TEORIA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN: Entendemos por conjunto a toda agrupación, colección o

reunión de objetos de cualquier especie siempre que exista un criterio
preciso que nos permita que un objeto pertenece o no a dicha
agrupación. Los objetos que “pertenecen a un conjunto” se llaman
elementos del conjunto.
NOTACIÓN: Generalmente a los conjuntos se representa con letras
mayúsculas A,B,C, …. y a sus elementos con letras minúsculas
a,b,c,d,…x,y,z, y se pueden representar mediante diagramas de VENN o 𝑨⊂𝑩
encerrados entre llaves. Ejemplo: Dados los conjuntos 𝐷 = {2; 4; 6} y 𝐸 = {1; 2; 3; 5}
RELACIÓN DE PERTENENCIA: Se establece esta relación solo de
elemento a conjunto y expresa si el elemento forma parte o no del
conjunto considerado.
“……pertenece a…….” : ∈
“…… no pertenece a……” : ∈

Ejemplo: Dado el conjunto 𝑀 = {3; 8; {8}; {{5}}; 7; {6; 7}}, indique

verdadero (V) o falso (F) según corresponda a las siguientes 𝑫⊄𝑬
proposiciones: SUBCONJUNTO PROPIO: A es subconjunto propio de B, o parte de
I) {8} ∈ 𝑀 II) {5} ∈ 𝑀 III) {7} ∈ 𝑀 IV) {3; 7} ∈ 𝑀 B, si se verifica 𝑨 ⊂ 𝑩 y además existe algún 𝑥 ∈ 𝐵 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ 𝐴.

