FACTORIZACION P ( x, y ) = x y + x y + 2xy +

3 4 7
4) 8
Es un polinomio sobre los reales pero no sobre los racionales,
Es un proceso mediante el cual un polinomio se transforma en porque 8 no es racional.
la multiplicación indicada de sus factores primos o sus
P ( x ) = −5x +
potencias de estos, dentro de un campo numérico. 3 7
5) −1 x + 5x + 7

Ejemplo: El coeficiente −1 no es racional ni real, es complejo;

Factorizacion entonces P ( x ) es un polinomio sobre los complejos.

x + 9x + 20x = x ( x + 4 )( x + 5 )
3 2
IMPORTANTE
Multiplicacion
Como   , si un polinomio esta sobre los racionales,
CAMPO NUMÉRICO entonces es un polinomio sobre los reales y complejos. Si esta
Se dice que es un campo numérico si las operaciones adición sobre los reales, no necesariamente sobre los racionales, pero
y multiplicación cumplen con las leyes de cerradura o si sobre los complejos.
clausura, conmutativa, asociativa, distributiva,
elemento neutro y reciproco.
FACTOR DE UN POLINOMIO
Al conjunto de los números racionales ( ), reales ( ) y Es un polinomio de grado arbitrario que divide exactamente a
otro.
complejos ( ) se les consideran campos numéricos. El
conjunto de los enteros no forma un campo, no tiene elemento
Dado un polinomio P ( x ) , se dice que F ( x ) , es un polinomio
reciproco en la multiplicación (inverso multiplicativo)
de grado no nulo, es factor de P ( x ) si existe un polinomio
Los irracionales no forman un campo numérico porque no es Q ( x ) tal que:
cerrado con respecto a la adición ni a la multiplicación:

Ejemplos: P ( x ) = F ( x )  Q( x )
Factor de P ( x )
   
1)  5 + 3 +8− 3  = 13
    Ejemplos:
2
2) 7 7 = 7 =7 1) Dado el polinomio:
P ( x ) = ( x + 3 )( x − 5 )
POLINOMIO SOBRE UN CAMPO
Los factores del polinomio son:
Un polinomio esta sobre un campo si sus coeficientes
pertenecen a dicho campo, aunque sus variables pueden ( x + 3 ) , ( x − 5 ) , ( x + 3 )( x − 5 )
tomar todos los valores reales. 3 factores

Ejemplos: 2) Dado el polinomio:

2
1) P ( x ) = 3x − 4x + 6x + 8
7 5 3 P ( x ) = 7 ( x + 1 )( x − 5 )
Es polinomio sobre los racionales. Los factores del polinomio son:

2 6 4
( x + 1 ) , ( x − 5 ) , ( x − 5 ) 2 , ( x + 1 )( x − 5 ) , ( x + 1 )( x − 5 ) 2
2) P ( x ) = x + 3x + x + 3
5
5 factores
5 3
Es polinomio sobre los racionales. El 7 no es considerado factor de P ( x ) por ser de grado nulo.

P ( x ) = 8x +
9 4 2
3) 3 x + 5x − 2
Es un polinomio sobre los reales pero no sobre los racionales,
porque 5 no es racional.
POLINOMIO IRREDUCTIBLE 5) Dada la expresión:
Un polinomio es irreductible sobre un campo numérico, si no
es posible expresarlo como la multiplicación de dos o más
4
(
x − 49 = x + 7 i )( x − 7 i )( x + 7 )( x − 7 )
factores sobre el mismo campo. Tiene 3 factores primos en

Ejemplos: NOTA:

1) P ( x ) = x − 25 no es irreductible en
2
, porque se puede Cada factorizacion se va ha realizarse
expresar como. hasta obtener factores primos en ,
P ( x ) = ( x + 5 )( x − 5 ) cada uno con coeficiente enteros. esto
se define como factorizacion en

2) P ( x ) = x − 7 es irreductible en
2
, pero no es irreductible
en , porque NUMERO DE FACTORES
(
P( x ) = x + 7 )( x− 7 ) Dado un polinomio P ( x )
a b c
P ( x ) =  P ( x )1   P ( x ) 2   P ( x ) 3 
3) P ( x ) = 9x + 1 es irreductible en
2
y , pero no es
irreductible en los complejos, porque Donde: P ( x )1 , P ( x ) 2 , P ( x ) 3
(
P ( x ) = 3x + −1 )( 3x − −1 ) Son factores primos y primos entre si.
Luego el número de factores de P ( x ) esta dada por:
NOTA:
Todo polinomio de primer grado es irreductible en cualquier # Factores = ( a + 1 )( b + 1 )( c + 1 ) − 1
campo numérico.
Ejemplos:
FACTOR PRIMO
El factor de un polinomio sobre un campo, es primo si es 1) Dado el polinomio:
2
irreductible sobre el mismo campo. P( x ) = ( x − 6) ( x + 2 ) 5 ( x + 5 )7
Indicar el número de factores:
Ejemplos: Solución:
1) Dado el polinomio: # Factores = ( 2 + 1 )( 5 + 1 )( 7 + 1 ) − 1
2
P ( x ) = ( x + 3 )( x + 1 )
# Factores = ( 3 )( 6 )( 8 ) − 1
Los factores primos son:
( x + 3 ) y ( x + 1)  # Factores = 143 Rpta.
Porque son irreductibles.
2
El factor ( x + 1 ) no es primo porque

( x + 1 ) 2 = ( x + 1 )( x + 1 ) EJERCICIOS RESUELTOS
2) Dado el polinomio: 01. Indicar el número de factores primos del polinomio:
P( x) = x − 3 ( 2
)( x 2
− 25 ) P( x) = 3  x
4 5
( x + 4 ) 7 ( x − 2 ) 3 ( 3x + 1 )
( 2
)
El factor x − 3 es primo en , pero no lo es en , porque A) 1
D)
B) 2
E) 5
C) 3

( x − 3 ) = ( x + 3 )( x − 3 )
2
Solución:
Los factores primos del polinomio son:
El factor ( x − 25 ) no es primo en
2
ni en , porque
x , ( x + 4 ) , ( x − 2 ) , ( 3x + 1 )
( x − 25 ) = ( x + 5 )( x − 5 )
2 4 factores primos

Luego: # F.P = 4 Rpta.

3) Dada la expresión:
4
x − 49 = x + 7 ( 2
)( x 2
−7 ) Observación
Tiene 2 factores primos en
Los factores primos del polinomio son:
4) Dada la expresión:
3 , x , ( x + 4 ) , ( x − 2 ) , ( 3x + 1 )
4
x − 49 = x + 7 ( 2
) ( x + 7 )( x − 7 ) 5 factores primos
Tiene 3 factores primos en
Luego: # F.P = 5 Rpta.
02. Indicar la suma de los factores primos del polinomio: FACTOR COMÚN
P ( x ) = 48x
3
( x + 8 ) 3 ( 3x − 4 ) 5 ( x + 1 ) Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de
un polinomio para luego extraerlos.
A) 6x + 5 B) 5x + 6 C) 4x + 3
D) 6x + 10 E) 8x + 7 03. Factorizar:
Solución:
Descomponiendo el polinomio:
( x + 8 ) y 2 + ( x + 8 ) x 2 + ( x + 8 ) xy
A) ( x + y ) ( x + 2y )
P( x) = 3 2  x
4 3
( x + 8 ) 3 ( 3x − 4 ) 5 ( x + 1 ) B) ( x + 8 )( x + y + xy )
Los factores primos del polinomio son: C) ( x + 4 )( 2y + 4x + xy )
x , ( x + 8 ) , ( 3x − 4 ) , ( x + 1 ) D) ( x + y )( y + x + xy )
4 factores primos
(
E) ( x + 8 ) y + x + xy
2 2
)
Luego la suma de los factores primos es Solución:
Del polinomio:
 F.P = x + ( x + 8 ) + ( 3x − 4 ) + ( x + 1)
( x + 8 ) y 2 + ( x + 8 ) x 2 + ( x + 8 ) xy
  F.P = 6x + 5 Rpta.
Extrayendo factor común ( x + 8 )
Observación
 ( x + 8 ) ( y 2 + x 2 + xy ) Rpta.
Los factores primos del polinomio son:
3 , 2 , x , ( x + 8 ) , ( 3x − 4 ) , ( x + 1 )
04. Factorizar:
6 factores primos 9 7 5 2
x +x −x +x
Luego la suma de los factores primos es
A) x
2
( x − 3 )( x − 2 )
 F.P = 3 + 2 + x + ( x + 8 ) + ( 3x − 4 ) + ( x + 1 )

  F.P = 6x + 10 Rpta.
B) x
2
(x 6
−3 )( x 2
−7 )
C) x
2
(x 7 5
+ x − x +1
3
)
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
(
D) x x + 3
2
)( x 3
−2 )
E) ( x + 3 )( x − 2 )( x − 1)
• FACTOR COMÚN
Solución:
Cuando se presentan potencias de una variable, el factor
• AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS común es el de menor exponente.

• CRITERIO DE IDENTIDADES x
2
(x 9− 2
+x
7− 2
−x
5− 2
+x
2− 2
)
• ASPA SIMPLE
2 7 5 3
(
 x x + x − x + 1 Rpta. )
n+ 3 n− 4 n− 5
• ASPA DOBLE ESPECIAL 05. Factorizar: 8x − 7x + 5x
n+ 2
 8x 8 + 7x + 5 
A) x
 
• ASPA DOBLE ESPECIAL
n+ 3 
4x − 7x + 1 
4
B) x
 
n +1 
2x − 6x + 3 
5
• DIVISORES BINOMIOS C) x
 
n− 5 
8x − 7x + 5 
8
D) x
• CAMBIO DE VARIABLE  
n− 4  4
E) x x − 4x + 4 
 
• CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS. Solución:
Cuando se presentan potencias de una variable, el factor
común es el de menor exponente.
Luego:
 x
n− 5  8x n+ 3−( n− 5 ) − 7x n− 4 − ( n− 5 ) + 5x n− 5− ( n− 5 )  Solución:
  Agrupando convenientemente:
n− 5  8x n + 3− n + 5 − 7x n − 4 − n + 5 + 5x n − 5 − n + 5  2
x ab + ac + b + bc + ad + bd
 

 x
n− 5 
8x − 7x + 5  Rpta.
8
b( a + b) + c ( a + b) + d ( a + b)
 

06. Al factorizar indicar el número de factores primos de: Luego: ( a + b )( b + c + d ) Rpta.

2
( x + 1)( 2x + 1 )( 3x + 1 ) + ( x + 1 ) +x +x
2

A) 1 B) 2 C) 3 09. Factorizar:
D) 4 E) 5 2 2
abx + axy + a b + a y
Solución:
Factorizando los dos últimos términos: A) a ( a + b )( x + y )

( x + 1)( 2x + 1)( 3x + 1 ) + ( x + 1 ) 2 + x ( x + 1 ) B) a ( a + y )( b + x )
C) xy ( a + b )( x + y )
Extrayendo factor común ( x + 1 )
D) ( a + 2x )( b + 2y )
( x + 1)  ( 2x + 1)( 3x + 1) + ( x + 1) + x  E) a ( b + y )( x + a )
( x + 1)  ( 2x + 1)( 3x + 1) + ( 2x + 1)  Solución:
Extrayendo factor común “a”.
Factor común ( 2x + 1 ) a  bx + xy + ab + ay 
 
( x + 1)( 2x + 1)  3x + 1+1
a  x( b + y ) + a( b + y ) 
( x + 1)( 2x + 1)( 3x + 2 )  

 # F.P = 3 Rpta.  a ( b + y )( x + a ) Rpta.

10. Indicar un factor primo de:

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS 5 4 3 2
a b + a bc + a b + a bc
Consiste en agrupar términos convenientemente tratando de A) ( a + c ) B) ( a − c ) C) ( a + b )
que aparezca algún factor común.
(
D) a + b
2
) (
E) a − b
2
)
07. Factorizar: ax + bx + cx + ay + by + cy Solución:
Extrayendo factor común:
A) ( 2a + b + c )( x − y )
a b a + a c + a + c 
2 3 2
B) ( a + b − c )( x − y )
 
