Mathematics">
Guía Razonamiento No. 10 Ecuaciones Cuadráticas
Guía Razonamiento No. 10 Ecuaciones Cuadráticas
Guía Razonamiento No. 10 Ecuaciones Cuadráticas
10
Resultados de aprendizaje
Como resultado de dar solución a problemas, aparecen de manera natural una variedad de
ecuaciones, las cuales, siendo la igualdad entre expresiones algebraicas, hace que haya una
amplia gama de estas. En lo que respecta a esta sesión, las ecuaciones cuadráticas.
En esta guía, se pretende que el estudiante mejore el uso del álgebra y las relaciones entre
números a través de las ecuaciones cuadráticas, que le ayude a fortalecer el pensamiento
variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Lo anterior, enfocado a situaciones problemas
que podrían surgir en diversos escenarios.
Las ecuaciones cuadráticas son de grado dos, por lo que el camino para determinar la solución,
debe conducir a encontrar máximo dos soluciones. Estas soluciones serán encontradas a
través de la fórmula cuadrática, método que generaliza la solución de cualquier ecuación
cuadrática. El método de factorización no es exhibido en este material, pues está fuera del
alcance del estudiante, dado los prerequitos estudiados y por el interés del curso, excepto
quizá, aquellos que tengan conocimientos en factorización, en cuyo caso puede consultar en
otras fuentes bibliográficas.
Un claro caso donde aparece las ecuaciones cuadráticas corresponde al caso de la física, en
𝑔𝑡 2
particular el caso del movimiento parabólico, donde la ecuación 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣0 𝑡 + 2 , siendo 𝑔 la
fuerza de la gravedad, 𝑦0 posición inicial en dirección vertical y 𝑣0 la velocidad inicial con la
cual es lanzado el objeto, mide la posición 𝑦 del objeto en dirección vertical. Se puede destacar
también la forma general de la ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, siendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ como
forma general de ecuación que está previa a su solución con el método expuesto en esta guía.
SABERES PREVIOS
[Trabajo independiente]
b) (𝑥 − 2)(5𝑥 − 5) =
1
2. Dadas las siguientes raíces, usa la calculadora para estimar un valor aproximado con una
cifra decimal.
√12 = √171 = √121 =
3. Si 𝑎 = 5, ¿Cuál es el resultado de 𝑎2 ?
6. Sigue la instrucción: Paso (1). Elimina paréntesis. Paso (2) Reúne términos semejantes.
Paso (3). Iguala a cero. Paso (4). Vuelve a reunir términos semejantes si es que los hay.
Esto para la expresión 2(𝑥 2 + 3𝑥 − 1) + 2 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 4).
Debe ser claro que, en el ejemplo anterior, las ecuaciones b) y c), deben ser igualadas a cero
para darle solución.
2
Ejercicio 1
1. Responde: ¿Qué hace que una ecuación sea cuadrática?
(2𝑥 + 3)(𝑥 − 5) = 5
2𝑥 2 − 10𝑥 + 3𝑥 − 15 = 5
2𝑥 2 − 7𝑥 − 15 = 5
2𝑥 2 − 7𝑥 − 15 − 5 = 0
2𝑥 2 − 7𝑥 − 20 = 0
Ejercicio 2. Elimina paréntesis e iguala a cero en cada una de las siguientes ecuaciones, y
determina si terminan siendo ecuaciones cuadráticas.
a) (𝑥 − 2)(3𝑥 − 3) + 5 = 8
b) (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) = (𝑥 − 8)(𝑥 + 4)
3𝑥 2 +2𝑥−1
c) = 8𝑥 − 9
2
3
Ejemplo 3. Identificar los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 de la ecuación 3𝑥 + 2𝑥(𝑥 − 3) = 5𝑥 − 2.
Solución. Se debe eliminar paréntesis e igualar a cero para identificar tales valores.
𝑎 = 2, 𝑏 = −8, 𝑐 = 2
Ejercicio 3
1. Identifica los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 de las siguientes ecuaciones:
Ecuación 𝒂 𝒃 𝒄
2
−3𝑥 + 7𝑥 − 2 = 0
3
𝑥2 − 𝑥 + 5 = 0
2
2
7𝑥 − 3𝑥 + 1 = 0
−7𝑥 2 − 1 = 0
8𝑥 2 + 9𝑥 = 0
https://youtu.be/eNaozN2GNtQ
Nota: Las soluciones y número de las mismas, dependerá del signo y número del número al
interior de la raíz cuadrada.
4
Consideración 5. Las ecuaciones cuadráticas tendrán máximo dos soluciones, es decir, es
posible que la ecuación no tenga solución o tenga una solución o tenga dos soluciones.
Con esta ecuación, se identifica los valores de 𝑎 = 1, 𝑏 = −15 y 𝑐 = 26. Al sustituir los
respectivos valores en la ecuación cuadrática queda:
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥 =
2𝑎
−(−15) ± √(−15)2 − 4(1)(26)
=
2(1)
15 ± √225 − 104
=
2
15 ± √121 15 ± 11
= =
2 2
De lo anterior, se desprenden dos soluciones, una con signo positivo y otra con signo negativo.
