos que el conjunto vacío es un
subconjunto de todo conjunto.
Para construir conjuntos nuevos a partir de otros conjuntos, podemos realizar

ciertas operaciones: la unión A ∪ B de dos conjuntos A y B se de ne como
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B};
la intersección de A y B se de ne como
A ∩ B = {x : x ∈ A y x ∈ B}.
Si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 9}, entonces
A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 9} y A ∩ B = {1, 3}.
Podemos considerar la unión y la intersección de más de dos conjuntos. En este

caso escribimos
n
⋃ Ai = A1 ∪ … ∪ An
i=1
y
n
⋂ Ai = A1 ∩ … ∩ An
i=1
para la unión e intersección, respectivamente de los conjuntos A , … , A . 1 n
También se pueden de nir la unión y la intersección de una colección in nita (o

arbitraria) de conjuntos. Si S = {A : i ∈ I }, entonces
i
⋃ S = ⋃ Ai = {x : x ∈ Ai para algún Ai ∈ S}
i∈I
⋂ S = ⋂ Ai = {x : x ∈ Ai para todo Ai ∈ S}
i∈I
para la unión e intersección, respectivamente, de los conjuntos en S indexados

por I .
Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común, se dice que son

disjuntos; por ejemplo, si P es el conjunto de los enteros pares e I es el
conjunto de los enteros impares, entonces P e I son disjuntos. Dos conjuntos A
y B son disjuntos precisamente cuando A ∩ B = ∅.
En ocasiones trabajaremos con un conjunto jo U , llamado conjunto universal.

Para cualquier conjunto A ⊂ U , podemos de nir el complemento de A,
denotado por A , como el conjunto
′
A
′
= {x : x ∈ U y x ∉ A}.
De nimos la diferencia de dos conjuntos A y B como
A ∖ B = A ∩ B
′
= {x : x ∈ A y x ∉ B}.
Ejemplo 1.1. Sea R el conjunto universal y supongamos que

A = {x ∈ R : 0 < x ≤ 3} y B = {x ∈ R : 2 ≤ x < 4}.
Entonces
A ∩ B = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ 3}
A ∪ B = {x ∈ R : 0 < x < 4}
A ∖ B = {x ∈ R : 0 < x < 2}
A
′
= {x ∈ R : x ≤ 0 o x > 3}.
Proposición 1.2. Sean A, B, y C conjuntos. Entonces

1. ,
A ∪ A = A A ∩ A = A ,yA∖A = ∅ ;
2. A ∪ ∅ = A y A ∩ ∅ = ∅;
3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C y A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ;
4. A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A;
5. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ;
6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) .
Demostración.
Demostraremos (1) y (3) y dejaremos las demostraciones de los demás

resultados como ejercicios.
(1) Observe que
A ∪ A = {x : x ∈ A o x ∈ A}
= {x : x ∈ A}
= A
A ∩ A = {x : x ∈ A y x ∈ A}
= {x : x ∈ A}
= A.
Además, A ∖ A = A ∩ A ′
= ∅ .
(3) Para conjuntos A, B, y C ,
A ∪ (B ∪ C) = A ∪ {x : x ∈ B o x ∈ C}
= {x : x ∈ A o x ∈ B, o x ∈ C}
= {x : x ∈ A o x ∈ B} ∪ C
= (A ∪ B) ∪ C.
Un argumento similar demuestra que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C .

Teorema 1.3 Leyes de De Morgan. Sean A y B conjuntos. Entonces

1. (A ∪ B)
′ ′
= A ∩ B
′
;
2. (A ∩ B)
′ ′
= A ∪ B
′
.
Demostración.
(1) Si A ∪ B = ∅, entonces el teorema es inmediato pues tanto A como B

son el conjunto vacío. De otra manera, debemos mostrar que
(A ∪ B) ⊂ A ∩ B y (A ∪ B) ⊃ A ∩ B . Sea x ∈ (A ∪ B) . Entonces
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
x ∉ A ∪ B. Así x no está en A ni en B, por la de nición de la unión de
conjuntos. Por la de nición del complemento, x ∈ A y x ∈ B . Por lo tanto, ′ ′
x ∈ A ∩ B y tenemos (A ∪ B) ⊂ A ∩ B .
′ ′ ′ ′ ′
Para mostrar la inclusión inversa, supongamos que x ∈ A ∩ B . Entonces ′ ′
x ∈ A y x ∈ B , y así x ∉ A y x ∉ B. Luego x ∉ A ∪ B y así x ∈ (A ∪ B) . Por

′ ′ ′
lo tanto, (A ∪ B) ⊃ A ∩ B y así (A ∪ B) = A ∩ B .
′ ′ ′ ′ ′ ′
La demostración de (2) la dejamos como ejercicio.

