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4 - Clase Angulos y Proporcionalidad en La Circunferencia
4 - Clase Angulos y Proporcionalidad en La Circunferencia
4 - Clase Angulos y Proporcionalidad en La Circunferencia
PPTCANLCLC003001V3
Clase
Ángulos y proporcionalidad en la
circunferencia
PPTCES055MT22-A17V1
Esta presentación también está disponible en
formato PREZI en el siguiente enlace
https://prezi.com/view/RqfloUjPiAJiaOL8Gs4d/
Resumen de la clase anterior
Recordemos…
Contenidos
1. Ángulos en la circunferencia.
2. Teorema de las cuerdas.
3. Teorema de las secantes.
4. Teorema de la secante y la tangente.
Pregunta oficial PSU
A) 95cm
B) 60 cm
C) ¿Qué
7 cm relación métrica tienen los
segmentos AC y CB?
D) 35 cm
¿Qué nombre recibe el
E)Indeterminable con los datos dados. segmento AB?
1.1 Definición
•O
Circunferencia
O: centro de la circunferencia
r
r O r OB: radio = r
A • B Segmento que une el centro de la
d circunferencia con cualquier punto de
ella.
AB: diámetro = d =
2r la línea recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de la
Es
circunferencia.
AB: Cuerda
Segmento que une dos puntos de la
circunferencia.
B
AB: Secante
Recta que intersecta a la circunferencia
en dos puntos, formando una cuerda.
A La cuerda de mayor longitud que se puede
trazar en una circunferencia siempre pasa por
C el centro de esta, y se denomina diámetro.
• A
P
• Si el radio es perpendicular a una
CP ≅ PD cuerda, entonces la cuerda se
O •D divide en dos segmentos
congruentes.
1. Conceptos importantes
1.2 Tangente
Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia.
Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto
tangencial”.
O: centro de la circunferencia
O OA: radio
A: punto de tangencia
L: tangente
L
A
Una tangente siempre es
perpendicular al radio en
OA ┴ L el punto de tangencia.
1. Elementos de la circunferencia y del círculo
B• AB : arco de circunferencia
•A
25°
B. Ángulo inscrito:
•B
Tiene el vértice en la circunferencia y
mide la mitad del arco que subtiende.
•
A 50°
2. Ángulos en la circunferencia
Si dos o más ángulos inscritos subtienden el
mismo arco, entonces miden lo mismo.
2. Ángulos en la circunferencia
.
O
180°
O: centro de la circunferencia
2. Ángulos en la circunferencia
92º
110º
δ= 180°
β= 180°
70º
88º
2. Ángulos en la circunferencia
A D
AB – CD
=
2
2. Ángulos en la circunferencia
B A
D
C
AB + CD
=
2
2. Ángulos en la circunferencia
2.6 Ejemplo
En la figura 7, M, N, P, Q y R están en la circunferencia de centro O. El valor
del ángulo x es
A) 42,5°
B) 70°
C) 35°
D) 31,25°
E) 125°
A D
Sean AB y CD dos
cuerdas que se intersectan AP ∙ PB = CP ∙ PD
en P, entonces: P
B
C
3.2 Teorema de las secantes
A D
P
Sean PA y PB dos
secantes que se
intersectan en P, PA ∙ PD = PB ∙ PC
C
entonces:
B
3. Teoremas de proporcionalidad
C
3.4 Teorema de las tangentes
A
Sean PA y PC
P
tangentes en A y en
C, respectivamente,
que se intersectan en PA = PC
P, entonces:
C
3. Teoremas de proporcionalidad
3.5 Ejemplo
En el piso de un gimnasio se ha dibujado una circunferencia,
Ingrid cruza desde un punto P de esta circunferencia hasta otro
punto Q de ella, siendo su trayectoria una línea recta. Luego,
Viviana desde un punto R de la circunferencia cruza en línea recta
hasta otro punto S de ella, pasando por el punto medio (T) de PQ .
Se puede determinar la distancia que recorrió Viviana, si:
ALTERNATIVA
CORRECTA
(1) Ingrid recorrió 10 metros.
(2) La medida de ST corresponde al 40% de la medida de PQ . C
A) (1) por sí sola Más información en las páginas 123,
B) (2) por sí sola 124 y 125 de tu libro.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) ¡AHORA TÚ! (5 minutos)
E) Se requiere información adicional Ejercicios 16 y 18 de tu guía.
A) 95cm
B) 60 cm
C) 7 cm
D) 35 cm
E)Indeterminable con los datos dados.
ALTERNATIVA
CORRECTA
Ahora responde la mayor cantidad de
preguntas posibles de tu guía.
¡MANOS A LA OBRA!
A
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de Admisión 2015.
Síntesis de la clase
Recordemos…
-Si por una cuerda pasa un radio perpendicular a esta, ¿cómo queda
dividida la cuerda?
-¿Qué relación métrica hay entre dos secantes que se intersectan fuera de
la circunferencia?
Prepara tu próxima clase
Volver a:
Elementos de la circunferencia
Ángulos de la circunferencia
Estrategia de síntesis
Teoremas de proporcionalidad
Pregunta oficial PSU