La serie de Taylor

La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un

punto en términos de valor de la función y sus derivados en otro punto.
La serie de Taylor es una herramienta matemática que si se usa apropiadamente
facilita mucho los cálculos de aproximación de funciones.
La idea fundamental detrás de la serie de Taylor es la de poder aproximar los
valores de una función f(x) para cualquier punto x, a partir de un punto de
referencia a situado a una distancia h del primero y todo esto a partir de la
creación de un polinomio, basado en una serie de potencias infinita para la cual
sea posible de manera sistemática calcular sus coeficientes.
Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Son
funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden.

m
El objetivo a lograr es encontrar el mejor polinomio que permita aproximar

er as
cualquier valor de f(x) para una función dada, con un valor casi exacto o teniendo

co
un error mínimo.

eH w
o.
No todas las funciones pueden ser aproximadas usando un polinomio y en
rs e
particular la serie de Taylor, ya que presentan alguna singularidad.
ou urc
Sin embargo, la mayoría de las funciones obtenidas en los casos prácticos dentro
del área de la ingeniería, si son aproximables por este método.
o
aC s
vi y re

 Hallar la serie de Taylor para f(x) = Ln x, donde a = 1, gráfica y obtén

las aproximaciones hasta el polinomio de orden 4
ed d

f ' (a) f ¨ ´ (a)

(x-a)+ f (a)} over {2!
ar stu

f(x)= f(a)+ (x-a)2+ (x-a)3+…

1! ¿ 3!

f(x)= ln x f (1) = ln1 = 0

is

1
f´(x)= = x-1 f´(1)= 1
Th

x
−1
f´´(x)= -x-2 f´´(1)= = -1
12
sh

2
f´´´(x)= 2x-3 f´´´(1)= 3 =2
(1)
−6
f(4)(x)= -6x-4 f(4) (1)= 4 = -6
(1)

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 1 −1 2 −6
ln x≈ 0+ 1! (x-1)+ 2! (x-1)2 + 3! (x-1)3 + 4! (x-1)4+…
1 1 1 1
ln x≈ (x-1) - 2 (x-1)2 + 3 (x-1)3 - 4 (x-1)4 + 5 (x-1)5 - …

m
er as
co
eH w
o.
rs e
ou urc
o
aC s
vi y re
ed d

 Hallar la serie de Taylor para f(x) = Cos x, donde a = 0, gráfica y obtén

ar stu

las aproximaciones hasta el polinomio de orden 4.

is

0
f(x)=cos x f (0) =cos 0 =1 p1(x) ≈ cos x ≈ 1+
1!
Th

f´(x)= -sen x f´ (0) = -sen 0=0 p1(x) ≈ cos x ≈ 1

p1(x)=1
sh

0 1
f(x)= cos x f (0) =1 p2(x) ≈ cos x ≈ 1+ X- X2
1! 2!

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 2
x
f´(x)= -sen x f´ (0) =0 p2(x)= 1-
2
f´´(x)= -cos x f´´ (0) = -1
f(x)= cos x f (0) =1
(−1) (1)
f´(x) = -sen x f´ (0) = 0 p4(x)x cos x= 1+0+ X2 + 0+
2! 4!
X4
2 4
x x
f´´(x)= -cos x f´´ (0) = -1 p4(x)= 1 - +
2! 4!
f´´´(x)= sen x f´´´ (0) = 0

x2 x4 x6
f(4)(x) =cos x f (4)(0) = 1 pn(x)= 1- + - +…

m
2! 4! 6!

er as
co
eH w
o.
rs e
ou urc
o
aC s
vi y re
ed d
ar stu
is
Th
sh

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  Hallar la serie de Taylor para f(x) = Cos x, donde a = 1, gráfica y obtén
las aproximaciones hasta el polinomio de orden 4

f(x)= cos x f (0) = 1

f´(x)= -sen x f´ (0) = 0
f´´(x)= -cos x f´´ (0) = -1
f´´´(x)= sen x f´´´ (0) = 0

m
er as
co
1 1 1 1 1

eH w
cos x= 1- X2+ X4 - X6 + X8 - X10+….
2! 4! 6! 8! 10 !

o.
Cos x= ∑
∞
(−1)n x2 n
rs e
ou urc
n=0 ( 2 n) !
d
[sen x] cos x
dx
o
aC s
vi y re

∞
d (−1)n x2 n +1
dx
[ ∑ ] = cos x
n=0 ( 2 n+1 ) !
ed d
ar stu
is
Th
sh

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