C) 4 ( a + b + c )( x + y )
a b a ( a + c ) + ( a + c ) 
2 2
D) c ( a + b )( x + y ) 
E) ( a + b + c )( x + y )
Solución:
a b( a + c ) a + 1
2
( 2
)
Agrupando de 3 en 3 tenemos: Luego un factor primo es:
ax + bx + cx + ay + by + cy
(a + c) Rpta.
x(a + b + c) + y(a + b + c)

11. Factorizar:
Luego: ( a + b + c )( x + y ) Rpta.
1 + x + y + z + xy + yz + xz + xyz
A) ( x + y )( x + z ) ( x + y + z )
08. Factorizar:
B) ( x + 1 )( y + 1 ) ( z + 1 )
2
ab + ac + b + bc + ad + bd
C) ( x + y + z )( x + z )
A) ( a + b )( c + d )
D) ( x + y )( x + 1 )( y + 1 )( z + 1 )
B) ( a + b + c )( b + c )
E) ( 2x + 1 )( 2y + 1 )( 2z + 1 )
C) ( a + c )( b + d )
D) ( a + b )( b + c + d )
E) ab ( a + b + c + d )
Solución: CRITERIO DE IDENTIDADES
Agrupando convenientemente:
Consiste en aplicar los productos notables en forma inversa, es
1 + z + x + y + xy + yz + xz + xyz
decir, del producto pasar a los factores.

( 1 + z ) + ( x + y ) + xy( 1 + z ) + z ( x + y ) 14. Al factorizar indicar el número de factores primos de:

4 4
Extrayendo factor común: x −y
A) 1 B) 2 C) 3
( 1 + z )( 1 + xy ) + ( x + y )( 1 + z ) D) 4 E) 5
Solución:
( 1 + z ) 1 + xy + x + y  Por diferencia de cuadrados tenemos:

( 1 + z )  ( 1 + x ) + y( 1 + x ) 
(x 2
+y
2
)( x 2
−y
2
)
 ( 1 + z )( 1 + x )( 1 + y ) Rpta.
(x 2
+y
2
) ( x + y )( x − y )
 # F.P = 3 Rpta.
12. Indicar un factor primo de:
2 2 2 2 2
x y + x z + xy + y z + xz + xyz 8
15. Indicar el número de factores primos de: x − 256
( 2
A) x + xy + y ) 2
(
B) 2x + 1
2
) A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
C) ( x + xz + z ) D) ( x )
2 2 2
+y Solución:
Buscando diferencia de cuadrados:
E) ( xz + xy + y )
2
8 8
x −2
Solución:
Agrupando convenientemente:
(x 4
+2
4
)( x 4
−2
4
)
2 2 2 2 2
x y + x z + xy + y z + xz + xyz
(x 4
+ 16 )( x 2
+2
2
)( x 2
−2
2
)
xy ( x + z ) + xz ( x + z ) + y (x + z)
2

(x 4
+ 16 )( x 2
+4 ) ( x + 2 )( x − 2 )
 ( x + z ) ( xz + xy + y 2 ) Rpta.
 # F.P = 4 Rpta.

13. Factorizar: 6 6
16. Luego de factorizar a − b
3 3
x +y +z +x
3 2
( y + z ) + y2 ( x + z ) + z2 ( x + y ) Indicar el número de factores primos.
(
A) ( x + y + z ) x + y + z ) 2 2 2 A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
C) 3

B) ( x + y + z ) ( x + y + z )
3 3 3 Solución:
Por diferencia de cuadrados tenemos:
C) ( x + y + z )( x + y + z )
2 2 2 3 3 3

D) ( x + y + z ) ( x + 1)( y + 1) ( z + 1 )
(a 3
+b
3
)( a 3
−b
3
)
E) ( x + 1)( y + 1)( z + 1 ) Por suma y diferencia de cubos:
Solución: ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
Efectuando:
3 3 3 2
x +y +z +x y+x z+y x+y z+z x+z y
2 2 2 2 2  # F.P = 4 Rpta.

x
2
( x + y + z ) + y2 ( y + x + z ) + z2 ( z + x + y )
17. Al factorizar:
 ( x + y + z ) x2 + y2 + z2 ( ) Rpta. 5 4
x +y +x y+x y
3 2 3

Indicar un factor primo.

2
A) xy + 2 B) 3x + 2 C) x − y
D) x + y E) x − y
Solución: ASPA SIMPLE
5 4 3 2 3
x +y +x y+x y
Se emplea para factorizar polinomios de la forma:

( x + y ) + y( x + y )
x
2 3 3 3 3
 2n
 Ax + Bx + C
P ( x ) =  2m m n 2n

( x + y )( x + y ) 3 3 2  Ax + Bx y + Cy


Procedimiento:
( x + y ) ( x − xy + y )( x + y )
2 2 2
Se adecua la expresión a una de las formas mencionadas.
Luego un factor primo es: x + y Rpta.
Se descompone convenientemente los extremos (teniendo
cuidado en el juego de signos)
18. Factorizar:
( a − b ) 2 ( c − d ) 2 + 2ab ( c − d ) 2 + 2cd ( a 2 + b 2 ) Se efectúa el producto en aspa y se suman los resultados, si
este coincide con el término central de la expresión, entonces
(
A) 2a + b
2 2
)( 2c 2
+d
2
) se concluye que los factores serán las sumas horizontales.
2
B) ( a + b ) ( c + d )2 Ax
2m m n
+ Bx y + Cy
2n

(
C) a + b
2 2
)( c 2
+d
2
) A 1x
A 2x
m

m
C1y → A 2C1x y 
n

n
m n

m n+
C 2 y → A 1C 2x y 
D) ( a + b )( a − b )( c + d )( c − d ) 
m n
E) ( a − 2bc )( b − 2cd ) Bx y

Solución: 2 2
( a − b ) 2 ( c − d ) 2 + 2ab( c − d ) 2 + 2cd ( a 2 + b 2 )
20. Factorizar: x + 16xy + 63y
A) ( x + 3y )( x + 4y )

