Teoria Semana 3

Matemáticas Básicas
UNIVERSIDAD PERUANA
CAYETANO HEREDIA
FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS EXACTAS
MATEMÁTICAS BÁSICAS
TEORIA SEMANA 3
ECUACIONES
Una ecuación en una variable es una proposición en la que dos expresiones, donde al menos
una contiene la variable, son iguales. Las expresiones se llaman lados de la ecuación. Como
una ecuación es una proposición, podría ser verdadera o falsa, dependiendo del valor de la
variable. A menos que se restrinja de otra manera, los valores admisibles de la variable son
los del dominio de la variable.
Los valores admisibles de la variable, si los hay, que proporcionan una proposición
verdadera se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa
encontrar todas sus soluciones.
Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones en una variable, x:
2
𝑥2 − 4
𝑥+5=9 𝑥 + 5𝑥 = 2𝑥 − 2 =0 √𝑥 2 + 9 = 5
𝑥+1
La primera proposición, x + 5 = 9, es verdadera cuando x = 4 y falsa para cualquier otra

elección de x. Es decir, 4 es una solución de la ecuación x + 5 = 9. También se dice que 4
satisface la ecuación x + 5 = 9, porque al sustituir 4 en lugar de x, se obtiene una proposición
verdadera.
En ocasiones una ecuación tendrá más de una solución. Por ejemplo

𝑥2 − 4
=0
𝑥+1
Tiene como soluciones a x = -2 y x = 2. Por lo común, se escribirá la solución de una ecuación
en notación de conjuntos. Este conjunto se llama conjunto de soluciones de la ecuación.
1
Por ejemplo, el conjunto de soluciones de la ecuación x2 - 9 = 0 es {-3, 3}. Algunas

ecuaciones no tienen solución real. Por ejemplo, x2 + 9 = 5 no tiene soluciones reales, porque
no existe un número real cuyo cuadrado sumado a 9 sea igual a 5.
Pasos para resolver ecuaciones

Paso 1: Enumere cualquier restricción sobre el dominio de la variable.
Paso 2: Simplifique la ecuación sustituyendo la ecuación original por una
sucesión de ecuaciones equivalentes siguiendo los procedimientos enumerados.
Paso 3: Si el resultado del paso 2 es un producto de factores iguales a 0, use las
propiedades del producto cero e iguale cada factor a 0 (procedimiento 5).
Paso 4. Verifique su solución o soluciones.
Ecuaciones Lineales
Las ecuaciones lineales son ecuaciones como
1
3𝑥 + 12 = 0 − 2𝑥 + 5 = 0 𝑥 − √3 = 0
2
Definición general: Una ecuación lineal en una variable es equivalente a una ecuación de
la forma
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎
donde a y b son números reales y a≠ 𝟎.

Una ecuación lineal se llama ecuación de primer grado, porque su lado izquierdo es un
polinomio en x de grado 1. Es relativamente sencillo resolver una ecuación lineal. La idea
es aislar la variable:
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑎𝑥 = −𝑏 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑏 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
−𝑏
𝑥= 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎, 𝒂 ≠ 𝟎
𝑎
1 1
Ejemplo 1. Resuelva la ecuación: (𝑥 + 5) − 4 = (2𝑥 − 1)
2 3
Ejemplo 2. Resuelva la ecuación: (2y + 1)(y − 1) = (y + 5)(2y − 5)
2
Ejemplo 3. Shannon tuvo ingresos de $435 una semana trabajando 52 horas. Su patrón paga
salario y medio por todas las horas extra trabajadas, después de 40 horas. Con esta
información, ¿podría determinar el salario normal por hora de Shannon?
Ejemplo 4. Se invierte un total de $18000, parte en acciones y parte en bonos. Si la cantidad
invertida en bonos es la mitad de lo invertido en acciones, ¿Cuánto se invierte en cada
categoría?
Ejemplo 5. Se mezcla 80 litros de alcohol al 25% con 120 litros de alcohol al 40%. Calcule
la concentración de la mezcla final.
Ejemplo 6. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros de alcohol, ¿cuántos litros de
agua debemos agregar para obtener una solución del 25%?
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones como las siguientes
2𝑥 2 + 𝑥 + 8 = 0
3𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
𝑥2 − 9 = 0
Definición general: Una ecuación cuadrática es una ecuación equivalente a una de la
forma
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Donde a, b y c son números reales y 𝑎 ≠ 0.