a) VVFF b) VFVF c) FVVF d) VVVF e) VVVV Ejemplo: El conjunto 𝐴 = {2; 4; 6} es un subconjunto propio de
𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
DIAGRAMAS DE VENN: Se utilizan en la teoría de conjuntos, para
facilitar su noción intuitiva, son curvas cerradas de la forma: PROPIEDADES DE LA INCLUSIÓN
1. Ф ⊂ 𝑨, ∀ conjunto 𝑨, donde Ф es el conjunto vacío.
2. 𝑨 ⊂ 𝑨 (propiedad reflexiva)
.x
.1 .3 3. 𝑨 ⊂ 𝑩 ˄ 𝑩 ⊂ 𝑪 → 𝑨 ⊂ 𝑪 (propiedad transitiva)
.y .4 4. 𝑨 ⊂ 𝑩 ˄ 𝑩 ⊂ 𝑨 → 𝑨 = 𝑩 (propiedad antisimétrica)
.a
. B) IGUALDAD DE CONJUNTOS:
A C B DEFINICIÓN: Dos conjuntos A y B son iguales sí y solo sí
Al interior de estas curvas cerradas, representamos mediante puntos a 𝑨 ⊂ 𝑩˄𝑩 ⊂ 𝑨.
los elementos del conjunto.
Simbólicamente:
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO: Un conjunto está bien 𝑨 = 𝑩 ↔ 𝑨 ⊂ 𝑩˄𝑩 ⊂ 𝑨
determinado cuando se conoce con exactitud qué elementos
pertenecen o no al conjunto. Un conjunto se puede determinar por Ejemplo: Dados 𝐴 = {3𝑛 + 2/𝑛 ∈ 𝑍 ˄ 1 ≤ 𝑛 ≤ 4}
extensión y por comprensión. 𝐵 = {5; 8; 11; 14}
1. POR EXTENSIÓN: Cuando se señala a cada uno de los elementos PROPIEDADES DE LA IGUALDAD:
del conjunto. 1. 𝑨 = 𝑨 (reflexiva)
𝐴 = {𝑎; 𝑒; 𝑖; 𝑜; 𝑢} 2. 𝑨 = 𝑩 → 𝑩 = 𝑨 (simétrica)
𝐵 = {2; 4: 6: 8: 10}
3. 𝑨 = 𝑩˄𝑩 = 𝑪 → 𝑨 = 𝑪 (transitiva)
𝐶 = {1; 3; 5}
2. POR COMPRENSIÓN: Cuando se menciona una o más CONJUNTOS NUMÉRICOS:
características comunes y exclusivas de los elementos del conjunto.
✓ Números Naturales 𝑵 = {𝟏; 𝟐; 𝟑; … … }
𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}
𝐵 = {2𝑘/𝑥 ∈ 𝑍 𝑦 0 < 𝑘 ≤ 5} ✓ Números Enteros 𝒁 = {… ; −𝟑; −𝟐; −𝟏; 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑; … }
𝒎
𝐶 = {(2𝑛 − 1) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜/𝑛 ≤ 3} ✓ Números Racionales 𝑸 = { /𝒎 ∈ 𝒁 ˄ 𝒏 ∈ 𝒁, 𝒏 ≠ 𝟎}
𝒏
✓ Números Irracionales 𝑰 = {𝒙/𝒙 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝒄𝒊𝒎𝒂𝒍 𝒏𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒊𝒄𝒂}
CARDINAL DE UN CONJUNTO: Nos indica el número de elementos
✓ Números Reales 𝑹 = {𝒙/𝒙 ∈ 𝑸 ˅ 𝒙 ∈ 𝑰}
diferentes que posee un conjunto. Se denota n(A).
✓ Números Complejos 𝑪 = {𝒂 + 𝒃𝒊/𝒂 ∈ 𝑹˄𝒃 ∈ 𝑹, 𝒊 = √−𝟏}
Ejemplos:
CONJUNTOS ESPECIALES:
𝐴 = {3; 9: {2; 4}; 2} → 𝑛(𝐴) = 4
𝐵 = {5; 7: 5; 5; 7} → 𝑛(𝐵) = 2 A) CONJUNTO FINITO: Es el conjunto que está formado por un
𝐶 = {2; 5; {5; 5}; 8} → 𝑛(𝐶) = 4 número limitado de elementos.
Ejemplos: 𝐴 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}
3𝑥−1
Ejercicio: Dado el conjunto 𝐴 = {( ) ∈ 𝑍/−3 < 𝑥 ≤ 4}, calcule 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁/5 ≤ 𝑥 < 12}
2
𝑛(𝐴). B) CONJUNTO INFINITO: Es el conjunto que está formado por un
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS: número infinito de elementos.
Ejemplo: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}
A) INCLUSIÓN DE CONJUNTOS: (Sub – conjuntos): Se dice que el 𝐵 = {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙}
conjunto A es un subconjunto de B, o que A es parte de B, si todo C) CONJUNTO VACÍO (Nulo): Es el conjunto que no tiene elementos y
elemento de A pertenece al conjunto B, se escribe 𝑨 ⊂ 𝑩 y se lee se representa por la letra griega Ф(phi), se define como:
“A está incluido en B, o A está contenido en B, o A es parte de B. Ф = {𝑥/𝑥 ≠ 𝑥}.
Simbólicamente: Ejemplos: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 2 + 1 = 0}
𝑨 ⊂ 𝑩 ↔ {∀𝒙 ∈ 𝑨, 𝒙 ∈ 𝑨 → 𝒙 ∈ 𝑩} 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍/15𝑥 2 − 11𝑥 + 2 = 0}