(
( c − d ) 2 ( a − b ) 2 + 2ab ) + 2cd ( a 2
+b
2
) B) ( x + 5y )( x + 4y )
C) ( x + 7y )( x + 9y )
( c − d )2 ( a2 − ) ( 2
2ab + b + 2ab + 2cd a + b
2 2
) D) ( x + 9y )( x + 7y )

( c − d ) ( a + b ) + 2cd( a + b )
2 2 2 2 2 E) ( x + 3y )( x + 13y )

(a 2
+b
2
)((c − d) 2
+ 2cd ) Solución:
2 2
x + 16xy + 63y
( 2
a +b
2
)( 2
c − 2cd + d + 2cd
2
) x 9y → 9xy 
+
x 7y → 7xy 
 (a 2
+b
2
)( c 2
+d
2
) Rpta.
16xy

Luego la expresión factorizada será:

19. Factorizar: ( x + 9y )( x + 7y ) Rpta.

P( x) = x + x + x + x + x + 1
5 4 3 2

e indicar el número de factores primos 2

21. Factorizar: ( x + 1 ) + 5 ( x + 1 ) + 6
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5 A) ( x + 1 )( x + 2 ) B) ( x + 2 )( x + 3 )
Solución: C) ( x + 4 )( x + 5 ) D) ( x + 3 )( x + 4 )
Agrupando de dos en dos tenemos:
E) ( x + 2 )( x + 7 )
P( x) = x + x + x + x + x + 1
5 4 3 2
Solución:
( x + 1) 2 + 5 ( x + 1) + 6
P( x) = x ( x + 1) + x ( x + 1) + ( x + 1)
4 2
( x + 1) 2
P ( x ) = ( x + 1) (x 4
+ x +1
2
) ( x + 1) 3

identidad de ardand
Luego: ( x + 1 + 2 )( x + 1 + 3 )
P ( x ) = ( x + 1) x + x + 1 x − x + 1 ( 2
)( 2
)  ( x + 3 )( x + 4 ) Rpta.
Luego: # F.P = 3 Rpta.
22. Factorizar: Por diferencia de cuadrados tenemos:
2
( x + y + 3) + 7x + 7y + 31 ( a + b + c )( a − b − c )( a + b − c )( a − b + c )
A) ( x + y + 2 )( x + y + 3 )
 # F.P = 4 Rpta.
B) ( x + y + 3 )( x + y + 4 )
C) ( x + y + 7 )( x + y + 1 )
D) ( x + y + 8 )( x + y + 5 ) ASPA DOBLE
Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:
E) ( x + y + 6 )( x + y + 5 )
Solución: 2 2
2
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F
( x + y + 3) + 7 ( x + y ) + 31
Procedimiento:
Cambio de variable. x + y = a
Se adecua el polinomio a la forma general, en caso falte uno
( a + 3 ) 2 + 7a + 31 o más términos estos se completarán con ceros.
2
a + 6a + 9 + 7a + 31 Se toma el primer trinomio de la expresión y se le aplica un
aspa simple para comprobar el término "Bxy " .
2
a + 13a + 40
2
a 8 Luego a los términos "Cy " , "Ey " y “F” se les aplica en
a 5 aspa simple para comprobar al término "Ey " .

Luego: ( a + 8 )( a + 5 ) Posteriormente se aplica un aspa de extremo a extremo para

comprobar el término en "Dx " .
Finalmente sustituyendo tenemos:
Finalmente se determina que los factores serán las sumas
 ( x + y + 8 )( x + y + 5 ) Rpta. horizontales.
23. Indicar la sumatoria de coeficientes de los factores primos 2 2
Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F
de:
A 1x C1y F1
(a 2
)
+ 2ab x + b ( a − 4b ) x + ( b − a )( a − 2b )
2
A 2x C 2y F2
A) 4a + 3b B) 7a + b C) a − 5b
D) 3a + 2b E) 2a + b Luego la expresión factorizada será:
Solución:
a ( a + 2b ) x + b ( a − 4b ) x + ( b − a )( a − 2b )
2 ( A1x + C1y + F1 )( A 2x + C 2y + F2 )
( a + 2b ) x (b − a)
25. Factorizar:
ax ( a − 2b ) 2 2
6x + 13xy + 6y + 7x + 8y + 2
Luego la expresión factorizada será:
A) ( 2x + 2y + 3 )( 4x + 3y + 3 )
 ( a + 2b ) x + ( b − a )   ax + ( a − 2b )  B) ( 3x − 2y + 2 )( 2x − 3y + 6 )
Finalmente lo solicitado es: C) ( 3x + 4y + 3 )( 5x + 2y + 7 )

( a + 2b ) + ( b − a ) + a + ( a − 2b ) D) ( 3x + 2y + 2 )( 2x + 3y + 1)
E) ( 3x + 2y − 1)( 2x + 3y + 2 )
 2a + b Rpta.
Solución:
2 2
24. Al factorizar: 6x + 13xy + 6y + 7x + 8y + 2
3x 2y 2
(b )+(b )
2
4 2 2 2 2 2
a − 2a +c −c 2x 3y 1
Indicar el número de factores primos.
Luego la expresión factorizada es:
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5 ( 3x + 2y + 2 )( 2x + 3y + 1) Rpta.
Solución:
4
a − 2a
2
(b 2
+c
2
) + (b + c) 2
( b − c )2 26. Factorizar:
2 2 2
6x − 25y + 20z − 5xy − 23xz − 5yz
A) ( 2x + 2y + 3z )( 4x + 3y + 3z )
2
− (b + c)
2
a
a
2
− (b − c)
2
B) ( 3x − 2y + 2z )( 2x − 3y + 4z )
C) ( 3x + 4y + z )( 2x + 2y + z )
a2 − ( b + c )2  a2 − ( b − c )2 
    D) ( 3x + 2y + z )( 2x + 3y + z )
E) ( 3x + 5y − 4z )( 2x − 5y − 5z )
Solución: Lo que falta se descompone en la parte central buscando
2 2 2
aspas simples a ambos lados.
6x − 5xy − 25y − 23xz − 5yz + 20z Los factores se agrupan en forma horizontal.
3x 5y − 4z
2x − 5y − 5z 29. Determinar la suma de los términos lineales de los factores
4 3 2
Luego se tiene: primos de. x + 7x + 14x + 7x + 1
A) 2x B) 3x C) 4x
( 3x + 5y − 4z )( 2x − 5y − 5z ) Rpta. D) 5x E) 6x
Solución:
4 3 2
27. Factorizar: x + 7x + 14x + 7x + 1
1→ x 
2 2 2 2
3x − 10y − xy + 22y − 12 x 
2
+
A) ( 2x + 2y + 3 )( 4x + 3y + 3 ) x
2
1→ x 
B) ( 3x + 5y − 6 )( x − 2y + 2 ) 2x
2