Ejemplo 1.4. Otras relaciones entre conjunto son por ejemplo,

(A ∖ B) ∩ (B ∖ A) = ∅.
Para ver que esta es verdadera, observe que

′ ′
(A ∖ B) ∩ (B ∖ A) = (A ∩ B ) ∩ (B ∩ A )
′ ′
= A ∩ A ∩ B ∩ B
= ∅.
Producto Cartesiano y Funciones ¶

Dados dos conjuntos A y B, podemos de nir un nuevo conjunto A × B, llamado
producto Cartesiano de A y B, como conjunto de pares ordenados. Esto es,
A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.
Ejemplo 1.5. Si A = {x, y}, B = {1, 2, 3}, y C = ∅ , entonces A × B es el

conjunto
{(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)}
A × C = ∅.
De nimos el producto Cartesiano de n conjuntos como
A1 × ⋯ × An = {(a1 , … , an ) : ai ∈ Ai para i = 1, … , n}.
Si A = A = A = ⋯ = A , escribiremos A para A × ⋯ × A (donde A se

1 2 n
n
escribiría n veces). Por ejemplo, el conjunto R consiste de todas las 3-tuplas de

3
números reales.
Subconjuntos de A × B se llaman relaciones. De niremos un mapeo o función

f ⊂ A × B de un conjunto A en un conjunto B como el tipo especial de relación
donde (a, b) ∈ f si para todo elemento a ∈ A existe un único elemento b ∈ B.

Otra forma de decir esto es que para cada elemento en A, f asigna un único
f
elemento en B. Usualmente escribimos f : A → B o A → B. En lugar de escribir

pares ordenados (a, b) ∈ A × B, escribimos f (a) = b o f : a ↦ b . El conjunto A

se llama dominio de f y
f (A) = {f (a) : a ∈ A} ⊂ B
se llama rango o imagen de f . Podemos pensar los elementos del dominio de

una función como valores de entrada y los elementos del rango de la función
como valores de salida.
Figura 1.6. Funciones y Relaciones
Ejemplo 1.7. Supongamos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c}. En la Figura 1.6

de nimos las relaciones f y g de A en B. La relación f es una función, pero g no
lo es pues a 1 ∈ A no se le asigna una única imagen en B; es decir, g(1) = a y
g(1) = b .
Dada una función f : A → B, a veces es posible hacer una lista describiendo lo

que le hace la función a cada elemento especí co del dominio. Pero no todas las
funciones pueden ser descritas de esta manera. Por ejemplo, la función
f : R → R que envía a cada número real en su cubo es una función que debe
ser descrita escribiendo f (x) = x o f : x ↦ x . 3 3
Considere la relación f : Q → Z dada por f (p/q) = p. Sabemos que 1/2 = 2/4,

pero es f (1/2) = 1 o 2? Esta relación no puede ser una función pues no está
bien-de nida. Una relación está bien-de nida si a cada elemento en el dominio
se le asigna un único elemento en el rango.
Si f : A → B es una función y la imagen de f es B, es decir, f (A) = B, entonces

f se dice sobre o sobreyectiva. En otras palabras, si para cada b ∈ B existe
a ∈ A tal que f (a) = b, entonces f es sobre. Una función es 1-1 o inyectiva si
a ≠ a implica f (a ) ≠ f (a ). Equivalentemente, una función es 1-1 si

1 2 1 2
f (a ) = f (a ) implica a = a . Una función que es 1-1 y sobre se llama biyectiva.

1 2 1 2
Ejemplo 1.8. Sea f de nida como f (n) = n/1. Entonces f es 1-1

: Z → Q
pero no sobre. De na g : Q → Z como g(p/q) = p donde p/q es un número

racional en su forma reducida con denominador positivo. La función g es sobre
pero no 1-1.
Dadas dos funciones, podemos construir una nueva función usando el rango de
la primera función como el dominio de la segunda. Sean f : A → B y g : B → C
funciones. De nimos una nueva función, la composición de f y g de A en C ,
como (g ∘ f )(x) = g(f (x)).
Figura 1.9. Composición de funciones
Ejemplo 1.10. Considere las funciones f y g : B → C que están

: A → B
de nidas en la Figura 1.9 (arriba). La composición de estas funciones,

g ∘ f : A → C , está de nida en la Figura 1.9 (abajo).
Figura 1.9. Composición de funciones

[incontext]
./knowl/ gure-sets-composition.html
Ejemplo 1.11. Sean f (x) = x y g(x) = 2x + 5. Entonces

2
2 2
(f ∘ g)(x) = f (g(x)) = (2x + 5) = 4x + 20x + 25
y
2
(g ∘ f )(x) = g(f (x)) = 2x + 5.
En general, el orden importa; es decir, en la mayoría de los casos f ∘ g ≠ g ∘ f .
Ejemplo 1.12. A veces se cumple que f ∘ g = g ∘ f . Sean f (x) = x y 3
g(x) = √x
3
. Entonces
3
(f ∘ g)(x) = f (g(x)) = f (√
3
x ) = (√
3
x) = x
3
3 3
(g ∘ f )(x) = g(f (x)) = g(x ) = √x = x.
Ejemplo 1.13. Dada una matriz de 2 × 2

a b
A = ( ),
c d
podemos de nir una función T A

: R
2
→ R
2
como
TA (x, y) = (ax + by, cx + dy)
para (x, y) en R . Esto en realidad es multiplicación de matrices; es decir,

2
a b x ax + by
( )( ) = ( ).
c d y cx + dy
Funciones de R en R dadas por matrices se llaman funciones lineales o

n m
transformaciones lineales.
Ejemplo 1.14. Supongamos que S = {1, 2, 3}. De namos una función

π : S → S como
π(1) = 2, π(2) = 1, π(3) = 3.
Esta es una función biyectiva. Una forma alternativa de escribir π es
1 2 3 1 2 3
( ) = ( ).
π(1) π(2) π(3) 2 1 3
Para cualquier conjunto S , una función biyectiva π : S → S se llama

permutación de S .
Teorema 1.15. Sean f ,

: A → B g : B → C ,yh : C → D . Entonces
1. La composición de funciones es asociativa; es decir, (h ∘ g) ∘ f = h ∘ (g ∘ f ) ;
2. Si f y g son ambas 1-1, entonces la función g ∘ f es 1-1;

3. Si f y g son ambas sobre, entonces la función g ∘ f es sobre;
4. Si f y g son ambas biyectivas, entonces la función g ∘ f es biyectiva;
Demostración.
Demostraremos (1) y (3). La parte (2) se deja como ejercicio. La Parte (4) es
consecuencia directa de (2) y (3).
(1) Debemos mostrar que
h ∘ (g ∘ f ) = (h ∘ g) ∘ f .
Para a ∈ A tenemos
(h ∘ (g ∘ f ))(a) = h((g ∘ f )(a))
= h(g(f (a)))
= (h ∘ g)(f (a))
= ((h ∘ g) ∘ f )(a).
(3) Supongamos que f y g son ambas sobreyectivas. Dado c ∈ C , debemos

mostrar que existe a ∈ A tall que (g ∘ f )(a) = g(f (a)) = c. Pero, como g es
sobre, existe b ∈ B tal que g(b) = c. Similarmente, existe a ∈ A tal que
f (a) = b. Por ende,
(g ∘ f )(a) = g(f (a)) = g(b) = c.
Si S es cualquier conjunto, usaremos id o id para denotar a la función

S
identidad de S en sí mismo. De nimos esta función como id(s) = s para todo

s ∈ S . Una función g : B → A es una función inversa de f : A → B si g ∘ f = id A
y f ∘ g = id ; en otras palabras, la función inversa de una función simplemente

B
“deshace” lo que hace la función. Una función se dice invertible si tiene una
inversa. Usualmente escribimos f para la inversa de f . −1
Ejemplo 1.16. La función f (x) = x tiene inversa f 3 −1 3

(x) = √x por el
Ejemplo 1.12 .
Ejemplo 1.17. El logaritmo natural y la función exponencial, f (x) = ln x y

f
−1
(x) = e
x
, son inversas, la una de la otra, con tal de que seamos cuidadosos
en la elección de los dominios. Observe que
−1 x x
f (f (x)) = f (e ) = ln e = x
y
−1 −1 ln x
f (f (x)) = f (ln x) = e = x
siempre que la composición tenga sentido.
Ejemplo 1.18. Supongamos que
3 1
A = ( ).
5 2
Entonces A de ne una función de R en R como 2 2
TA (x, y) = (3x + y, 5x + 2y).
Podemos encontrar la función inversa de T simplemente invirtiendo la matriz A
A; es decir, T . En este ejemplo,

−1
= T A
−1
A
−1
2 −1
A = ( );
−5 3
luego, la función inversa está dada por

−1
T (x, y) = (2x − y, −5x + 3y).
A
Es fácil veri car que

−1 −1
T ∘ TA (x, y) = TA ∘ T (x, y) = (x, y).
A A
No toda función tiene inversa. Si consideramos la función
TB (x, y) = (3x, 0)
dada por la matriz
3 0
B = ( ),
0 0
una función inversa tendría que ser de la forma

−1
T (x, y) = (ax + by, cx + dy)
B
y
−1
(x, y) = T ∘ T (x, y) = (3ax + 3by, 0)
B
para todo x e y. Claramente esto es imposible pues y podría no ser 0.
Ejemplo 1.19. Dada la permutación
1 2 3
π = ( )
2 3 1
en S = {1, 2, 3} , es fácil ver que la permutación de nida por
−1
1 2 3
π = ( )
3 1 2
es la inversa de π. De hecho, toda función biyectiva posee una inversa, como

veremos en el próximo teorema.
Teorema 1.20. Una función es invertible si y solo si es biyectiva.

Demostración.
Supongamos primero que f : A → B es invertible con inversa g : B → A.

Entonces g ∘ f = id es la función identidad; es decir, g(f (a)) = a. Si
A
a , a ∈ A con f (a ) = f (a ), entonces a = g(f (a )) = g(f (a )) = a . Así, f

1 2 1 2 1 1 2 2
es 1-1. Ahora supongamos que b ∈ B. Para mostrar que f es sobre, es

necesario encontrar a ∈ A tal que f (a) = b, pero f (g(b)) = b con g(b) ∈ A.
Sea a = g(b).
Recíprocamente, sea f una función biyectiva y sea b ∈ B. Como f es sobre,

existe a ∈ A tal que f (a) = b. Como f es 1-1, a es único. De na g como
g(b) = a. Hemos construído la inversa de f .
Relaciones de Equivalencia y Particiones ¶

Una noción fundamental en matemáticas es la de igualdad. Podemos
generalizar la igualdad por medio de las relaciones de equivalencia y las clases
de equivalencia. Una relación de equivalencia en un conjunto X es una relación
R ⊂ X × X tal que
(x, x) ∈ R para todo x ∈ X (propiedad re eja);

(x, y) ∈ R implica (y, x) ∈ R (propiedad simétrica);
(x, y) y (y, z) ∈ R implica (x, z) ∈ R (propiedad transitiva).
Dada una relación de equivalencia R en un conjunto X, usualmente

escribiremos x ∼ y en lugar de (x, y) ∈ R. Si la relación de equivalencia ya tiene
asociada una notación como = , ≡ , o ≅ , usaremos esa notación.
Ejemplo 1.21. Sean p, q, r, y s enteros, con q y s distintos de cero. De nimos

p/q ∼ r/s si ps = qr. Claramente ∼ es re eja y simétrica. Para mostrar que
también es transitiva, supongamos que p/q ∼ r/s y r/s ∼ t/u, con q, s, y u
todos distintos de cero. Entonces ps = qr y ru = st. Por lo tanto,
psu = qru = qst.
Como s ≠ 0, pu = qt. Así, p/q ∼ t/u .
Ejemplo 1.22. Supongamos que f y g son funciones diferenciables en R.

Podemos de nir una relación de equivalencia en el conjunto de tales funciones
de niendo f (x) ∼ g(x) si f (x) = g (x). Es claro que esta relación es re eja y
′ ′
simétrica. Para demostrar la transitividad, supongamos que f (x) ∼ g(x) y

g(x) ∼ h(x). De cálculo sabemos que f (x) − g(x) = c y g(x) − h(x) = c , 1 2
donde c y c son ambos constantes. Luego,

1 2
f (x) − h(x) = (f (x) − g(x)) + (g(x) − h(x)) = c1 − c2
yf ′ ′
(x) − h (x) = 0 . Por lo tanto, f (x) ∼ h(x) .
Ejemplo 1.23. Para (x 1, y (x , y ) en R , de namos (x , y ) ∼ (x

y1 ) 2 2
2
1 1 2, y2 ) si
. Entonces ∼ es una relación de equivalencia en R .
2 2 2 2 2
x + y = x + y
1 1 2 2
Ejemplo 1.24. Sean A y B matrices de 2 × 2 con coe cientes reales. Podemos

de nir una relación de equivalencia en el conjunto de la matrices de 2 × 2,
diciendo que A ∼ B si existe una matriz invertible P tal que P AP = B. Por
−1
ejemplo, si
1 2 −18 33
A = ( ) and B = ( ),
−1 1 −11 20
entonces A ∼ B pues P AP −1
= B para
2 5
P = ( ).
1 3
Sea I la matriz identidad de 2 × 2; es decir,
1 0
I = ( ).
0 1
Entonces I AI = I AI = A; por lo tanto, la relación es re eja. Para demostrar

