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UNIDAD 5. Ángulos en La Circunferencia Relaciones Métricas de La Circunferencia Teorema de Euclides
UNIDAD 5. Ángulos en La Circunferencia Relaciones Métricas de La Circunferencia Teorema de Euclides
UNIDAD 5. Ángulos en La Circunferencia Relaciones Métricas de La Circunferencia Teorema de Euclides
GUÍA N° 1
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Recordemos algunas definiciones básicas necesarias para cumplir con los Circunferencia
objetivos de esta unidad.
La circunferencia es una línea curva cerrada, cuyos puntos equidistan Círculo
(es decir están a la misma distancia) de otro punto llamado centro. Centro
La región interior de la circunferencia se denomina Círculo.
Cuerda
Radio: Trazo que une el centro con un punto de la circunferencia.
Cuerda: Trazo que une 2 puntos de la circunferencia. Diámetro
Diámetro: Cuerda que pasa por el centro. Radio
Tangente: Recta que intersecta a la circunferencia en un punto.
Secante: Recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.
Secante
Cuerda
ARCOS Y ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA F
Los puntos F y T de la circunferencia determinan dos arcos de circunferencia:
el arco menor TF y el arco mayor FT.
T
Los arcos se leen y anotan en sentido contrario de los punteros de un reloj.
Los puntos F y T son llamados extremos de los arcos.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Se llama ángulo semi-inscrito a un ángulo cuyo vértice es un punto de la circunferencia y
cuyos lados son una cuerda y una tangente a la circunferencia.
En la figura, ∠ DCA y ∠ DCB son ángulos semi-inscritos que subtienden los arcos CA y CB
respectivamente.
ACTIVIDAD
D
Medición de arcos
Una forma de medir un arco es considerar que el arco mide lo mismo que el O
B
ángulo del centro que lo subtiende.
En la figura, la medida del arco de circunferencia BA es la medida del ángulo del
centro correspondiente es decir la medida del ángulo BOA.
A
ACTIVIDAD
1. Completa:
1.a. Un ángulo de centro de …………… subtiende un arco igual a un cuarto de circunferencia.
1.b. Un ángulo de centro de 180º subtiende un arco igual a …………. circunferencia.
1.c. Un ángulo de centro de …………… subtiende un arco igual a un octavo de circunferencia
2
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 2
RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y LOS ARCOS
A continuación veremos la relación que existe entre la medida de un ángulo del centro y los
ángulos inscritos y seminscritos que subtienden un mismo arco.
ACTIVIDADES
C
30º
2. En la figura, O es centro de la circunferencia. A 40º
Sin ayuda de tu transportador, ¿podrías determinar cuánto mide ∠ AOB?
O
Teorema α
O
La medida de un ángulo del centro es el doble de la medida del ángulo inscrito β
β
que subtiende el mismo arco. En la figura α =
2
3
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
ACTIVIDADES
A
50 D x
º x
1.1 1.2 1.3
O O
x C x
30
º
3. ¿Qué puedes decir de todos los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco? Enuncia
tu conclusión como un teorema.
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Para las siguientes actividades aplica el siguiente teorema.
Teorema O G
La tangente a la circunferencia en un punto F es perpendicular al radio OF F
ACTIVIDADES
Teorema
La medida de un ángulo del centro es el doble de la medida del
O
β
β
ángulo semi-inscrito que subtiende el mismo arco . En la figura α = α
2
ACTIVIDADES
5
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
C
1.6 ¿Qué relación existe entre los ángulos BAC y PDB?
arcoBC + arcoDA
∠AED =
2
ACTIVIDAD
arcoBC + arcoDA
6. Ahora calcula
2
6
FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Se llama ángulo exterior a una circunferencia a todo ángulo cuyo vértice es punto exterior y
sus lados son secantes o tangentes a la circunferencia.