15 + 11 26 15 − 11 4
= = 13 [𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 1] = = 2 [𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 2]
2 2 2 2
5
De la ecuación 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 0, se tiene 𝑎 = 1, 𝑏 = −4 y 𝑐 = 4.
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥 =
2𝑎
−(−4) ± √(−4)2 − 4(1)(4)
=
2(1)
4 ± √16 − 16
=
2
4 ± √0 4 ± 0 4
= = = =2
2 2 2
En este caso, la única solución es 𝑥 = 2. Esto se podía deducir desde que 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0.
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥 =
2𝑎
−(1) ± √(1)2 − 4(1)(1)
=
2(1)
−1 ± √1 − 4
=
2
−1 ± √−3
=
2
Se concluye que la ecuación no tiene solución pues √−3 no existe en el conjunto de los
números reales. Por lo que la ecuación no tiene solución.
https://youtu.be/VipsZlgfKpg
Consideración 6. Las ecuaciones cuadráticas tienen impacto en diversas áreas, además, son
parte también del modelamiento de problemas en diversos contextos.
Ejemplo 7 Un jardín rectangular es tal que su largo es 10 metros más que el ancho. Se conoce
que el área es de 900𝑚𝑡 2 . Determine las dimensiones del jardín.
6
Solución. El jardín tiene la forma que se muestra en la figura. El área del jardín es de 900𝑚𝑡 2 .
De la geometría se conoce que el área de un rectángulo es el resultado de multiplicar el largo
y el ancho, en este caso el área es 𝐴 = 𝑥(𝑥 + 10). Además, se sabe que 𝐴 = 900. Se igualan
estos dos valores para llegar a:
La solución de esta ecuación cuadrática nos permite determinar, en caso que sea posible, las
dimensiones del jardín. Recuerda que es posible que el problema no tenga solución debido a
las opciones de solución de la ecuación cuadrática. Entonces
La segunda solución se descarta, pues las magnitudes no son negativas. Entonces, el ancho
es 𝑥 ≈ 25.4𝑚𝑡𝑠. La longitud del largo es 𝑥 = 25.4 + 10 = 35.4𝑚𝑡𝑠 aproximadamente.
Ejercicio 4. Un jardín rectangular es tal que su ancho es 2𝑚𝑡𝑠 mayor que el largo. El área del
terreno es de 50𝑚𝑡 2 . Determine las dimensiones del jardín.
7
Ejercicios claves de la sesión
Se propone los siguientes ejercicios como propuesta para trabajo independiente o en el espacio de monitoria.
Se espera que el estudiante al finalizar la sesión sea capaz de resolver los siguientes ejercicios.
5
3. Escribe los valore de 𝑎, 𝑏, 𝑐 de la ecuación cuadrática −2𝑥 2 + 2 𝑥 − 1 = 0.
7. Un jardín rectangular es tal que su ancho es 2𝑚𝑡𝑠 mayor que el largo. El área del terreno es
de 50𝑚𝑡 2 . Determine las dimensiones del jardín.
8
Ejercicios complementarios
4. Un triángulo rectángulo es aquél que tiene un ángulo recto. Los lados que forman el ángulo
recto se denominan catetos y el tercer lado, se denomina hipotenusa. Todo triángulo
rectángulo satisface el Teorema de Pitágoras, que expresa que el cuadrado de la medida
de la hipotenusa, equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.
a) 𝑥 = √2 12 c) 𝑥 = 2 6
b) 𝑥 = √ 5 d) 𝑥 = √
√5
9
5. El ingreso por ventas de 𝑥 cantidad de artículos viene dado por la expresión
𝐼 = 600𝑥 − 5𝑥 2
Determine el número de artículos que no permite recibir ingresos.
6. Un objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba a una rapidez inicial 𝑣𝑖 [𝑚/𝑠] alcanza
una altura ℎ [𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠] después de 𝑡 segundos, donde la altura ℎ y el tiempo 𝑡 vienen dados
por la ecuación ℎ = −16𝑡 2 + 𝑣𝑖 𝑡. Suponga que un proyectil se dispara verticalmente hacia
arriba con una rapidez de 800𝑚/𝑠. Determine
a) El tiempo que el proyectil caerá al suelo.
b) El tiempo que el proyectil alcanzara una altura de 9600𝑚𝑡𝑠.
7. Un triángulo rectángulo es tal que uno de sus catetos tiene medida el doble que el otro. Se
conoce que el área del triángulo es de 100𝑐𝑚2. Halle las dimensiones del triángulo, es
decir, la medida de los catetos y la hipotenusa del triángulo.
Lecturas complementarias
BIBLIOGRAFÍA
1. Emplear estrategias algebraicas para determinar el conjunto solución de una ecuación cuadrática.
2. Resolver un problema en contexto a partir de la solución de la formulación o solución de ecuaciones lineales.
10