AA5. P2 F-Rmula General

ESCUELA SECUNDARIA TECNICA
CURSO ESCOLAR 2022 – 2023

MATEMÁTICAS 3° PERÍODO II
DOCENTE: JUAN NERY CANCHÉ MAY___ GRADO: 3°
NOMBRE ALUMNO_________________________________________________________ GRUPO_________
Actividad de aprendizaje 5
Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado,
usando la fórmula general
Segundo grado, dos soluciones
El propósito es utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, así como analizar el tipo de
soluciones de una ecuación de acuerdo al valor del discriminante. Los materiales que requieres son tu libreta
de apuntes, tu lápiz y si lo requieres tu calculadora.
Es muy importante que tomes nota de cada una de las dudas que surjan durante el desarrollo de la sesión
para que las compartas con tus compañeros y profesores.
La fórmula cuadrática funcionará con cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en la forma
estándar, . Para usarla, sigue estos pasos.
· Pon primero la ecuación en su forma estándar.
· Identifica los coeficientes, a, b y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los
términos bx o c se restan.
· Sustituye los valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.
· Simplifica lo más posible.
· Usa el ± en frente del radical para separar la solución en dos valore: uno en el que la raíz
cuadrada se suma y el otro en el que la raíz cuadrada se resta.
· Simplifica ambos valores para obtener las posibles soluciones.
A la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se le llama forma general de la ecuación cuadrática. Se

dice que una ecuación cuadrática está ordenada cuando tiene dicha forma igualada a
cero. Ejemplo 4𝑥2 − 9𝑥 + 8 = 0
Resolución de ecuaciones cuadráticas con la fórmula general
La fórmula general cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de

la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
−𝒃 ±
𝒙=
√𝒃𝟐 −
𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂
Ejemplo: Resolver 𝟑𝑥2 + 5𝑥 = 138.
1. En caso necesario reducir y acomodar la ecuación para que quede igual a cero 𝟑𝑥2 +
𝟓𝑥 − 𝟏𝟑𝟖 = 0
2. Identificar los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en la ecuación, que corresponden a los coeficientes de los
términos cuadrático, lineal e independiente respectivamente, así como sus signos.
𝑎 = +𝟑 𝑏 = +𝟓 𝑐 = − 𝟏𝟑𝟖
3. Sustituir los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en la fórmula general.
2 2
𝑥 = −𝑏±√𝑏
2𝑎
−4𝑎𝑐 ⇨ 𝑥 = −𝟓±√𝟓 −4(𝟑)(− 𝟏𝟑𝟖 )
2
(
𝟑
)
4. Resolver, primero se obtienen el cuadrado de b y el producto de 4ac y se suman las dos

cantidades. Después se calcula la raíz cuadrada. En caso de que dentro de la raíz cuadrada
se obtenga un número negativo, significa que la ecuación no tiene solución.
⇨ ⇨ 𝑥 = −5±41
𝑥 = −5±√25+1656 𝑥 = −5±√1681 6 6
6
5. Cuando queda con ±, se separan los signos, obteniendo una ecuación con + y una con – y
se resuelven ambas. Se le colocan los subíndices para diferenciarlos.
−5 + 41 36 −5 − 41 −46 𝟐𝟑
= = =−
𝑥1 =
6 6=𝟔 6 6 𝟑
𝑥2 =
= , x = − 𝟐𝟑𝟑
Y listo, la
solución de
la ecuación
es 𝒙𝟏
Ejemplo 1.
1 Identificamos los valores de a, b y c
2 Sustituimos en la fórmula general y resolvemos
Ahora veamos el siguiente video para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula
general.
https://youtu.be/ZC67c5ar9mA
Estos ejemplos han mostrado que una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones reales, una
solución real, o dos soluciones complejas.
En la fórmula cuadrática, la expresión dentro del símbolo radical determina el número y tipo de
soluciones que dará la fórmula. Esta expresión, b2 – 4ac, se llama el discriminante de la
ecuación ax2 + bx + c = 0.
Pensemos sobre cómo afecta el discriminante la evaluación de y cómo ayuda a