C) ( 3x + 4y + 1)( x + 2y + 2 )
Ahora el nuevo término central es:
D) ( 4x + y + 1)( 2x + y − 1)
2 2 2
14x − 2x = 12x (Lo que falta)
E) ( 3x + y − 2 )( 2x − y − 3 )
Solución: Entonces el nuevo polinomio será:
4 3 2
2 2
3x − xy − 10y + 0x + 22y − 12 x + 7x + 12x + 7x + 1
2
3x 5y −6 x 4x 1
x − 2y 2 x
2
3x 1
La expresión factorizada será: Luego la expresión factorizada es:
( 3x + 5y − 6 )( x − 2y + 2 ) Rpta.
(x 2
+ 4x + 1 x + 3x + 1 )( 2
)
Finalmente la suma de los términos lineales de los factores
28. Factorizar: primos es:
2 2
10x − 17xy + 3y + 5xz − yz 4x + 3x = 7x Rpta.
A) ( 2x + y − 1)( 5x − 3y + z )
B) ( x + y + 2 )( 3x − 2y + z ) 30. Determinar la suma de los términos lineales de los factores
primos.
C) ( 5x − y + 3 )( 2x − 3y + z )
4 3 2
x + 7x + 19x + 36x + 18
D) ( 5x − y )( 2x − 3y + z )
A) 2x B) 3x C) 4x
E) ( 5x − y + z )( 2x − 3y + 4 ) D) 5x E) 6x
Solución: Solución:
4 3 2
2 2 2 x + 7x + 19x + 36x + 18
10x − 17xy + 3y + 5xz − yz + 0z
6 → 6x 
2 2
5x − 1y 0z x
2 2
+
2x − 3y 1z x 3 → 3x 
2
Luego la expresión factorizada es: 9x

Ahora el nuevo término central es:

( 5x − y )( 2x − 3y + z ) Rpta.
2 2 2
19x − 9x = 10x
Entonces el nuevo polinomio será:
ASPA DOBLE ESPECIAL
4 3 2
x + 7x + 10x + 36x + 18
Se aplica para factorizar polinomios de la forma: 2
x 2x 6
2
4 3
Ax + Bx + Cx + Dx + E
2 x 5x 3

Luego la expresión factorizada es:

Procedimiento:

Se ordena de acuerdo a la forma general, colocando cero en

(x 2
+ 2x + 6 )( x 2
+ 5x + 3 )
el lugar del término que falta. Finalmente lo solicitado es:
Se descompone adecuadamente los extremos buscando
mediante un aspa simple, aproximarse al término central. 2x + 5x = 7x Rpta.
31. Al factorizar: DIVISORES BINOMIOS
4 3 2
6x − 4x − 3x + 15x − 5 Se utiliza para factorizar los polinomios de una variable y de
Determinar la suma de los cuadrados de los terminos grado superior, siempre y cuando admita por lo menos un
independientes de los factores primos. factor lineal.
A) 25 B) 26
C) 27 Este método se fundamenta en el siguiente principio:
D) 28 E) 29
Solución:
4 3 2 Teorema del factor
6x − 4x − 3x + 15x − 5
Si un polinomio se anula para x =  a , uno de sus factores
5 → 10x 
2 2
3x
2 2 
+ será ( x a )
2x − 1 → −3x 
2
7x Para obtener los valores de “x” que anulan el polinomio se
Ahora el nuevo término central es: recordara lo siguiente.
2 2 2
−3x − 7x = −10x Cuando el coeficiente principal es la unidad, los posibles
Luego tenemos: valores de “a” son los divisores del término independiente.

4 3 2 Cuando el coeficiente principal es diferente a la unidad, los

6x − 4x − 10x + 15x − 5
2 posibles valores de “a” son cantidades enteras o fraccionarias
3x − 5x 5 que resultan de combinar los divisores del término
2
2x 2x −1 independiente y del primer coeficiente.

De donde obtenemos: Determinación de los posibles ceros o raíces

racionales (P.C.R.) de un polinomio P ( x ) .
( 3x 2
− 5x + 5 )( 2x 2
+ 2x − 1 )
Finalmente la suma de los cuadrados de los términos Para conocer los posibles ceros racionales de un polinomio de
independientes es: coeficientes enteros.
n n−1
( 5 ) 2 + ( −1 ) 2 = 26 Rpta. P ( x ) = a 0x + a1x + ... + a n

32. Indicar un factor primo de: Donde: a0  an  0

4 3
x + 2x + 5x + 2
2 2 Se utiliza el siguiente criterio:
A) x + x + 1 B) x −x+2
2
C) x − 3x + 2
2
D) x + 3x + 2 
 Divisores de a n 

P.C.R. =   
2
E) x − 4x + 1  Divisores de a 0
 

Solución:
4
x + 2x + 0x + 5x + 2
3 2 Ejemplo:
P ( x ) = 2x + 5x − 4x − 3
3 2
2 2
x 2 → 2x 
2 2 +
x 1 → x   Divisores de −3 
2
P.C.R. =   
3x  Divisores de 2 

2
0x − 3x = − 3x
2 2  1,3 
Luego: P.C.R. =   
 1,2 
4 3 2
x + 2x − 3x + 5x + 2
x
2

2
− 1x 2 
P.C.R. =  1 ,
1
2
,3,
3
2 
x 3x 1
1 3
P.C.R. =  1 ,  ,3,
Luego la expresión factorizada es: 2 2

(x 2
−x+2 )( x 2
+ 3x + 1 ) Luego el polinomio posiblemente se anule para alguno de
estos valores.
Finalmente un factor primo es:
2
x − x + 2 Rpta. Procedimiento para factorizar
Dado el polinomio:
n n−1
P ( x ) = a 0x + a1x + ... + a n
De coeficientes racionales, se procede de la siguiente manera: 14 −15 −18
1 −1 −3 18
Se halla los posibles ceros racionales que nos permiten  1 3 −18 0
encontrar la raíz o el cero racional.