Se dice que una ecuación cuadrática escrita en la forma ax2 + bx + c = 0 está en la forma
estándar.
En ocasiones, una ecuación cuadrática se llama ecuación de segundo grado, porque el lado
izquierdo es un polinomio de grado 2. Se analizarán tres maneras de resolver ecuaciones
cuadráticas: factorizando, completando cuadrados y usando la fórmula cuadrática.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0

𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) = 0,
𝑪𝑺 𝒆𝒔 {𝟐, 𝟑}
Ejemplo 2. Resolver la ecuación: 2𝑥 2 = 𝑥 + 3
3
Ejemplo 3. Resolver la ecuación: 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0
Ejemplo 4. Resolver las ecuaciones:

a) 𝑥 2 = 5
b) (𝑥 − 2)2 = 16
Ejemplo 5. Resolver 𝑥 2 + 5𝑥 + 4 = 0
Ejemplo 6. Resolver 𝑥 4 + 5𝑥 2 + 6 = 0
La Fórmula Cuadrática
Se usa el método de completar el cuadrado para obtener una fórmula general para resolver
la ecuación cuadrática
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 . 𝒂 ≠ 𝟎.
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
La cantidad b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática, porque su valor indica

si la ecuación tiene soluciones reales. De hecho, también indica cuántas soluciones esperar.
Discriminante de una ecuación cuadrática

Para una ecuación cuadrática 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
1. Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, existen dos soluciones reales.
2. Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, existe una solución repetida, una raíz de multiplicidad 2.
3. Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, no hay una solución real
Cuando se pide encontrar las soluciones reales, si las hay, de una ecuación cuadrática,
siempre se evalúa el discriminante para ver cuántas soluciones reales se tienen.
Ejemplo 7. Resolver la ecuación 3𝑥 2 − 5𝑥 + 1 = 0.
Con 𝑎 = 3, 𝑏 = −5, 𝑐 = 1, 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = (−5)2 − 4(3)(1) = 25 − 12 = 13 > 0,
soluciones reales diferentes.
−(−5)±√(−5)2 −4(3)(1) 5±√13

𝑥= = ,
2(3) 6
4
𝟓−√𝟏𝟑 𝟓+√𝟏𝟑
CS es { , }
𝟔 𝟔
Ejemplo 8. Resolver la ecuación 3𝑥 2 + 2 = 4𝑥

3𝑥 2 − 4𝑥 + 2 = 0
Con 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, 𝑐 = 2, 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = (−4)2 − 4(3)(2) = −8 < 0
Por consiguiente, NO hay solución real.
Ejemplo 9. Resolver 2𝑥 2 − 8𝑥 − 5 = 0
Ejemplo 10
En cada esquina de una hoja de metal cuadrada, corte un cuadrado con lado de 9 centímetros.
Doble hacia arriba las orillas para forma una caja cuadrada. Si la caja debe tener una
capacidad de 144 centímetros cúbicos (cm3), ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja
de metal?
SOLUCIÓN
Se usará la figura como guía. Se etiquetó con x la longitud del lado de la hoja cuadrada de
metal. La caja tendrá 9 cm de altura y su base cuadrada tendrá x -18 como longitud del lado.
El volumen (largo x ancho x alto) de la caja es entonces
Por consiguiente, se plantea

(𝑥 − 18)(𝑥 − 18) × 9 = 144
(𝑥 − 18)2 = 16
𝑥 − 18 = 4, 𝑥 = 22
𝑥 − 18 = −4, 𝑥 = 14
5
Se descarta la solución 𝑥 = 14, la hoja debe tener 22 𝑐𝑚 de lado.
Ejercicio 1. Resolver (𝑥 + 3)(𝑥 2 − 𝑥 − 2) = 0
Ejercicio 2. Resolver (𝑥 + 5)2 − 8(𝑥 + 5) = 0

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Matemáticas Básicas

Por ejemplo, las siguientes son ecuaciones en una variable, x:

La primera proposición, x + 5 = 9, es verdadera cuando x = 4 y falsa para cualquier otra

En ocasiones una ecuación tendrá más de una solución. Por ejemplo

Por ejemplo, el conjunto de soluciones de la ecuación x2 - 9 = 0 es {-3, 3}. Algunas

Pasos para resolver ecuaciones

donde a y b son números reales y a≠ 𝟎.

Ejemplo 2. Resuelva la ecuación: (2y + 1)(y − 1) = (y + 5)(2y − 5)

Donde a, b y c son números reales y 𝑎 ≠ 0.

Ejemplo 1. Resolver la ecuación: 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0

Ejemplo 3. Resolver la ecuación: 9𝑥 2 − 6𝑥 + 1 = 0

Ejemplo 4. Resolver las ecuaciones:

La cantidad b2 - 4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática, porque su valor indica

Discriminante de una ecuación cuadrática

−(−5)±√(−5)2 −4(3)(1) 5±√13

Ejemplo 8. Resolver la ecuación 3𝑥 2 + 2 = 4𝑥

El volumen (largo x ancho x alto) de la caja es entonces

Por consiguiente, se plantea

Se descarta la solución 𝑥 = 14, la hoja debe tener 22 𝑐𝑚 de lado.

Ejercicio 1. Resolver (𝑥 + 3)(𝑥 2 − 𝑥 − 2) = 0

Ejercicio 2. Resolver (𝑥 + 5)2 − 8(𝑥 + 5) = 0

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