determinar las soluciones.
● Si b2 – 4ac > 0, (mayor que cero) entonces el número dentro del radical será un valor
positivo. Siempre puedes encontrar la raíz cuadrada de un positivo, por lo que evaluar la
fórmula cuadrática resultará en dos soluciones reales (una sumado la raíz cuadrada positiva
y la otra restando).
● Si b2 – 4ac = 0, entonces sacarás la raíz cuadrada de 0, que es 0. Como sumar y restar 0

da el mismo resultado, la porción "±" de la fórmula no importa. Habrá una solución real.
● Si b2 – 4ac < 0, (menor que cero) el número dentro del radical será un valor negativo.
Como no puedes encontrar la raíz cuadrada de un número negativo usando números
reales, no habrá soluciones reales. Sin embargo, puedes usar números imaginarios.
Entonces tendrás soluciones complejas, una sumando la raíz cuadrada imaginaria y la otra
restando.
Observa y analiza el siguiente video para fortalecer tu aprendizaje
https://getsnap.link/B6DvgsiYh35
Usemos el discriminante para determinar el número de soluciones de la ecuación cuadrática.

Ejemplo 1. Usa el discriminante para determinar cuántas soluciones hay en la ecuación x2 –
4x + 10 = 0.
b2 – 4ac Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a = 1, b =

−4 y c = 10.
(−4)2 – 4(1)(10) Sustituimos los valores en la fórmula

16 – 40 = −24 El resultado es un número negativo. El
discriminante es negativo, por lo que la ecuación
cuadrática tiene dos soluciones complejas.
Respuesta La ecuación cuadrática x2 – 4x + 10 = 0 tiene dos soluciones complejas
Ejemplo 2. Usa el discriminante para determinar cuántas soluciones hay en la ecuación

x2 – x - 12 = 0.
b2 – 4ac Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a =

1, b = −1 y c = -12.
(−1)2 – 4(1)(-12) Sustituimos los valores en la fórmula

1 + 48 = 49 El resultado es un número positivo. El
discriminante es positivo, por lo que la
ecuación cuadrática tiene dos soluciones
reales.
Respuesta La ecuación cuadrática x2 – x - 12 = 0 tiene dos soluciones reales
Ejemplo 3. Usa el discriminante para determinar cuántas soluciones hay en la ecuación

2x2 – 4x + 2 = 0.
b2 – 4ac Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a =

2, b = −4 y c = 2.
(−4)2 – 4(2)(2) Sustituimos los valores en la fórmula

16 - 16 = 0 El resultado es cero. El discriminante es cero,
por lo que la ecuación cuadrática tiene una
solución real.
Respuesta La ecuación cuadrática 2x2 – 4x + 2 = 0 tiene una solución real
Ejemplo 4. Analiza el siguiente problema, resuelve primero en tu libreta y luego compara tus
resultados, en la parte de abajo.
Problema Una pelota se deja caer de un edificio a 200 pies del suelo. Su velocidad inicial es
−10 pies por segundo. (El negativo significa que viaja hacia el suelo.)
La ecuación h = −16t2 – 10t + 200 puede usarse para modelar la altura de la pelota
después de t segundos. ¿Cómo cuánto tardará la pelota en llegar al suelo?
h = -16t2 – 10t + 200 Cuando la pelota golpea el suelo, su

altura es 0. Sustituye 0 por h.
0 = -16t2 – 10t + 200
−16t2 – 10t + 200 = 0

Esta ecuación es difícil de resolver
factorizando o completando el
cuadrado, por lo que la resuelves
usando la fórmula cuadrática,
. En este caso, la
variable es t en lugar de x. a = −16, b =
−10 y c = 200.
Simplifica. Ten cuidado con los signos.

