Serie de Taylor

📝
La Serie de Taylor
El Teorema de Taylor y sus fórmula, la Serie de Taylor, es de gran valor en el estudio
de los métodos numéricos. En esencia, la Serie de Taylor proporciona un medio para
predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus
derivadas en otro punto. En particular, el teroma establece que cualquier función suave
puede aproximarse por un polinomio.
Construcción de la Serie de Taylor

Una buena manera de comprender la serie de Taylor consiste en construirla término por
término. Por ejemplo, el primer término de la serie es:
f(xi+1 ) ≊ f(xi ) (1)
Esta relación, llamada la aproximación de orden cero, indica que el valor de f en el

nuevo punto es el mismo que su valor en el punto anterior. Tal resultado tiene un
sentido intuitivo, ya que si xi y xi+1 están muy próximos entre sí, entonces es muy
probable que el nuevo valor sea similar al anterior.
La ecuación (1) ofrece una estimación perfecta si la función que se va a aproximar es,
de hecho, una constante. Sin embargo, si la función cambia en el intervalo, entonces se
requieren otros términos adicionales de la Serie de Taylor, para obtener una mejor
aproximación. Por ejemplo, la aproximación de primer orden se obtiene sumando
otro término para obtener:
f(xi+1 ) ≊ f(xi ) + f ′ (xi )(xi+1 − xi ) (2)
Teorema de Taylor
Si la función f y sus primeras n + 1 derivadas son continuas en un intervalo que
contiene a y x, entonces el valor de la función en x está dado por:
La Serie de Taylor 1
f ′′ (a) f (n) (a)
f(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a) + (x − a)2 + ⋯ + (x − a)n (3)
2! n!
De forma general:
∞
hi (i)
f(x + h) = ∑ f (x) (4)
i!
i=0
Método de Newton-Raphson
El método de Newton-Rapshon es el más ámpliamente utilizado para la localización de
raíces. Si el valor inicial para la raíz es xi , entonces se puede trazar una tangente
desde el punto de vista [xi , f(xi )] de la curva. Por tanto, el punto donde está la
tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada de la raíz.
Se extrapola una tangente a la función en xi [esto es f ′ (xi )] hasta el eje x para

obtener una estimación de la raíz en xi+1 . De la gráfica anterior, se tiene que la
primera derivada en x es equivalente a la pendiente:
f(xi ) − 0
f ′ (xi ) =
xi − xi+1
Despejando xi+1 :
f(xi )
xi+1 = xi − (5)
f ′ (xi )
Esta fórmula es conocida como Fórmula de Newton-Raphson.
Deducción de la Fórmula de Newton-Raphson mediante

la Serie de Taylor
El método de Newton-Raphson también se desarrolla a partir de la expansión de la
Serie de Taylor. Esta deducción alternativa es muy útil en el sentido de que provee
cierta comprensión sobre la velocidad de convergencia del método.
Anteriormente habíamos definido la Serie de Taylor de la siguiente manera:
′ f ′′ (a) 2 f (n) (a)

f(x) = f(a) + f (a)(x − a) + (x − a) + ⋯ + (x − a)n
2! n!
Truncando la Serie de Taylor después del primer término de la primera derivada, se
obtiene una versión aproximada:
f(xi+1 ) ≊ f(xi ) + f ′ (xi )(xi+1 − xi ) (6)
Dado que la intersección con el eje x, f(xi+1 ) debe ser igual a 0, es decir:
0 = f(xi ) + f ′ (xi )(xi+1 − xi ) (7)
Al despejar xi+1 obtenemos:
f(xi )
xi+1 = xi −
f ′ (xi )
Expresión idéntica a la ecuación (5).
Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar
una aproximación en luegar de un procedimiento matemático
exacto. Para el método de Newton-Raphson se genera un
truncamiento hasta la aproximación de primer orden.
Implementación del Método de Newton-Raphson en

Python
# Newton Method
def newton(f, df, x0, threshold):
x = x0 - (f(x0) / df(x0))
while abs(x - x0) >= threshold:

x0 = x
x = x0 - (f(x0) / df(x0))
return x
Método de la Secante
El Método de la Secante es una técnica similiar a la del método de Newton-Raphson
en el sentido de que una aproximación de la raíz se predice extrapolando una tangente
de la función hasta el eje x. Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia
dividida en lugar de una derivada para estimar la pendiente.
Se tienen en cuenta 2 puntos para poder realizar una aproximación a la raíz: La
iteración actual (xi ) y la iteración anterior (xi−1 ), para poder predecir un nuevo valor
para x. Para extrapolar la recta entre los puntos xi y xi−1 , utilizamos la extrapolación
lineal.
Extrapolación lineal
Extrapolar de manera lineal significa aproximar la función a una función lineal o afín, es
decir, a una función polinómica de grado 1. Para ello, se utiliza la interpolación
polinómica de Newton.
f(xi−1 ) − f(xi )
f(xi+1 ) = × (xi+1 − xi ) + f(xi ) (8)
xi−1 − xi
Se espera que f(xi+1 ) sea 0, por tanto:
f(xi−1 ) − f(xi )
0= × (xi+1 − xi ) + f(xi )
xi−1 − xi
Al despejar a xi+1 obtenemos:
f(xi ) × (xi−1 − xi )
xi+1 = xi − (9)
f(xi−1 ) − f(xi )
De esta manera, obtenemos la fórmula para el Método de la Secante.
Implementación del Método de la Secante en Python
# Secant Method
def secant(f, x0, x1, threshold):
x = x1 - (f(x1) * (x1 - x0)) / (f(x1) - f(x0))
while abs(x - x1) >= threshold:

x0 = x1
x1 = x
x = x1 - (f(x1) * (x1 - x0)) / (f(x1) - f(x0))
return x

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Construcción de la Serie de Taylor

f(xi+1 ) ≊ f(xi ) (1)

Esta relación, llamada la aproximación de orden cero, indica que el valor de f en el

f(xi+1 ) ≊ f(xi ) + f ′ (xi )(xi+1 − xi ) (2)

Se extrapola una tangente a la función en xi [esto es f ′ (xi )] hasta el eje x para

Esta fórmula es conocida como Fórmula de Newton-Raphson.

Deducción de la Fórmula de Newton-Raphson mediante

Anteriormente habíamos definido la Serie de Taylor de la siguiente manera:

′ f ′′ (a) 2 f (n) (a)

f(xi+1 ) ≊ f(xi ) + f ′ (xi )(xi+1 − xi ) (6)

0 = f(xi ) + f ′ (xi )(xi+1 − xi ) (7)

Al despejar xi+1 obtenemos:

Expresión idéntica a la ecuación (5).

Implementación del Método de Newton-Raphson en

while abs(x - x0) >= threshold:

Se espera que f(xi+1 ) sea 0, por tanto:

De esta manera, obtenemos la fórmula para el Método de la Secante.

Implementación del Método de la Secante en Python

while abs(x - x1) >= threshold:

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