−1
simetría, supongamos que A ∼ B. Entonces existe una matriz invertible P tal

que P AP = B. Así
−1
−1 −1 −1 −1
A = P BP = P B(P ) .
Finalmente, supongamos que A ∼ B y B ∼ C . Entonces existen matrices P y Q

tales que P AP = B y QBQ = C . Como
−1 −1
−1 −1 −1 −1
C = QBQ = QP AP Q = (QP )A(QP ) ,
la relación es transitiva. Dos matrices equivalente de esta forma se dicen

similares.
Una partición P de un conjunto X es una colección de conjuntos no vacíos

X , X , … tales que X ∩ X = ∅ para i ≠ j y ⋃ X = X . Sea ∼ una relación de
1 2 i j k
k
equivalencia en un conjunto X y sea x ∈ X. Entonces [x] = {y ∈ X : y ∼ x} se

llama clase de equivalencia de x. Veremos que una relación de equivalencia da
lugar a una partición via clases de equivalencia. Además, si tenemos una
partición de un conjunto, entonces existe una relación de equivalencia
subyacente, como demuestra el teorema siguiente.
Teorema 1.25. Dada una relación de equivalencia ∼ en un conjunto X, las

clases de equivalencia de X forman una partición de X. Recíprocamente, si
P = {X } es una partición de un conjunto X , entonces existe una relación de
i
equivalencia en X con clases de equivalencia X . i
Demostración.
Corolario 1.26. Dos clases de equivalencia en una relación de equivalencia ya

sea son disjuntas o son iguales.
Examinemos algunas de las particiones dadas por las clases de equivalencia de

los últimos ejemplos.
Ejemplo 1.27. En la relación de equivalencia del Ejemplo 1.21 , dos pares de

enteros, (p, q) y (r, s), están en la misma clase de equivalencia cuando se
reducen a la misma fracción reducida.
Ejemplo 1.28. En la relación de equivalencia en el Ejemplo 1.22 , dos

funciones f (x) y g(x) están en la misma clase cuando di eren por una
constante.
Ejemplo 1.29. Hemos de nido una clase de equivalencia en R por 2
si x + y = x + y . Dos pares de números reales están en la

(x1 , y1 ) ∼ (x2 , y2 )
2
1
2
1
2
2
2
misma clase cuando representan puntos en una misma circunferencia

centrada en el origen.
Ejemplo 1.30. Sean r y s dos enteros y supongamos que n ∈ N. Diremos que

r es congruente a s módulo n, o r es congruente a s mód n, si r − s es divisible
por n; es decir, r − s = nk para algún k ∈ Z. En este caso escribimos
r ≡ s (mod n). Por example, 41 ≡ 17 (mod 8) pues 41 − 17 = 24 es divisible
por 8. A rmamos que congruencia módulo n es una relación de equivalencia

en Z. Ciertamente cualquier entero r es equivalente a sí mismo pues r − r = 0
es divisible por n. Mostraremos ahora que la relación es simétrica. Si
r ≡ s (mod n), entonces r − s = −(s − r) es divisible por n. Así s − r es
divisible por n y s ≡ r (mod n). Ahora supongamos que r ≡ s (mod n) y

s ≡ t (mod n) . Entonces existen enteros k y l tales que r − s

y s − t = ln. = kn
Para mostrar la transitividad, es necesario probar que r − t es divisible por n.

Pero,
r − t = r − s + s − t = kn + ln = (k + l)n,
y así r − t es divisible por n.
Si consideramos la relación de equivalencia estabecida por los enteros módulo

3, entonces
[0] = {… , −3, 0, 3, 6, …},
[1] = {… , −2, 1, 4, 7, …},
[2] = {… , −1, 2, 5, 8, …}.
Note que [0] ∪ [1] ∪ [2] = Z y también que los conjuntos son disjuntos. Los
conjuntos [0], [1], y [2] forman una partición de los enteros.
Los enteros módulo n son ejemplos importantes en el estudio del álgebra

abstracta y serán muy útiles en el estudio de diversas estructuras algebraicas
tales como grupos y anillos. En nuestra discusión de los enteros módulo n
hemos asumido un resultado conocido como algoritmo de división, que será
enunciado y demostrado en el Capítulo 2.