Luego, mediante el teorema del factor se hace una división Luego: ( x + 1 ) ( x 2 + 3x − 18 )

por Ruffini entre el polinomio y el primer factor encontrado,
siendo el coeficiente de esta división el otro factor buscado. ( x + 1 )( x + 6 )( x − 3 )
Finalmente: 1 + 6 − 3 = 4 Rpta.
NOTA
4 3 2
35. Factorizar: x + 6x − 5x − 42x + 40
Observación Nº 1
Un polinomio tiene factores de primer grado de coeficientes A) ( x − 2 )( x − 3 )( x + 5 )( x + 6 )
racionales, si y sólo sí, si tiene raíces racionales. B) ( x − 3 )( x − 4 )( x + 6 )( x + 8 )

Observación Nº 2 C) ( x − 1)( x − 2 )( x + 4 )( x + 5 )
Toda raíz racional de un polinomio pertenece, necesariamente D) ( x − 1)( x − 3 )( x + 5 )( x + 7 )
al conjunto de los ceros racionales.
E) ( x + 1)( x + 2 )( x + 4 )( x + 5 )
3 2 Solución:
33. Al Factorizar: x − 2x − 5x+6
Posibles ceros:  1 ,  2 ,  4 ,  5 , ....
Indicar la suma de los factores primos.
2 1 6 −5 −42 40
A) 3x − 2 B) 3x + 2 C) x − 2
D) 3x + 5 E) 4x − 1 1  1 7 2 −40
Solución: 1 7 2 −40 0  R
Recuerde cuando el coeficiente principal es la unidad, los 2  2 18 40
posibles ceros son los divisores del término independiente ( 6 ) 1 9 20 0 R
−4  −4 −20
P.C.R. =  1 ,  2  3 ,  6
1 5 0
Reconocemos que el polinomio se anula para x=3 →
El polinomio se anula para :
( x − 3 ) es un factor
x = 1 , x = 2 , x = −4

1 −2 −5 6 Luego la expresión factorizada será:

3 3 3 −6 ( x − 1)( x − 2 )( x + 4 )( x + 5 ) Rpta.
 1 1 −2 0

Luego: ( x − 3)( x2 + x − 2) 36. Hallar el divisor “primo cuadrático” del polinomio:

P ( x ) = 12x 4 − 14x 3 − 36x 2 + 35x + 15
aspa simple
A) 2x 2 + 3 B) 2x 2 − 3 C) 2x 2 − 5
( x − 3 )( x + 2 )( x − 1 ) D) 3x 2 − 2 E) 3x 2 + 1
Finalmente la suma de los factores primos será: Solución:
Buscando los posibles divisores binomios:
 F.P = ( x − 3 ) + ( x + 2 ) + ( x − 1) 1 1 3 3 5 5
1,  3,  5,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...
3 5 2 4 2 3
 F.P = 3x − 2 Rpta.
De donde el polinomio se anula para:
3 2
34. Al factorizar: x + 4x − 15x − 18 12 −14 −36 35 15
Determinar la suma de los términos independientes de los 1
−  −4 6 10 −15
factores primos. 3
A) 1 B) 2 C) 3 12 − 18 −30 45 0 R
D) 4 E) 5
3
Solución:  18 0 −45
2
Analizando los divisores del T.I. ( −18 ) 12 0 −30 0 R

 1 ,  2 ,  3 ,  6 ,  9 ,  18
Luego el polinomio se expresa así:
El polinomio se anula para x = −1  1  3
 3  2
(
P ( x ) =  x +  x −  12x 2 − 30 )
  3x + 1  2x − 3 
P (x) =  
 3  2 
2
 6 2x − 5 ( )
Tenemos:

P ( x ) = ( 3x + 1)( 2x − 3 ) 2x − 5 ( 2
) ( a − 21 )( a − 5 ) + 10a − 41
Donde el divisor cuadrático primo es: a 2 − 26a + 105 + 10a − 41

a 2 − 16a + 64
2
 2x − 5 Rpta.

( a − 8 )2
CAMBIO DE VARIABLE

(x )
2
Consiste en buscar expresiones iguales directa o Restituyendo: 2
+ 4x − 8
indirectamente a través de ciertas transformaciones para luego
proceder a un cambio de variable que permitirá transformar De donde: T.I = − 8 Rpta.
una expresión aparentemente compleja en otra más simple.

37. Al Factorizar:
39. Indicar la suma de los términos independientes de los
(x )
2
2
+ 10x + 23 − ( x + 3 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 7 ) − 1

( ) ( )
2
Indicar la suma de los factores primos. factores primos de: x 2 + 7x + 5 + 3 x 2 + 1 + 21x + 2
A) 3x + 8 B) 3x + 9 C) 2x + 10 A) 10 B) 12 C) 15
D) 4x + 7 E) 5x + 11 D) 17 E) 20
Solución:
Solución:
(x )
2
2
+ 7x + 5 + 3x 2 + 21x + 5
( )
2
2
x + 10x + 23 − ( x + 3 )( x + 4 )( x + 6 )( x + 7 ) − 1

(x ) ( )
2
2 2
+ 7x + 5 + 3 x + 7x + 5
(x ) −(x )( x )
2
2 2 2
+ 10x + 23 + 10x + 21 + 10x + 24 − 1
Cambio de variable:
Haciendo un cambio de variable:
2
x + 7x = m
2
x + 10x = a