Ejemplo: Dados los conjuntos 𝐴 = {𝑝; 𝑞; 𝑟} y 𝐵 = {𝑝; 𝑞; 𝑟; 𝑠; 𝑡} D) CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto tomado como base o
Se observa que: 𝑨 ⊂ 𝑩, porque todo elemento de A es también conjunto fijo, para la determinación de otros conjuntos y se denota
elemento de B. por U. También se llama universo.
 Ejemplo: Dado el conjunto universal 𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑍 + /𝑥 ≤ 40}. analizar y justificar debidamente su conclusión en los siguientes
Determinar los siguientes conjuntos: casos:
a) 𝐴 = {𝑥/𝑥 2 ≤ 28} b) 𝐵 = {𝑥 + 2/𝑥 < 9}
a) 𝐴 = 𝐵 b) 𝐶 = 𝐷
E) CONJUNTO UNITARIO: Es el conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos: 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 + 2 = 0} 10. Sean 𝑈 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, 𝐴 = {2; 4; 6; 8},
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁/1 < 𝑥 < 3} 𝐵 = {1; 3; 5: 7; 9} y 𝐶 = {3; 4; 5}. Al hallar un subconjunto x de U
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑍 + /𝑥 2 − 1 = 0} tal que 𝑥 ⊂ 𝐶, 𝑥 ⊄ 𝐴, 𝑥 ⊄ 𝐵. Cuántas soluciones existe.
F) CONUNTOS COMPARABLES: Dos conjuntos A y B son comparables 11. Cuántos de los siguientes conjuntos son vacíos:
sí: 𝐴 ⊂ 𝐵 ˅ 𝐵 ⊂ 𝐴.
Los conjuntos A y B no serán comparables sí: 𝐴 ⊄ 𝐵 ˄ 𝐵 ⊄ 𝐴 a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 ≠ 𝑈}
Ejemplos: b) 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 3 = 3}
1
a) Si 𝐴 = {1; 3; 5; 7} y 𝐵 = {1; 2: 3; 4; 5; 6; 7; 8}, A es comparable c) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑅/ ∈ 𝑅}
𝑥
con B, por que 𝑨 ⊂ 𝑩 d) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑄/𝑥 2 − 𝑥 = 0}
b) Si 𝑀 = {𝑎; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒} y 𝑁 = {𝑎; 𝑒; 𝑖; 𝑜; 𝑢}, M y N no son e) 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 2 + 1 = 0}
comparables, por que 𝑴 ⊄ 𝑵 ˄ 𝑵 ⊄ 𝑴. f) 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑍/12𝑥 3 + 4𝑥 2 − 3𝑥 − 1 = 0}
G) CONJUNTOS DISJUNTOS: Si dos conjuntos A y B no tienen 12. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el conjunto vacío?
elementos comunes, se dice A y B son disjuntos.
a) {𝑥/𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑟 𝑦 𝑥 2 = 9}
Simbólicamente: b) {𝑥 ∈ 𝑍 + /𝑥 < 10}
A es disjunto con B si y solo sí, ∄𝑥/𝑥 ∈ 𝐴 ˄ 𝑥 ∈ 𝐵 c) {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 + 18 = 0}
d) {𝑥 ∈ 𝑍/6𝑥 2 + 5𝑥 − 4 = 0}
Ejemplos: e) {𝑥 ∈ 𝑍 + /𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 0}
a) Los conjuntos 𝐴 = {1; 3; 5; 7} y 𝐵 = {2; 4; 6; 8} son disjuntos. f) {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 ≠ 𝑥}
b) Los conjuntos 𝐴 = {𝑎; 𝑒; 𝑖; 𝑜; 𝑢} y 𝐵 = {𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑓} son disjuntos.
13. Dado A y B determinar si 𝐀 = 𝐁 en los siguientes ejercicios:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN: a) 𝐴 = {−2; 0; 2} y 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 3 − 4𝑥 = 0}
1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos: b) 𝐴 = {1; 2} y 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑍/(𝑥 − 1)(𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) = 0}
c) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑍 + /1 ≤ 𝑥 ≤ 6} y 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 ≤ 3˅5 < 𝑥 < 7}