La medida de un ángulo interior es igual a la semidiferencia de los ángulos del centro que
subtienden los arcos correspondientes. A
arcoCA − arco BD B
∠APC =
2
P x
D
C
ACTIVIDAD
arco CA − arco BD
6. Ahora calcula
2
ACTIVIDADES
A
B
C
B β
2. Si ∠BOA =60º y ∠COD = 70º ¿Cuál será la medida de β? D
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
4. PA y PB son dos secantes a la circunferencia de centro O de la figura. ¿Cuánto mide el
ángulo del centro COD?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 3
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
ACTIVIDADES
Completa:
A
CP
Por criterio ………∆CPA∼∆………..Por lo tanto podemos deducir: =
PD
Teorema
Los segmentos de dos cuerdas que se intersectan en el interior de una circunferencia son
inversamente proporcionales , es decir CP · PD = PA · BP
Ahora:
1. Dibuja una circunferencia y un punto P fuera de ella.
2. Traza por P dos secantes a la circunferencia y nombra los puntos de intersección.
3. Une los puntos de tal forma que puedas determinar triángulos y verificar como lo hiciste
anteriormente, si son semejantes.
4. Escribe un enunciado con las proporciones que obtuviste.
B A PA · PB = PC · PD
C
D
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Teorema
Dos secantes trazadas desde un punto fuera de una circunferencia son inversamente
proporcionales a sus segmentos externos. Es decir PA · PB=PC · PD
Teorema
Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una secante y una tangente, entonces
la tangente al cuadrado es igual al producto entre la secante y su segmento exterior.
PA · PB = PC2 C
P
A
B
ACTIVIDADES C
B
P
1. Resuelve basándote en la figura siguiente:
a) AP = 3 cm, PB = 4 cm, CP = 6 cm, PD =?
b) PC ≅ PD, AP = 8 cm, AB = 10 cm, PD =? A
D
a) PT = 5 cm, BP = 2·AB, AP =?
b) PB = 6 cm, AB = 2 cm, PT =? P
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
GUÍA N° 4
TEOREMA DE EUCLIDES
Recordemos que en un triángulo ABC rectángulo en C , llamamos catetos a los lados que
forman el ángulo recto (b y a) e hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto (c). La altura h del
triángulo rectángulo determina dos segmentos p y q que llamaremos proyecciones de los
catetos a y b sobre la hipotenusa, respectivamente.
¿Qué tipo de triángulos son los triángulos ADC y DBC? ¿Son semejantes al triángulo ABC?
¿Recuerdas qué necesitamos para demostrar que dos triángulos son semejantes?
Completa:
1. ∠CDB ≅ ∠…….., porque ambos ángulos miden …………
2. ∠CBD ≅ ∠…….., porque son ángulos comunes en ambos triángulos.
3. Por criterio………., ∆ABC ∼ ∆CBD
AB ..... .... a
Luego puedes establecer la proporción: = . Sustituyendo tenemos: =
..... BD a ....
ACTIVIDADES
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
Teoremas de Euclides
En todo triángulo rectángulo la medida de cada cateto al cuadrado es igual al producto de la
hipotenusa y su proyección sobre ésta.
En todo triángulo rectángulo la altura es igual al producto entre las proyecciones que
determinan los catetos sobre la hipotenusa.
ACTIVIDADES
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO
6. Los catetos de un triángulo rectángulo son 6 y 8 cm:
6.1 Calcula la altura correspondiente a la hipotenusa.
6.2 Calcula la hipotenusa.
6.3 Calcula el producto de los catetos.
6.4 Existe alguna relación entre la altura y los catetos e hipotenusa. Comenta con tus
compañeros, analicen el problema para otros triángulos rectángulos, verifiquen su conjetura
y traten de demostrar la relación que encontraron.
D b c
B
C a
Como el triángulo DCA es rectángulo en C podemos aplicar Pitágoras y tenemos también
a2+b2= c2
¿Cómo son AD y AB? ¿Cómo son los triángulos DCA y CBA? ¿Qué podemos decir de los ángulos
DCA y ACB?
Finalmente ¿Qué tipo de triángulo es ABC?
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FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO