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    Práctica 5

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    Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con el cálculo diferencial, incluyendo derivadas de funciones, ecuaciones de rectas tangentes, aproximaciones usando rectas tangentes, y polinomios de Taylor. Los ejercicios abarcan temas como derivabilidad, derivadas de orden superior, reglas de derivación, y aplicaciones como aproximaciones y desarrollo en series de Taylor.

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    A NÁLISIS M ATEMÁTICO I Universidad Austral

    Práctica 5
    Derivadas
    1. a) Decidir si las funciones cuyos gráficos están a continuación son derivables en x0 :

    b) ¿Alguna de las funciones anteriores tiene recta tangente horizontal en x0 ? En estos casos,
    ¿cuanto vale f 0 (x0 )?
    √
    2. Sea f (x) = x + 1.

    (a) Hallar la pendiente de la recta tangente al gráfico de f (x) en x0 = 3.


    (b) Dar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f (x) en x0 .
    (c) Graficar, en un mismo sistema, la función f (x) y la recta tangente hallada en el ítem previo.
    (d) Usar la recta tangente para aproximar el valor de f (3, 05).

    3. Realizar lo mismo que en el punto anterior, pero considerando ahora:


    1
    (a) f (x) = x2 , x0 = 2 (b) f (x) = , x0 = −1
    x+2
    4. Decidir si las siguientes funciones son derivables en x0 = 0.
    ( (
    x x>0 x3 x > 0
    (a) f (x) = |x| (b) f (x) = (c) f (x) =
    −x2 x ≤ 0 x2 x ≤ 0
    (Sugerencia: representar graficamente cada una de las funciones.)

    1 Hoja 1 de 3
    A NÁLISIS M ATEMÁTICO I Universidad Austral

    5. Calcular la derivada de f (x) en cada caso, usando de manera combinada las reglas para derivar
    sumas, restas, productos y cocientes de funciones.
    1 √ 3
    (a) f (x) = 8x3 − 2x2 + 3x − 1 (b) f (x) = − x − √ (c) f (x) = x2 cos(x)
    x2 5
    x

    sen(x) 1 − 2 cos(x) ln(x)


    (d) f (x) = (e) f (x) = (f) f (x) = x + 3ex − x4
    3x + 2 3 + cos(x)

    5ex − 3
    (g) f (x) = tg(x) − ln(e + 1) (h) f (x) = ln(x) tg(x) (i) f (x) =
    ex + 4

    (j) f (x) = x3 cos(x) − 7 sen(x) + e5

    6. Hallar un punto P tal que la pendiente de la recta tangente al gráfico de f (x) = x3 − 3x2 + 5, en el
    punto P, sea igual a −3.

    7. Hallar x0 tal que la recta tangente al gráfico de f (x) = 2x3 + 3x2 + 3 en x0 sea paralela a la recta
    y = 12x + 1.

    8. Hallar x0 tal que la recta tangente al gráfico de f (x) = 2x3 + 15x2 + 1 en x0 sea y = −36x − 27.

    9. Sea f (x) una función derivable.

    (a) Si f (2) = 1 y f 0 (2) = 3, dar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f (x) en x0 = 2.


    (b) Si y = 5x − 2 es la ecuación de la recta tangente al gráfico de f (x) en x0 = 1, calcular f (1) y
    f 0 (1).

    10. Usando la regla de la cadena, calcular la derivada de f (x) en cada caso.


    2 √ √
    (a) f (x) = x + 1x (b) f (x) = 4x2 − 25 (c) f (x) = (x2 + 1) x3 − 1

    ln(2x + 3)
    (d) f (x) = ln(x5 + x − 2) (e) f (x) = ln3 (x) (f) f (x) =
    2x + 3

    x2
     
    (g) f (x) = ln (h) f (x) = sen(2x) − cos(3x) (i) f (x) = cos4 (x) − e−4x+9
    1 − x2

    √ 2 √
    (j) f (x) = ln(sen(x)) (k) f (x) = ln(cos( x)) (l) f (x) = ex + ( 3x − 6ex )7

    (m) f (x) = ex sen2 (x) (n) f (x) = xe−2x (o) f (x) = cos5 (x2 + 2x)

    Hoja 2 de 3 2
    A NÁLISIS M ATEMÁTICO I Universidad Austral

    11. (a) Hallar la derivada de f (x) = ln(x2 + cos2 (x)e2x ).


    (b) Dar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f (x) en x0 = 0.

    ex−1
    12. Dar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f (x) = √ en x0 = 1.
    x+3
    sen(x2 + x)
    13. Sea f (x) = .
    x2 − 2x
    (a) Hallar lı́m f (x) y lı́m f (x).
    x→0 x→+∞
    (b) Calcular f 0 (x) y dar la ecuación de la recta tangente al gráfico de f (x) en x0 = −1.

    14. Calcular las derivadas segunda y tercera de las siguientes funciones:


    1
    (a) f (x) = (b) f (x) = cos2 (x) − e3x (c) f (x) = ln(x2 + x4 )
    1 + x2

    15. Considerar f (x) = ex . a) Obtener el polinomio de Taylor de grado 4 de f en x0 = 0.

    b) Calcular e1/3 usando la recta tangente en x0 = 0 y comparar con el resultado de usar la aproxi-
    mación del polinomio de Taylor hallado en a).

    16. Hallar el polinomio de Taylor de las siguientes funciones, hasta el orden indicado alrededor de x0 .
    1
    (a) f (x) = 1−x orden 5 , x0 = 0 (b) f (x) = sin(x) orden 5 x0 = 0
    √
    (c) f (x) = x orden 3 , x0 = 4

    17. Considerar la función f (x) = cos x.

    a) Obtener el polinomio de Taylor de grado 4 de f en x0 = 0.

    b) Calcular cos( 21 ) usando el polinomio de Taylor hallado en (a).

    18. Considerar f (x) = ln(1 + x).

    a) Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 de f en x0 = 0.


    b) Calcular ln(1, 25) usando el polinomio de Taylor hallado en (a). (Ayuda: 1,25=1+0,25)

    3 Hoja 3 de 3

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