b) 𝐵 = {𝑥 2 − 1/𝑥 ∈ 𝑍˄ − 1 ≤ 𝑥 ≤ 3} 14. Si 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 son conjuntos tales que 𝐴 ⊂ 𝐵 ⊂ 𝐶. ¿Cuál es la relación
c) 𝐶 = {3 − 5𝑥/𝑥 ∈ 𝑍, −2 ≤ 𝑥 < 5 ˄ 3 < 𝑥 ≤ 8} entre 𝐶 − 𝐵 ⊂ 𝐶 − 𝐴?
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 3 − 𝑥 2 − 10𝑥 − 8 = 0} 15. Si 𝐴 = {1; 2; 3; 4; 5}, 𝐵 = {2; 3; 4}, 𝐶 = {2; 4; 5}, 𝐷 = {2; 4}. ¿Cuál
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑁/6𝑥 3 − 31𝑥 2 + 3𝑥 + 10 = 0} de las siguientes proposiciones son verdaderas?
f) 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 2 > 0 ˄ 𝑥 2 < 20}
g) 𝐸 = {𝑥/𝑥 3 − 19𝑥 2 − 36𝑥 + 1440 = 0} a) 𝐴 ⊂ 𝐵 b) 𝐴 ⊂ 𝐷 c) 𝐶 ⊂ 𝐴
h) 𝐻 = {𝑥 ∈ 𝑅/(𝑥 2 + 16𝑥)2 = 172 } d) 𝐵 ⊂ 𝐴 e) 𝐵 ⊂ 𝐶 f) 𝐷 ⊂ 𝐵
g) 𝐴 ⊂ 𝐴 h) 𝐵 ≠ 𝐶 i) 𝐷 ⊂ 𝐴
2. Determinar por extensión los siguientes conjuntos
16. Sean 𝐴 = {𝑥/𝑥 3 − 17𝑥 2 + 71𝑥 − 55 = 0};
a) 𝐴 = {𝑥/𝑥 3 − 7𝑥 + 6 = 0}
𝐵 = {𝑥/𝑥 4 − 15𝑥 3 + 37𝑥 2 − 16𝑥 + 110 = 0} es 𝑨 ⊂ 𝑩.
b) 𝐵 = {𝑥/6𝑥 2 − 5𝑥 + 1 = 0}
c) 𝐶 = {𝑥/2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 7𝑥 + 3 = 0} 17. Sean 𝑈 = {1; 2; 3; 4; 5; 9} el conjunto universal, si 𝐴 = {𝑥 2 /𝑥 ∈ 𝑈}
d) 𝐷 = {𝑥/2𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0} hallar 𝑨 𝑦 𝑨´ por extensión.
e) 𝐸 = {𝑥/𝑥 4 + 𝑥 3 − 6𝑥 2 − 𝑥 + 5 = 0}
𝑥+1
f) 𝐹 = {𝑥/𝑥 4 + 2𝑥 3 − 31𝑥 2 − 32𝑥 + 60 = 0} 18. Sea 𝐴 = {
2
/𝑥 ∈ 𝑍/0 < 𝑥 < 4} y
𝑥 2 −1
3. Hallar el conjunto solución del siguiente conjunto: 𝐵= { /𝑥 ∈ 𝑍, −2 ≤ 𝑥 ≤ 3}. Determinar
cuál de las relaciones
2
𝐴= {𝑥/64𝑥 3 + 24𝑥 2 − 6𝑥 − 1 = 0} se cumplen: 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐴 = 𝐵.
19. Sea 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 3 − 3𝑥 2 − 6𝑥 + 8 = 0} y
4. Determinar los elementos de cada conjunto. 𝑥+1
𝐵={ /𝑥 ∈ 𝑍, −4 < 𝑥 ≤ 3}. Determinar cuál de las relaciones
2
a) 𝐴 = {𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝒙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒𝑛 𝑥2
= 16} se cumplen: 𝐴 ⊂ 𝐵, 𝐵 ⊂ 𝐴, 𝐴 = 𝐵.
b) 𝐵 = {𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝒙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒𝑛 𝑥 2 = 16}
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝑁/2𝑥 + 3 = 15} 20. Sea 𝑈 = {𝑥 ∈ 𝑁/1 ≤ 𝑥 ≤ 5}, 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟},
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑄/(2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 0} 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟}, 𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴/𝑥 = 2𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑈} ∪ {12}. Si
e) 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝑍/𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0} 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ 𝐵} ∩ {𝑥 ∈ 𝐴/𝑥 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 4}
f) 𝐺 = {𝑥 ∈ 𝑁/5 < 𝑥 < 12} ¿Cuántos subconjuntos de C contienen a D?

5. Determinar por comprensión el siguiente conjunto: 𝑇 = {−1; 1; 2}

6. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos:
a) 𝐴 = {−7; −3; 1; 5; 9; … }
1 7
b) 𝐵 = {−1; ; 2; ; 5; … }
2 2
c) 𝐶 = {2; 3; 6; 11; 18}
7. Si 𝐴 = {2; 3; 5; 7}, diga cuál de las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas.
a) 5 ∈ 𝐴 b) 3 ⊂ 𝐴 c) {7} ⊂ 𝐴 d) {3; 5} ∈ 𝐴
8. Si 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁/𝑥 ≤ 2 ˅ 𝑥 = 7}, hallar todos los subconjuntos
propios de A.
9. Dados los siguientes conjuntos 𝐴 = {7𝑥 + 2/𝑥 ∈ 𝑍},
𝐵 = {7𝑥 − 26/𝑥 ∈ 𝑍}, 𝐶 = {4𝑥 + 1/𝑥 ∈ 𝑍} y 𝐷 = {2 + 1/𝑥 ∈ 𝑍},