t es aproximadamente −3.86 o 3.24. Usa una calculadora para encontrar
ambas raíces.
Considera las raíces lógicamente. Una

solución, −3.86, no puede usarse como
el tiempo porque es un número
negativo. La otra solución, 3.24
segundos, debe ser cuando la pelota
golpea el suelo.
Respuesta La pelota golpeará el suelo aproximadamente 3.24 segundos después de haber
sido soltada.
En equipos resuelvan los siguientes ejercicios:
1. Completa la tabla con los datos que hacen falta
Ecuación Soluciones Valor de los Valor del ¿Cuántas soluciones

coeficientes discriminante hay?
2
𝑏 − 4𝑎𝑐
2
3𝑥 − 5𝑥 − 2 = 0 𝑥1 = ______ 𝑎 = ______ Dos soluciones reales
𝑥2 = ______ 𝑏 = ______
𝑐 = ______
2
4𝑥 − 3𝑥 + 1 = 0 𝑥1 = ______ 𝑎 = ______ Dos soluciones
𝑥2 = ______ 𝑏 = ______ complejas
𝑐 = ______
2 𝑥1 = ______ 𝑎 = ______
4𝑥 + 6𝑥 + 9 = 0
𝑥2 = ______ 𝑏 = ______
𝑐 = ______
2 𝑥1 = ______ 𝑎 = ______
𝑥 + 2𝑥 + 1 = 0
𝑥2 = ______ 𝑏 = ______
𝑐 = ______
2. El perímetro de un terreno rectangular es 100 m y su área es 600 m2. Halla las dimensiones del
terreno.
3. Una caja abierta, de base cuadrada, se construye con 340 cm2 de cartulina. ¿Cuánto mide el
lado de la base si la altura mide 6 cm?
4. Al abrir un libro, descubro que el producto que se obtienen al multiplicar los números de página
de las dos páginas que estoy viendo es 9 312. ¿Qué página?
5. Si el doble del cuadrado de un número por 9, al producto se le suma el cuadrado del mismo
número y se obtiene como resultado – 16. ¿De qué se trata?

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DOCENTE: JUAN NERY CANCHÉ MAY___ GRADO: 3°

NOMBRE ALUMNO_________________________________________________________ GRUPO_________

Segundo grado, dos soluciones

· Pon primero la ecuación en su forma estándar.

· Sustituye los valores por los coeficientes en la fórmula cuadrática.

· Simplifica lo más posible.

· Simplifica ambos valores para obtener las posibles soluciones.

A la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 se le llama forma general de la ecuación cuadrática. Se

Resolución de ecuaciones cuadráticas con la fórmula general

La fórmula general cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de

Ejemplo: Resolver 𝟑𝑥2 + 5𝑥 = 138.

3. Sustituir los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 en la fórmula general.

4. Resolver, primero se obtienen el cuadrado de b y el producto de 4ac y se suman las dos

1 Identificamos los valores de a, b y c

2 Sustituimos en la fórmula general y resolvemos

Pensemos sobre cómo afecta el discriminante la evaluación de y cómo ayuda a

● Si b2 – 4ac = 0, entonces sacarás la raíz cuadrada de 0, que es 0. Como sumar y restar 0

Observa y analiza el siguiente video para fortalecer tu aprendizaje

Usemos el discriminante para determinar el número de soluciones de la ecuación cuadrática.

b2 – 4ac Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a = 1, b =

(−4)2 – 4(1)(10) Sustituimos los valores en la fórmula

Ejemplo 2. Usa el discriminante para determinar cuántas soluciones hay en la ecuación

b2 – 4ac Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a =

(−1)2 – 4(1)(-12) Sustituimos los valores en la fórmula

Ejemplo 3. Usa el discriminante para determinar cuántas soluciones hay en la ecuación

b2 – 4ac Evalúa b2 – 4ac. Primero observa que a =

(−4)2 – 4(2)(2) Sustituimos los valores en la fórmula

h = -16t2 – 10t + 200 Cuando la pelota golpea el suelo, su

−16t2 – 10t + 200 = 0

Simplifica. Ten cuidado con los signos.

Considera las raíces lógicamente. Una

En equipos resuelvan los siguientes ejercicios:

1. Completa la tabla con los datos que hacen falta

Ecuación Soluciones Valor de los Valor del ¿Cuántas soluciones

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