2 ( m + 5 ) 2 + 3m + 5
Tenemos: ( a + 23 ) − ( a + 21 )( a + 24 ) − 1
Factorizando por aspa simple:
a 2 + 46a + 529 − a 2 − 45a − 504 − 1
( m + 5 ) 2 + 3 ( m + 5 ) − 10
Reduciendo: a + 24 ( m+ 5) +5

Sustituyendo: x 2 + 10x + 24 ( m+ 5) −2

De donde: ( x + 6 )( x + 4 ) Tenemos: ( m + 10 )( m + 3 )
Finalmente la suma de los factores primos es: Restituyendo:

(x + 6) + (x + 4) = 2x + 10 Rpta. (x 2
+ 7x + 10 )( x 2
+ 7x + 3 )
( x + 5 )( x + 2 ) ( x 2 + 7x + 3 )
38. Al Factorizar:
( x − 3 )( x − 1 )( x + 5 )( x + 7 ) + 10x 2 + 40x − 41 Luego: 5 + 2 + 3 = 10 Rpta.
Indicar un término independiente.
A) − 4 B) − 5 C) − 6
D) − 7 E) − 8
Solución:
( x − 3 )( x − 1 )( x + 5 )( x + 7 ) + 10x 2 + 40x − 41

(x 2
+ 4x − 21 )( x 2
) (
+ 4x − 5 + 10 x + 4x − 41
2
)
Haciendo un cambio de variable:

x 2 + 4x = a
CRITERIO DE LOS ARTIFICIOS SUMAS Y RESTAS ESPECIALES
Consiste en sumar y restar una o varias expresiones en forma
Este método consiste en darle una forma adecuada al
conveniente de tal modo que se formen uno de los trinomios:
polinomio; operando en forma conveniente, realizando
cambios de variable o sumando y restando una misma ( x 2 + x + 1)ó ( x − x + 1 ) ambos componentes de una
2

cantidad con la finalidad de hacer más sencilla su factorización. diferencia o suma de cubos.

“quita y pon” o reducción a diferencia de cuadrados Tener en cuenta la identidad de argand.

Consiste en sumar y restar una expresión (quitar y poner) de
tal modo que haciendo ciertas reducciones logres formar un
4 2
(
x + x +1= x + x +1
2
)( x 2
− x +1 )
trinomio cuadrado perfecto y como consecuencia de ésta
situación se forme una diferencia de cuadrados.
11 7 6
42. Factorizar: x + x + x
4 2 2 4
40. Factorizar: x + x y + y Indicar el número de factores primos.
A) (x 2
)( 2
)
+ y +1 x + y −1
2 2 A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4

+ y + x )( x + y − y )
(x 2 2 2 2 Solución:
B)
Extrayendo factor común.
C) ( x + y + xy )( x + y − xy )
2 2 2 2
x  x + x + 1
6 5
 
D) ( x + 2y + xy )( x + 2y − xy )
2 2
2
Sumando y restando x tenemos:
E) ( x + x + xy )( x + y − xy )
2 2
x  x − x + x + x + 1
6 5 2 2

Solución:  

( ) ( )
2 2
Sumando y restando x y tenemos: x x x − 1 + x + x + 1 
6 2 3 2
 
4 2 2 4 2 2 2 2
x +x y +y +x y −x y
4 2 2 4 2 2
 (
x  x ( x − 1) x + x + 1 + x + x + 1 
6 2 2 2
 ) ( )
x + 2x y + y − x y
T.C.P. x
6
(x 2
+ x +1 )( x 3 2
− x +1 )
(x )
2 2
− ( xy )
2 2
+y  # F.P = 3 Rpta.
diferencia de cuadrados

Luego la expresión factorizada será:

(x 2 2
+ y + xy )( x 2
+ y − xy
2
) Rpta. EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Factorizar:
4 4 a ( x − 5 ) − b ( 5 − x ) + cx − 5c
41. Luego de factorizar: 4x + 81y
Indicar la sumatoria de coeficientes de los factores primos. A) ( x + 5 )( a + b ) B) ( x + 5 )( b − c )
A) 22 B) 23 C) 24 C) ( x − 5 )( a − b ) D) ( a + x )( b + c )
D) 25 E) 26
E) ( x − 5 )( a + b + c )
Solución:
2 2
Sumando y restando 36x y tenemos: 02. Factorizar:
4 2 2 4 2 2 2 2
4x + 36x y + 81y − 36x y abx + axy + a y + a b
T.C.P. A) ( a − b )( x − y ) B) ( a − b )( x + y )
D) a ( x + y + b ) E) xy ( a + b )
( 2x )
2 2
− ( 6xy )
2 2
+ 9y
C) a ( b + y )( a + x )
diferencia de cuadrados

( 2x 2
+ 9y + 6xy
2
)( 2x 2 2
+ 9y − 6xy ) 03. Factorizar:
2 2 2
x y + 8x y + xy + 8xy
2

Finalmente lo solicitado es: el número de factores primos es:

A) 2 B) 3 C) 4
2 + 9 + 6 + 2 + 9 − 6 = 22 Rpta. D) 5 E) 6
04. Factorizar: 13. Factorizar:
1 + x + y + z + xy + yz + xz + xyz 216(x + y) + 64
3
e indicar el número de factores primos e indicar la suma de los coeficientes del factor de mayor
A) 2 B) 3 C) 4 grado:
D) 5 E) 6 A) 411 B) 144 C) 117
D) 205 E) 333
05. Factorizar:
( a + 1 )( 2a + 1 )( 3a + 1 ) + ( a + 1 ) 2 + a 2 + a 14. Luego de factorizar:
e indicar el producto de coeficientes de un factor primo. 8 6 3
x − x + 2x − 1
A) 6 B) 7 C) 8 Señale un término de un factor primo:
D) 9 E) 10 3 6 2
A) − x B) x C) − x
3 2
4 3 2 2 3 D) 2x E) x
Factorizar: a + a b + a b + ab
e indicar el número de factores primos
A) 2 B) 3 C) 4 15. Factorizar:
4 2
D) 5 E) 6 a − 113a + 3136 = 0
e indicar el termino independiente de un factor primo.
06. Factorizar: A) 6 B) 7 C) 8
2 2 2 2 2 D) 9 E) 5
x y + x z + xy + y z + xz + 2xyz
e indicar el número de factores primos 4 2
A) 2 B) 3 C) 4 16. Luego de factorizar n + 35n + 216 = 0
D) 5 E) 6 indicar el producto de coeficientes de un factor primo.
A) 6 B) 7 C) 8
07. Factorizar: D) 9 E) 5
3 2 3 2 2 3 3 2 2 2
x y + x y + x y + x y + xy + xy + 2x y
e indicar el número de factores primos
17. Indicar la sumatoria de coeficientes de un factor primo de:
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6 (a 2
)
+ 2ab x + b ( a − 4b ) x + ( b − a )( a − 2b )
2