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26/6/2020 AATA Conjuntos y Relaciones de Equivalencia

Algebra Abstracta: Teoría y Aplicaciones

1.2 Conjuntos y Relaciones de Equivalencia

Un conjunto usualmente se de ne ya sea listando todos los elementos que

para un conjunto que contiene los elementos x 1

si cada x en X satisface cierta propiedad P . Por ejemplo, si E es el conjunto de

E = {2, 4, 6, …} o E = {x : x es un entero par y x > 0}.

Escribimos 2 ∈ E cuando queremos decir que 2 está en el conjunto E, y −3 ∉ E

Algunos de los conjuntos más importantes que consideraremos son los

N = {n : n es un número natural} = {1, 2, 3, …};

Z = {n : n es un entero} = {… , −1, 0, 1, 2, …};

Q = {r : r es un número racional} = {p/q : p, q ∈ Z con q ≠ 0};

R = {x : x es un número real};

Podemos encontrar varias relaciones entre conjuntos y realizar operaciones

Trivialmente, todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Un conjunto B es un

Es conveniente tener un conjunto sin elementos. Este conjunto se llama

Para construir conjuntos nuevos a partir de otros conjuntos, podemos realizar

Si A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 9}, entonces

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 9} y A ∩ B = {1, 3}.

Podemos considerar la unión y la intersección de más de dos conjuntos. En este

para la unión e intersección, respectivamente de los conjuntos A , … , A . 1 n

También se pueden de nir la unión y la intersección de una colección in nita (o

para la unión e intersección, respectivamente, de los conjuntos en S indexados

Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común, se dice que son

En ocasiones trabajaremos con un conjunto jo U , llamado conjunto universal.

De nimos la diferencia de dos conjuntos A y B como

Ejemplo 1.1. Sea R el conjunto universal y supongamos que

Proposición 1.2. Sean A, B, y C conjuntos. Entonces

Demostraremos (1) y (3) y dejaremos las demostraciones de los demás

(1) Observe que

(3) Para conjuntos A, B, y C ,

Un argumento similar demuestra que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C .

Teorema 1.3 Leyes de De Morgan. Sean A y B conjuntos. Entonces

(1) Si A ∪ B = ∅, entonces el teorema es inmediato pues tanto A como B

x ∉ A ∪ B. Así x no está en A ni en B, por la de nición de la unión de

conjuntos. Por la de nición del complemento, x ∈ A y x ∈ B . Por lo tanto, ′ ′

Para mostrar la inclusión inversa, supongamos que x ∈ A ∩ B . Entonces ′ ′

x ∈ A y x ∈ B , y así x ∉ A y x ∉ B. Luego x ∉ A ∪ B y así x ∈ (A ∪ B) . Por

La demostración de (2) la dejamos como ejercicio.

Ejemplo 1.4. Otras relaciones entre conjunto son por ejemplo,

Para ver que esta es verdadera, observe que

Producto Cartesiano y Funciones ¶

A × B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.

Ejemplo 1.5. Si A = {x, y}, B = {1, 2, 3}, y C = ∅ , entonces A × B es el

De nimos el producto Cartesiano de n conjuntos como

A1 × ⋯ × An = {(a1 , … , an ) : ai ∈ Ai para i = 1, … , n}.

Si A = A = A = ⋯ = A , escribiremos A para A × ⋯ × A (donde A se

escribiría n veces). Por ejemplo, el conjunto R consiste de todas las 3-tuplas de

Subconjuntos de A × B se llaman relaciones. De niremos un mapeo o función

donde (a, b) ∈ f si para todo elemento a ∈ A existe un único elemento b ∈ B.

elemento en B. Usualmente escribimos f : A → B o A → B. En lugar de escribir

pares ordenados (a, b) ∈ A × B, escribimos f (a) = b o f : a ↦ b . El conjunto A

se llama rango o imagen de f . Podemos pensar los elementos del dominio de

Figura 1.6. Funciones y Relaciones

Ejemplo 1.7. Supongamos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, c}. En la Figura 1.6

Dada una función f : A → B, a veces es posible hacer una lista describiendo lo

ser descrita escribiendo f (x) = x o f : x ↦ x . 3 3

Considere la relación f : Q → Z dada por f (p/q) = p. Sabemos que 1/2 = 2/4,