A) 2b B) 3b C) 4b
08. Factorizar: D) 5b E) 6b
( x − 8 )( x − 7 )( x − 6 ) + ( x − 7 )( x − 6 ) + 6 − x
e indicar el número de factores primos
A) 2 B) 3 C) 4 18. Indicar la sumatoria de coeficientes de un factor primo de:
D) 5 E) 6
( )
2
4 5 6
x + 4x − x − 1
5
09. Luego de factorizar: x − x A) 7 B) 8 C) 4
indicar el número de factores primos D) 5 E) 6
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6 4 2
19. Luego de factorizar: 25x − 109x + 36
señale el número de factores primos:
3 2
Al factorizar: x + x − 9x − 9 A) 2 B) 3 C) 4
indicar el producto de coeficientes de un factor primo. D) 5 E) 6
A) 2 B) 3 C) 4
D) -3 E) -2 20. Factorizar:
2
3 ( x − 2y − 5 ) − 2 ( x − 2y ) + 5
10. Factorizar:
5 4 3 2 3
e indicar el cociente de los términos independientes de los
x +y +x y+x y factores primos que se obtienen:
e indicar la suma de coeficientes de todos los factores primos. A) 10 B) 5 C) 4
A) 7 B) 8 C) 9 D) 8 E) 12
D) 5 E) 13
21. Factorizar:
11. La suma de coeficientes de un factor primo de: 2 2 2
6x − 25y + 20z − 5xy − 23xz − 5yz
2 2
a − b + 6a + 10b − 16 e indicar el producto de coeficientes de un factor primo.
A) 6 B) 7 C) 8 A) 20 B) -30 C) 40
D) 9 E) 10 D) 60 E) -50

12. Factorizar: ( a − b ) 2 ( c − d ) 2 + 2ab ( c − d ) 2 + 2cd a 2 + b 2 ( ) 22. El termino independiente de un factor primo de:
2 2
e indicar el número de factores primos 2x − 5xy − 3y − y − 9x + 4 es:
A) 2 B) 3 C) 4 A) 2 B) –3 C) 4
D) 5 E) 6 D) 5 E) –4
23. Indique la suma de los términos independientes de los 33. El número de factores primos de
factores primos. 3
x − 2x − 4x + 8 es:
2
2 2
3x − 10y − xy + 22y − 12 A) 2 B) 3 C) 1
A) 2 B) –3 C) 4 D) 4 E) 5
D) 5 E) –4
34. Factorizar:
3 2
x − 11x + 31x − 21
24. Factorizar: e indicar el termino independiente de un factor primo.
2 2
4x − 8xy + 3y + 10x − 13y + 4 A) -4 B) -6 C) -7
A) 2x-y+4 B) 2x-3y-1 C) 2x+y-4 D) -8 E) -9
D) 2x-y-4 E) 2x-y+4

25. Factorizar: 35. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo.

3 2
28xy − 44y + 35x − 23y + 40
2 2x + 5x − x − 6
A) 5 B) 6 C) 7
señale el término independiente de uno de sus factores:
D) 8 E) 9
A) 8 B) 5 C) –8
D) –5 E) 7
36. El número de factores de:
26. Hallar la suma de los coeficientes de "y" al factorizar: ( ax + by ) 2 + ( ay − bx ) 2 es:
2 2 A) 3 B) 4 C) 5
10x − 17xy + 3y + 5xz − yz
A) 3 B) –3 C) –4 D) 2 E) 1
D) 2 E) 5
37. Uno de los factores de es:
a( b + c ) + b( c2 + a2 )
2 2
27. Factorizar:
4 3 2 2
x + 7x + 14x + 7x + 1 A) a + b B) a + b C) b + c
e indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores D) ab + c E) a + c
primos.
A) 4 B) 6 C) -7 38. Un factor de
D) 7 E) 8 2 2 2 2
b + c − a − d + 2ad + 2bc es:
A) a + b + c + d B) a − b − c − d
28. Indicar el término independiente de un factor primo.
4 3 2
C) a + b D) b + c + a − d
6x − 4x − 3x + 15x − 5 E) c + d
A) 2 B) –3 C) -5
D) 5 E) –4 39. Un factor de la expresión es:

29. Luego de factorizar:

4
121 ( x + y ) − 223 x − y ( 2 2
) + 81( x − y ) 4
( )x + b
2 2
x − ( b + 1 ) x + b − 2b
4 2 2 3
(1 − b ) A) 25x + 40xy − 3y
2 2
Indicar la suma de los términos independientes de los B) 11x + 40xy − 3y
factores primos. 2 2
C) 7x − 40xy + 3y
A) -3 B) 3 C) 2 2 2
D) -2 E) 0 D) 7x + 40xy − 3y
2 2
E) 7x − 40xy − 3y
3 2
30. Al factorizar: x + 6x + 3x − 10
Indicar el producto de los términos independientes de los 40. La suma de los términos independientes que resultan al
factores primos. factorizar
A) –6 B) –7 C) –8 4 3
x + 6x − 5x − 42x + 40 es:
2
D) –9 E) –10 A) 5 B) 6 C) 9
D) 12 E) 13
31. Indicar la suma de sus factores primos lineales de:
3 2
x + 4x − 15x − 18
A) 4x–8 B) 3x–4 C) 3x+4
D) 3x+5 E) 4x+10

32. actorizar:
3 2
x − 2x − 5x+6
Señale la suma de factores primos.
A) 3x–1 B) 3x C) 3x–2
D) 3x+1 E) 3x+2